2019-2020年高中數學《任意角和弧度制》教案4 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數學《任意角和弧度制》教案4 新人教A版必修4 網絡圖 重點難點 重點：弧度的意義及正確地進行弧度與角度的換算。 難點：弧度的概念及其與角度的關系。 關鍵：弄懂1弧度的角的意義。 學習要求：理解弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數；了解角的集合與實數集之間可建立一一對應的關系；掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度解決某些簡單的實際問題。 本節(jié)須注意：1．掌握角度制與弧度制間換算的實質：180＝π（弧度）。 2．熟練掌握一些特殊角的弧度數，如 等。 3．弧長公式化簡為L＝｜α｜R（α是圓心角的弧度數）。 4．同一個式子中，角度、弧度兩種制度不能混用。 知識點講解 一、角度制 初中學過角度制，它是一種重要的角度度量制度。規(guī)定周角的 為１度的角，記做1這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制。 二、弧度制 定義 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度記做1rad。 定義的基礎 根據圓心角定理，對于任何一個圓心角α，所對弧長與半徑的比是一個僅與角α的大小有關的常數。因此，弧長等于半徑的弧所對的圓心角的大小并不隨半徑變化而變化，而是一個大小確定的角，可以取為度量角的標準。 當角α的大小一定時，不論這個角所對的圓弧的半徑是多少，弧長與半徑的比值總是一個定值，它僅與圓心角的大小有關，所以我們可以用弧長與半徑的比值來度量角的大小。 三、弧度數 如圖（1）中， 的長等于半徑r，AB所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角，即 。 在圖（2）中，圓心角∠AOC所對的 的長l＝2r，那么∠AOC的弧度數就是 。 如果圓心角所對的弧長l＝2πr（即弧長是一個整圓），那么這個圓心角的弧度數是 。 如果圓心角表示一個負數，且它所對的弧的長l＝4πr，那么這個角的弧度數的絕對值是 ，即這個角的弧度數是－4π。 一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是零。 角α的弧度數的絕對值（其中l(wèi)是以角α作為圓心角時所對的弧的長，r是圓的半徑）。 四、角度與弧度之間的互化 把角度換成弧度： 把弧度換成角度： 五、須記住的特殊角的弧度數 度 0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度 0 度 180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 π 2π 六、角度制與弧度制的比較 弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度 1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該?。┑拇笮?，而1是圓的 所對的圓心角（或該?。┑拇笮?。 不管是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑的大小無關的定值。 用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，這時弧度數在形式上雖是一個不名數，但我們應當把它理解為名數。如sin2是指sin（2弧度），π＝180是指π弧度＝180；但如果以度（）為單位表示角時，度（）就不能省去。 用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數，如 弧度，不必寫成45≈0.785弧度。 弧度制和角度制一樣，只是一種度量角的方法?；《戎婆c角度制相比有一定的優(yōu)點，其一是在進位上角度制在度、分、秒上是60進位制，不便于計算，而弧度制是十進位制，給運算帶來方便；其二在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式遠比角度制下公式簡單，運用起來簡單。 用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但量數相同，對于其它非零角度，由于單位不同，量數也就不同了。 七、角的概念推廣后，無論用角度制還是用弧度制都能在角的集合與實數集R之間建立一種一一對應的關系： 每一個角都有唯一的一個實數（例如這個角的弧度數或度數）與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（例如弧度數或度數等于這個實數的角）與它對應。 八、弧度制下的弧長公式及扇形面積公式 弧長公式： 弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數）的絕對值與半徑的積， 。 扇形面積公式： 扇形面積等于弧長與半徑的積的一半， 。 在應用上述公式時，一定要注意α是圓心角的弧度數，若是度數一定先化成弧度數，才能代入公式。 九、須注意的一個問題 在今后表示角的時候，由于弧度制的優(yōu)點，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角時，不能與角度制混用，比如α＝2kπ＋30（k∈Z）， 都是不正確的。 例題1：下列諸命題中，假命題是（　?。? A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 B．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的 C．根據弧度的定義，180一定等于 弧度 D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關 分析：根據角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關，而是與弧長與半徑的比值有關，所以D是假命題。 其它A、B、C均為真命題。 ∴　應選D。 將11230′化為弧度；（2）將 化為度。 （1）∵　 ， ∴　11230′＝ 。 （2）∵　 ， ∴　 ＝－75。 小結：弧度與角度互化，要牢記 解答下列各題 (1)已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數。 (2)已知一扇形的圓心角是72，半徑等于20cm，求扇形的面積。 (3)已知一扇形的周長40cm，當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ （1）設扇形圓心角的弧度數為 ，弧長為l，半徑為r， 依題意有 ①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4。 當r＝1時，l＝8（cm）時， 舍去。 當r＝4時，l＝2（cm）時， 。 （2）設扇形弧長為l　　∵　72＝ ， ∴　 。 ∴　 。 （3）設扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40， ∴　l＝40－2r， ∴　 。 ∴　當半徑r＝10cm時，扇形的面積最大，這個最大值為100cm2，這時 。 小結：以上三個題是弧度制下弧長公式和扇形面積公式的應用，公式簡明，運算非常簡捷。 若角α的終邊與角 的終邊關于直線y＝x對稱，且 ，則α＝_______。 如果角 的終邊OA與OB關于直線y＝x對稱，那么以OB為終邊且在0到 之間的角為 。 設角 的終邊為OA，OA關于直線y＝x對稱的射線為OB，則以OB為終邊的角的集合為 。 ∵ ，∴ ， ∴ 。 ∴ k∈Z，∴ k＝－2，－1,0，1。 ∴ 。 ∴ 應填： 。 （附圖，） 已知集合 ， ，則 ( ) A．M＝P　　　B． 　　　C． 　　D．M∩P＝ 首先研究集合 ， 我們知道角 ，k∈Z，它的終邊落在坐標軸上， ∴ 角 ，k∈Z，它的終邊落在直線y＝x上。 下面研究集合 1)當k＝4n（n∈Z）時， ，它的終邊落在y軸上； 2)當k＝4n＋1（n∈Z）時， ，它的終邊落在y＝－x上； 3)當k＝4n＋2（n∈Z）時， ，它的終邊落在x軸上； 4)當k＝4n＋3（n∈Z）時， ，它的終邊落在y＝x上。 綜合上面兩種情況可得 。 ∴應選C。 小結：在解題的過程中，根據問題的特點及解題的需要，適時地進行邏輯劃分、分類討論，是解好這類問題的關鍵一環(huán)。