2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4 空間直角坐標(biāo)系 2.4.1 空間直角坐標(biāo)系教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4 空間直角坐標(biāo)系 2.4.1 空間直角坐標(biāo)系教案 新人教B版必修2教學(xué)分析教材介紹了空間直角坐標(biāo)系有關(guān)概念本節(jié)難度不大,可以讓學(xué)生自己閱讀教材,留給學(xué)生足夠的空間值得注意的是課前讓學(xué)生自己制作空間直角坐標(biāo)系模型,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程三維目標(biāo)1掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力2會(huì)求空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo),提高解決問(wèn)題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):在空間直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn):通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系確定空間點(diǎn)的坐標(biāo),以及相關(guān)應(yīng)用課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.大家先來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題,飛機(jī)飛行的速度非???,即使民航飛機(jī)速度也非常快,有很多飛機(jī)時(shí)速在1 000 km以上,而全世界又這么多飛機(jī),這些飛機(jī)在空中風(fēng)馳電掣,速度是如此的快,豈不是很容易撞機(jī)嗎?但事實(shí)上,飛機(jī)的失事率是極低的,比火車,汽車要低得多,原因是,飛機(jī)都是沿著國(guó)際統(tǒng)一劃定的航線飛行,而在劃定某條航線時(shí),不僅要指出航線在地面上的經(jīng)度和緯度,還要指出航線距離地面的高度為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系設(shè)計(jì)2.我們知道數(shù)軸上的任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù)x表示,建立了平面直角坐標(biāo)系后,平面上任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)的一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)表示那么假設(shè)我們建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系時(shí),空間中的任意一點(diǎn)是否可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)表示出來(lái)呢?為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系推進(jìn)新課1在初中,我們學(xué)過(guò)數(shù)軸,那么什么是數(shù)軸?決定數(shù)軸的因素有哪些?數(shù)軸上的點(diǎn)怎樣表示?2在初中,我們學(xué)過(guò)平面直角坐標(biāo)系,那么如何建立平面直角坐標(biāo)系?決定平面直角坐標(biāo)系的因素有哪些?平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)怎樣表示?3閱讀教材,在空間怎樣確定點(diǎn)的位置?4閱讀教材,在空間直角坐標(biāo)系中怎樣確定點(diǎn)的坐標(biāo)?5閱讀教材,坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)?6閱讀教材,說(shuō)出八個(gè)卦限討論結(jié)果:1在初中,我們學(xué)過(guò)數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線決定數(shù)軸的因素有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度這是數(shù)軸的三要素?cái)?shù)軸上的點(diǎn)可用與這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x來(lái)表示2在初中,我們學(xué)過(guò)平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系是以一點(diǎn)為原點(diǎn)O,過(guò)原點(diǎn)O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy,xOy稱平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系具有以下特征:兩條數(shù)軸互相垂直;原點(diǎn)重合;通常取向右、向上為正方向;單位長(zhǎng)度一般取相同的平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)用它對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示,括號(hào)里橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面,它們是一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)3為了確定空間點(diǎn)的位置,我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy的基礎(chǔ)上,通過(guò)原點(diǎn)O,再作一條數(shù)軸z,使它與x軸,y軸都垂直(如上圖),這樣它們中的任意兩條都互相垂直;軸的方向通常這樣選擇:從z軸的正方向看,x軸的正半軸沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)90能與y軸的正半軸重合這時(shí),我們說(shuō)在空間建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)4如上圖所示,過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于平面yOz(這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸),這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為Pz,它在x軸上的坐標(biāo)為x(圖中為2),這個(gè)數(shù)x就叫做點(diǎn)P的x坐標(biāo)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于平面xOz(垂直于y軸),這個(gè)平面與y軸的交點(diǎn)記為Py,它在y軸上的坐標(biāo)為y(圖中為3),這個(gè)數(shù)y就叫做點(diǎn)P的y坐標(biāo)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOy(垂直于z軸),這個(gè)平面與z軸的交點(diǎn)記為Pz,它在z軸上的坐標(biāo)為z(圖中為5),這個(gè)數(shù)z就叫做點(diǎn)P的z坐標(biāo)這樣,我們對(duì)空間中的一個(gè)點(diǎn),定義了三個(gè)實(shí)數(shù)的有序數(shù)組作為它的坐標(biāo),記作P(x,y,z)(圖中為P(2,3,5)其中x,y,z也可稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)分量反之,任意給定三個(gè)實(shí)數(shù)的有序數(shù)組(x,y,z),就能夠確定空間一個(gè)點(diǎn)的位置與之對(duì)應(yīng)為此,按照剛才作圖的相反順序,在坐標(biāo)軸上分別作出點(diǎn)Px,Py,Pz,使它們?cè)趚軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x,y,z.再分別通過(guò)這些點(diǎn)作平面平行于平面yOz,xOz,xOy,這三個(gè)平面的交點(diǎn),就是所求的點(diǎn)P.這樣,在空間任意一點(diǎn)與三個(gè)實(shí)數(shù)的有序數(shù)組(點(diǎn)的坐標(biāo))之間,我們就建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系每?jī)蓷l坐標(biāo)軸分別確定的平面yOz,xOz,xOy,叫做坐標(biāo)平面5xOy平面(通過(guò)x軸和y軸的平面)是坐標(biāo)形如(x,y,0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中x,y為任意的實(shí)數(shù);xOz平面(通過(guò)x軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(x,0,z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中x,z為任意的實(shí)數(shù);yOz平面(通過(guò)y軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(0,y,z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中y,z為任意的數(shù);x軸是坐標(biāo)形如(x,0,0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中x為任意實(shí)數(shù);y軸是坐標(biāo)形如(0,y,0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中y為任意實(shí)數(shù);z軸是坐標(biāo)形如(0,0,z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,其中z為任意實(shí)數(shù)通過(guò)點(diǎn)P作平行于坐標(biāo)平面的平面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)Px,Py,Pz,其過(guò)程也就是作點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上的投影即,從點(diǎn)P向坐標(biāo)軸引垂線,它們的垂足分別為Px,Py,Pz.所以點(diǎn)P的空間坐標(biāo)為點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上的投影在這些坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)6三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分為八部分,每一部分都稱為一個(gè)卦限在坐標(biāo)平面xOy上方,分別對(duì)應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個(gè)象限的卦限,稱為第、第、第、第卦限;在下方的卦限稱為第、第、第、第卦限(如下圖)在每個(gè)卦限內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)各分量的符號(hào)是不變的例如在第卦限,三個(gè)坐標(biāo)分量x,y,z都為正數(shù);在第卦限,x為負(fù)數(shù),y,z都為正數(shù)思路1例1如下圖,點(diǎn)P在x軸正半軸上,|OP|2,PP在xOz平面上,且垂直于x軸,|PP|1.求點(diǎn)P和P的坐標(biāo)解:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,1)變式訓(xùn)練已知點(diǎn)P在x軸正半軸上,|OP|2,PP在xOz平面上,且垂直于x軸,|PP|1,求點(diǎn)P和P的坐標(biāo)解:顯然,P在x軸上,它的坐標(biāo)為(2,0,0)若點(diǎn)P在xOy平面上方,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,1)若點(diǎn)P在xOy平面下方,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,1)例2在空間直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)P(3,2,4)分析:已知點(diǎn)P(x,y,z),可以先確定P(x,y,0)在xOy平面上的位置|PP|z|,如果z0,則點(diǎn)P即點(diǎn)P;如果z0,則點(diǎn)P與z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè);如果z0, 則點(diǎn)P與z軸的負(fù)半軸在xOy平面的同側(cè),即可依此方法作出P點(diǎn)解:先確定P(3,2,0)在xOy平面上的位置因?yàn)辄c(diǎn)P的z坐標(biāo)為4,則|PP|4,且點(diǎn)P和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè),這樣就確定了點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系中的位置,如下圖變式訓(xùn)練在同一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中畫出下列各點(diǎn):A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,2,0),D(0,2,0),A(0,0,1),B(3,0,1),C(3,2,1),D(0,2,1)解:在空間直角坐標(biāo)系中,畫出以上各點(diǎn),如下圖,它們剛好是一個(gè)長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)思路2例1如下圖,長(zhǎng)方體OABCDABC中,|OA|3,|OC|4,|OD|2.