偏微分方程求解-有限元法的原理(加權(quán)余量法和變分法.ppt

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第三講 1.偏微分方程求解有限元法的原理（加權(quán)余量法和變分法）,解析法 應(yīng)用范圍有限，適用于理論求解，但有強(qiáng)烈的物理含義（常系數(shù)微分方程） 某些復(fù)雜問(wèn)題，很考慮根本找不到解析解 2. 數(shù)值法 工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛，復(fù)雜場(chǎng)域問(wèn)題，但物理含義不很清楚。任何問(wèn)題總可以找到數(shù)值解（數(shù)學(xué)方法）,2.數(shù)值求解方法,2/4,1. 基本思想：,以偏微分方程的近似解來(lái)代替其真解，只要近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問(wèn)題的解，并滿足足夠的精度。,2. 基本方法：,假設(shè)一個(gè)近似解，該解為一組（形式上）簡(jiǎn)單函數(shù) 的線性組合來(lái)表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù) 然后建立一種考慮了微分方程和邊界條件的關(guān)于真解 和近似解間誤差的目標(biāo)函數(shù) F 用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃繕?biāo)函數(shù)最小化最小化的過(guò)程就確定了待定系數(shù)，從而也就得到了問(wèn)題的近似解。,嘗試函數(shù)，基函數(shù)，形函數(shù),2.數(shù)值求解方法,2/4,目標(biāo)函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。 數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就形成了不同的數(shù)值解法，電磁場(chǎng)中就常見(jiàn)的是：加權(quán)余量法和變分法。,3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,電磁場(chǎng)問(wèn)題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊界條件表述,兩個(gè)偏微分方程形式相同，故以電位方程的求解過(guò)程為例。磁位矢量的方程可以分解到各個(gè)分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。,在求解場(chǎng)域內(nèi)，偏微分方程的真解為 ，近似解為 它由一組簡(jiǎn)單函數(shù) 的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù) 即：,3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,加權(quán)余量法,簡(jiǎn)單函數(shù)，一般選用簡(jiǎn)單形式的函數(shù)，一旦選定就是已知的了,待定系數(shù)是真正的求解目標(biāo),問(wèn)題的自由度,近似解,3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即余數(shù)），并設(shè)法使其最小的方法。,加權(quán)余量法誤差（即余數(shù)）的定義：,注意：一般余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差（場(chǎng)域內(nèi)），加權(quán)余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別（即余數(shù)），來(lái)代表近似解整體接近偏微分方程真解的程度。,問(wèn)題的自由度,3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時(shí)，就可以認(rèn)為近似解就是偏微分方程的解。 要減少余數(shù)，我們可以通過(guò)尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加權(quán)函數(shù)的積分為0。“加權(quán)余量法”的來(lái)由。,3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,加權(quán)余數(shù)的定義：,加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。 效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：,即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù),3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法,由此構(gòu)建加權(quán)量法的目標(biāo)函數(shù)：,上述過(guò)程中，已經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為j個(gè)代數(shù)方程組，便于計(jì)算機(jī)求解。,關(guān)于函數(shù)的函數(shù)，稱為：泛函數(shù)，或泛函,3. 加權(quán)余量法例1,例1.兩極電容板內(nèi)部電場(chǎng)分布問(wèn)題： 根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)將3維問(wèn)題簡(jiǎn)化為2維， 進(jìn)一步簡(jiǎn)化為1維。 該問(wèn)題是靜態(tài)電場(chǎng)問(wèn)題， 偏微分方程和邊界條件：,加權(quán)余量法求解： 1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,2.結(jié)合問(wèn)題，寫(xiě)出余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法例1,理論上任意選取，操作中越簡(jiǎn)單越好,2.結(jié)合問(wèn)題，寫(xiě)出余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法例1,3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法例1,3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：,3. 加權(quán)余量法例1,4. 求解上述兩個(gè)代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解,3. 加權(quán)余量法例1,加權(quán)余量法求解流程： 1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解 2.結(jié)合問(wèn)題，寫(xiě)出余數(shù)表達(dá)式 3. 寫(xiě)出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式 4. 令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解,該靜態(tài)電場(chǎng)問(wèn)題的真解（解析解：）,3. 加權(quán)余量法例1,真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數(shù)，但求解過(guò)程會(huì)復(fù)雜，可見(jiàn)嘗試函數(shù)的選取是有技巧的。,4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,一般化偏微分方程： 線性微分算子,則其余數(shù)為：,令加權(quán)余數(shù)為0，構(gòu)建代數(shù)方程：,4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形：,有j個(gè)代數(shù)方程，通常等于待定系數(shù)個(gè)數(shù),4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納,代數(shù)方程寫(xiě)成矩陣形式：,系數(shù),激勵(lì),邊界條件,系數(shù)矩陣nn,待定系數(shù)矩陣、源矩陣、邊界矩陣n1,矩陣元素值：,雖然元素值還需要積分、微分的求得，還難以借助計(jì)算機(jī)求解，但至少化為了代數(shù)方程組。,通過(guò)選擇合適的加權(quán)函數(shù)和嘗試函數(shù)可以大大簡(jiǎn)化矩陣元素的矩陣方程。 有限元方法就是如此,5. 加權(quán)余量法的進(jìn)一步優(yōu)化（邊界條件的處理）,適當(dāng)?shù)倪x取加權(quán)函數(shù)，并對(duì)加權(quán)余數(shù)積分進(jìn)行處理，可使某些邊界條件從加權(quán)余數(shù)的表達(dá)式中消失，從而簡(jiǎn)化矩陣方程及其系數(shù)的求解。,以有源靜電場(chǎng)問(wèn)題為例（帕松方程）,由近似解表述的加權(quán)余數(shù)為：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,注意余數(shù)的實(shí)質(zhì),通過(guò)嘗試函數(shù)，簡(jiǎn)化加權(quán)余數(shù)后：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,上式第一項(xiàng)，由格林第一定律得：,降了微分階數(shù)，等于降了近似解（嘗試函數(shù)）的連續(xù)性要求，從而擴(kuò)展了其選擇范圍,代入后：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,由于近似解在1類邊界上常數(shù)，所以此項(xiàng)為0,選取特殊加權(quán)函數(shù)后，兩項(xiàng)和為0,第二類邊界條件也消失了，說(shuō)明已經(jīng)自動(dòng)滿足了,令加權(quán)余數(shù)為0即可得到求解原微分方程的一組代數(shù)方程：,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,這里加權(quán)函數(shù)只有一個(gè)了，進(jìn)一步，用迦遼金法，選加權(quán)函數(shù)為嘗試函數(shù)本身,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形：,對(duì)比簡(jiǎn)化前的代數(shù)方程：已經(jīng)大大簡(jiǎn)化，關(guān)鍵是邊界條件項(xiàng)全部消失，微積分計(jì)算也降階、簡(jiǎn)化,5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化,代數(shù)方程寫(xiě)成矩陣形式：,對(duì)稱矩陣，簡(jiǎn)化計(jì)算,還有積分（求和），梯度（差分），有限元將作處理,小結(jié)：簡(jiǎn)化后1、2類邊界條件自動(dòng)滿足； （嘗試函數(shù)、加權(quán)函數(shù)選取） 微分降階，簡(jiǎn)化計(jì)算 對(duì)稱矩陣，簡(jiǎn)化計(jì)算 根據(jù)情況源矩陣、邊界矩陣可能為0,對(duì)拉普拉斯方程和帕松方程問(wèn)題適合,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,例1中的靜電場(chǎng)問(wèn)題，變?yōu)閮呻姌O板接地，中間充滿電荷。,帕松方程,加權(quán)余量法求解： 1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,利用問(wèn)題，對(duì)近似解進(jìn)行簡(jiǎn)化，對(duì)嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,通過(guò)嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：,2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足1類邊界條件：,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,3.代公式計(jì)算矩陣元素 （邊界矩陣b為0）,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,4. 封裝矩陣：,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,5. 求解矩陣，得近似解：,該有源靜態(tài)電場(chǎng)問(wèn)題的真解（解析解：）,6. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 例2,真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常有差別。