寫出D,C,A,B四點(diǎn)的坐標(biāo)分析:要寫出點(diǎn)的坐標(biāo),首先要確定點(diǎn)的位置,再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點(diǎn)寫出D在z軸上,因此它的橫縱坐標(biāo)都為0;C在y軸上,因此它的橫豎坐標(biāo)都為0;A是zOx面上的點(diǎn),y0;B不在坐標(biāo)面上,三個(gè)坐標(biāo)都要求解:D在z軸上,而|OD|2,因此它的豎坐標(biāo)為2,橫縱坐標(biāo)都為0,因此D的坐標(biāo)是(0,0,2)同理,C的坐標(biāo)為(0,4,0)A是zOx平面上的點(diǎn),y0,A的橫坐標(biāo)就是|OA|3,A的豎坐標(biāo)就是|OD|2,所以A的坐標(biāo)就是(3,0,2)點(diǎn)B在yOx平面上的射影是點(diǎn)B,因此它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同,在yOx平面上B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3、縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)B在z軸上的射影是D,它的豎坐標(biāo)與D的豎坐標(biāo)相同,點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為2,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,4,2)點(diǎn)評(píng):能準(zhǔn)確地確定空間任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是學(xué)好空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ),一定掌握如下方法,過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸,y軸和z軸,確定x,y和z,同時(shí)掌握一些特殊的點(diǎn)的坐標(biāo)特征變式訓(xùn)練如下圖,在正方體OABCDABC中,|OA|2.寫出D、C、A、B四點(diǎn)的坐標(biāo)解:D在z軸上,且OD2,它的豎坐標(biāo)是2;它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y都是零,所以D的坐標(biāo)是(0,0,2)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是2.它的橫坐標(biāo)x與豎坐標(biāo)z都是零,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2,0)同理,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0,2)點(diǎn)B在xOy平面上的射影是B,因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同在xOy平面上,點(diǎn)B橫坐標(biāo)x2,縱坐標(biāo)y2;點(diǎn)B在z軸上的射影是D,它的豎坐標(biāo)與點(diǎn)D的豎坐標(biāo)相同,點(diǎn)D的豎坐標(biāo)z2.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2,2)例2如下圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是BB1和D1B1的中點(diǎn),棱長(zhǎng)為1,求E,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)解:方法一:從圖中可以看出E點(diǎn)在xOy平面上的射影為B,而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,0),E點(diǎn)的豎坐標(biāo)為,所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,);F點(diǎn)在xOy平面上的射影為G,而G點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),F(xiàn)點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1,所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為(,1)方法二:從圖中條件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0)E為BB1的中點(diǎn),F(xiàn)為D1B1的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)(1,1,),F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)(,1)點(diǎn)評(píng):(1)平面上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以推廣到空間,即設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB的中點(diǎn)P(,);(2)熟記坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征變式訓(xùn)練1在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)解:設(shè)所求的點(diǎn)為B0(x0,y0,z0),由于B為B0B1的中點(diǎn),所以解得所以B0(1,1,1)2在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)解:設(shè)所求的點(diǎn)為P(x0,y0,z0),由于D1為PB1的中點(diǎn),因?yàn)镈1(0,0,1),所以解之,得所以P(1,1,1)1有下列敘述,其中正確敘述的個(gè)數(shù)為()在空間直角坐標(biāo)系中,在Oy軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為(0,b,0);在空間直角坐標(biāo)系中,在yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為(0,b,c);在空間直角坐標(biāo)系中,在Oz軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為(0,0,c);在空間直角坐標(biāo)系中,在zOx平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為(a,b,c)A1 B2 C3 D4答案:C2在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a,b,c),有下列敘述:點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P1(a,b,c);點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2(a,b,c);點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P3(a,b,c);點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P4(a,b,c)其正確敘述的個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0答案:C3在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn);橫軸(x軸);縱軸(y軸);豎軸(z軸);xOy坐標(biāo)平面;yOz坐標(biāo)平面;zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?答案:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的對(duì)稱方法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P2(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P3(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P4(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P5(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P6(x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P7(x,y,z)點(diǎn)評(píng):其中記憶的方法為:關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變,其余的相反如關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù);關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn),橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)相反結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞,左下圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體堆積成的正方體),其中用空白點(diǎn)表示代表鈉原子,黑點(diǎn)代表氯原子如右下圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后,試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)解:把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來(lái)寫它們所在位置的坐標(biāo)下層的原子全部在xOy平面上,它們所在位置的z坐標(biāo)全是0,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(,0)中層的原子所在的平面平行于xOy平面,與z軸交點(diǎn)的z坐標(biāo)為;所以,這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是(,0,)、(1,)、(,1,)、(0,);上層的原子所在的平面平行于xOy平面,與z軸交點(diǎn)的z坐標(biāo)為1,所以這五個(gè)鈉原子的坐標(biāo)分別是(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(,1)本節(jié)學(xué)習(xí)了:1空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo);2中點(diǎn)公式:P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則P1P2中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)本節(jié)練習(xí)A2題通過(guò)復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容,為新課的引入和講解做好鋪墊設(shè)置問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法探索新知由于學(xué)生的空間觀念還比較薄弱,教學(xué)中宜多采用教具演示,盡量使學(xué)生能夠形象直觀地掌握知識(shí)內(nèi)容本課時(shí)可自制空間直角坐標(biāo)系模型演示,幫助學(xué)生理解空間直角坐標(biāo)系的概念如果學(xué)生先前的學(xué)習(xí)不是主動(dòng)的、不是自覺(jué)的,那么老師的血汗與成績(jī)就不成比例,更談不上學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)鑒于此,在教學(xué)中積極挖掘教學(xué)資源,努力創(chuàng)設(shè)出一定的教學(xué)情景,設(shè)計(jì)例題思路,吸引學(xué)生,引起學(xué)生學(xué)習(xí)的意向,即激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),達(dá)到學(xué)生“想學(xué)”的目的為能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性,在教學(xué)中指明學(xué)生所要達(dá)到的目標(biāo)和所學(xué)的內(nèi)容,即讓學(xué)生知道學(xué)到什么程度以及學(xué)什么同時(shí)調(diào)整教學(xué)語(yǔ)言,使之簡(jiǎn)明、清楚、易聽(tīng)明白,注重一些技巧,如重復(fù)、深入淺出、抑揚(yáng)頓挫等備選習(xí)題1在空間過(guò)點(diǎn)M(1,2,3)作z軸的垂線,交z軸于點(diǎn)N,則垂足N的坐標(biāo)為()A(1,0,0) B(0,2,0) C(0,0,3) D(0,0,3)解析:由于z軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0,且豎坐標(biāo)不變?nèi)詾?,所以垂足N的坐標(biāo)為(0,0,3)答案:D2點(diǎn)P(a,b,c)到坐標(biāo)平面zOx的距離為()A. B|a| C|b| D|c|解析:由空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義我們就可以知道,|b|就是點(diǎn)P(a,b,c)到坐標(biāo)平面zOx的距離答案:C- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4 空間直角坐標(biāo)系 2.4.1 空間直角坐標(biāo)系教案 新人教B版必修2 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 空間 直角 坐標(biāo)系 教案 新人 必修
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