如例3,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,偏微分方程描述的問(wèn)題如下：,加權(quán)余量法求解： 1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：,利用問(wèn)題及其邊界條件，對(duì)嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化（使近似解滿足邊界條件）,通過(guò)嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,兩個(gè)方程，兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，消a1、a2，重定嘗試函數(shù)，邊界條件自動(dòng)滿足，簡(jiǎn)化求解過(guò)程,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足1、2類邊界條件：,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,余數(shù)為：,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,結(jié)合問(wèn)題，余數(shù)的具體表達(dá)式為：,問(wèn)題的加權(quán)余數(shù)（目標(biāo)泛函）為：,4. j=2,3時(shí)得代數(shù)方程：,5. 求解矩陣，得近似解：,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,5. 求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,真解（解析解：）,7. 簡(jiǎn)化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3,8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟,加權(quán)余量法求解流程： 1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解 2.結(jié)合問(wèn)題的邊界條件對(duì)嘗試函數(shù)進(jìn)行修正，以簡(jiǎn)化求解 3.寫(xiě)出余數(shù)表達(dá)式 3. 寫(xiě)出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式（迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)） 4. 令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解,8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟,加權(quán)余數(shù)法求解一般性偏微分方程的方法： 方程的近似解被表示為一系列獨(dú)立的嘗試函數(shù)的線性組合，其中包括未知的待定系數(shù)。 通常用迦遼金原理選取加權(quán)函數(shù)，（即令加權(quán)函數(shù)等于嘗試函數(shù)本身），從而完成對(duì)加權(quán)余數(shù)的定義，(嘗試函數(shù)的選取滿足邊界條件) 通過(guò)對(duì)加權(quán)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)和在邊界上的積分使其平均值為零，也就是說(shuō)，使近似解與精確解之間的差別在某種指標(biāo)下達(dá)到最小化。 如此可以形成一個(gè)矩陣形式的代數(shù)方程組，求解該矩陣方程可以確定待定系數(shù)從而得到偏微分方程的唯一近似解。,9. 變分法簡(jiǎn)介,另外一種求解偏微分方程的一般方法，即變分法。 變分法與加權(quán)余數(shù)法類似，近似解也用一系列線性獨(dú)立的嘗試函數(shù)表示包括未知的待定系數(shù)。 與加權(quán)余數(shù)法不同的是，變分法用另外的方法來(lái)形成求解待定系數(shù)的矩陣方程。在變分法中，首先要構(gòu)成一個(gè)近似解的函數(shù)，稱為泛函。從廣義來(lái)說(shuō)，加權(quán)余數(shù)積分(即平均值)也是一種泛函。 然后使該泛函最小化，從而減小近似解的誤差。一般說(shuō)來(lái)，要找到一個(gè)適合于偏微分方程及邊界條件的泛函是一項(xiàng)難度很大的工作。由于前人已做了許多研究工作，已找到了適合于許多常見(jiàn)形式的偏微分方程的泛函。 對(duì)于電磁場(chǎng)方程來(lái)說(shuō)，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆霍茲等形式。,變分法的思想：另外一種構(gòu)造目標(biāo)泛函的方法，由于求解中要求目標(biāo)泛函最小，變分法將目標(biāo)泛函的構(gòu)造與電磁場(chǎng)儲(chǔ)能表達(dá)式聯(lián)系起來(lái)，（因?yàn)殡姶艌?chǎng)儲(chǔ)能物理上講有趨于最小化的趨勢(shì)）。通過(guò)物理原理來(lái)構(gòu)造的目標(biāo)泛函是其特點(diǎn)。,9. 變分法簡(jiǎn)介拉普拉斯方程,拉普拉斯類方程描述的無(wú)源靜電場(chǎng)或靜磁場(chǎng)問(wèn)題，用變分法求解：,9. 變分法簡(jiǎn)介拉普拉斯方程,嘗試函數(shù)選擇時(shí)，仍然要使近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,拉普拉斯類方程描述的無(wú)源靜電場(chǎng)或靜磁場(chǎng)問(wèn)題，用變分法求解：,9. 變分法簡(jiǎn)介帕松方程,帕松方程描述的有源靜電場(chǎng)或靜磁場(chǎng)問(wèn)題， 用變分法求解：,9. 變分法簡(jiǎn)介帕松方程,帕松方程描述的有源靜電場(chǎng)或靜磁場(chǎng)問(wèn)題，用變分法求解：,嘗試函數(shù)選擇時(shí)，仍然要使近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失,9. 變分法簡(jiǎn)介赫姆霍茲和一般化偏微分方程（省略）,9. 變分法簡(jiǎn)介赫姆霍茲和一般化偏微分方程（省略）,泛函適應(yīng)于二階線性偏微分方程及狄利克萊和諾伊曼邊界條件，亦即適應(yīng)于一般形式的電磁場(chǎng)問(wèn)題。由此可以很容易地獲得常見(jiàn)微分方程的泛函，例如 拉普拉斯方程、帕松方程、赫姆霍茲方程等等。 泛函數(shù)中：k,a,q,h,g都是位置的一般函數(shù)，對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題也可以是常數(shù)。這里再次強(qiáng)調(diào)，在選取嘗試函數(shù)相構(gòu)成近似解時(shí)，應(yīng)該使近似解滿足問(wèn)題的邊界條件。,