高考數(shù)學總復習 第二章 第14講 導數(shù)在函數(shù)中的應用課件 理.ppt

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第14講,導數(shù)在函數(shù)中的應用,1．了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的 單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三 次)．,2．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用 導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三 次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一 般不超過三次)．,1．函數(shù)的單調性,函數(shù) y＝f(x)在(a，b)內可導，則,(1)若 f′(x)0，則 f(x)在(a，b)內單調遞增；,(2)若 f′(x)0，則 f(x)在(a，b)內__________． 2．函數(shù)的極值,(1)判斷 f(x0)是極值的方法：,一般地，當函數(shù) f(x)在點 x0 處連續(xù)時，,單調遞減,①如果在 x0 附近的左側 f′(x)＞0,右側 f′(x)＜0，那么 f(x0) 是極大值； ②如果在 x0 附近的左側__________，右側__________，那,么 f(x0)是極小值．,f′(x)＜0,f′(x)＞0,(2)求可導函數(shù)極值的步驟： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③檢查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符號．如 果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正， 那么 f(x)在這個根處取得__________；如果左右兩側符號一樣，,那么這個根不是極值點．,極小值,3．函數(shù)的最值,(1)函數(shù) f(x)在[a，b]上有最值的條件：,如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù) y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷,的曲線，那么它必有最大值和最小值．,(2)①若函數(shù) f(x)在[a，b]上單調遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小,值，f(b)為函數(shù)的最大值；,②若函數(shù) f(x)在[a，b]上單調遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，,f(b)為函數(shù)的最小值．,(3)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟： ①求函數(shù) y＝f(x)在(a，b)內的極值； ②將函數(shù) y＝f(x)的各________與端點值比較，其中最大的,一個是最大值，最小的一個是最小值．,極值,1．f(x)＝x3－3x2＋2 在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(,),C,A．－2,B．0,C．2,D．4,2．(2013 年廣州二模)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù) y＝,),xex 的單調遞增區(qū)間是( A．[－1，＋∞) C．[1，＋∞),B．(－∞，－1] D．(－∞，1],A,3．(2013 年河南鄭州模擬)函數(shù) f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)， 導函數(shù) f′(x)在(a，b)內的圖象如圖 2-14-1，則函數(shù) f(x)在(a，b),內的極大值點有(,),圖 2-14-1,A．1 個,B．2 個,C．3 個,D．4 個,4．函數(shù) f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________處取得極小值．,B,2,考點 1,函數(shù)的單調性與極值,(1)求 a 的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間與極值．,解得 x＝－1(舍)或 x＝5. 當 x∈(0,5)時，f′(x)0，函數(shù) f(x)單調遞增． 因此，函數(shù) f(x)在 x＝5 時取得極小值，且極小值為 f(5)＝－ln5.,【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)的單調區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成 列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一 個函數(shù)在給定定義域上的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一 般不能用并集符號“∪”連接，只能用“，”或“和”字隔開.,(2)“f′(x)0[或 f′(x)0]”是“函數(shù) f(x)在某區(qū)間上為增函 數(shù)(或減函數(shù))”的充分不必要條件；“f′(x0)＝0”是“函數(shù) f(x) 在 x＝x0 處取得極值”的必要不充分條件.,【互動探究】 1．函數(shù) f(x)在 x＝x0 處的導數(shù)存在，若命題 p：f′(x0)＝0，,命題 q：x＝x0 是 f(x)的極值點，則 p 是 q 的(,),C,A．充分必要條件 C．必要不充分條件,B．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件,解析：若 x＝x0 是 f(x)的極值點，則f′(x0)＝0；若f′(x0) ＝0，而 x＝x0 不一定是 f(x)的極值點，如 f(x)＝x3，當 x＝0 時， f′(0)＝0，但 x＝0 不是極值點．故 p 是 q 的必要不充分條件． 故選 C.,考點 2,函數(shù)的最值,(1)若 f(x)在 x＝2 處的切線與直線 3x－2y＋1＝0 平行，求 f(x)的單調區(qū)間； (2)求 f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．,令 f′(x)＝0，得 x＝1. f(x)與 f′(x)的情況如下表： 所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1)，單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)．,,【規(guī)律方法】求函數(shù)的最值時，不可想當然地認為極值點 就是最值點，要對函數(shù) y＝f(x)的各極值與端點值進行比較，其 中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.,【互動探究】,,考點 3,利用導數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題,(1)若 a＝3，試確定函數(shù) f(x)的單調區(qū)間； (2)若 f(x)在其圖象上任一點(x0，f(x0))處的切線斜率都小于 2a2，求實數(shù) a 的取值范圍．,由 f′(x)3.,所以函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為(－1,3)，單調遞減區(qū)間為,(－∞，－1)和(3，＋∞)．,(2)因為 f′(x)＝－x2＋2x＋a，,由題意，得 f′(x)＝－x2＋2x＋a2a2 對任意 x∈R 恒成立， 即－x2＋2x2a2－a 對任意 x∈R 恒成立，,設 g(x)＝－x2＋2x，所以 g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 所以當 x＝1 時，g(x)有最大值為 1.,因為對任意 x∈R，－x2＋2x2a2－a 恒成立，,【規(guī)律方法】若 f(x)在其圖象上任一點處的切線斜率都小于 2a2，即 f′(x)＝－x2＋2x＋a2a2 對任意 x∈R 恒成立，分離變 量得－x2＋2x2a2－a 對任意 x∈R 恒成立，求－x2＋2x 的最大 值即可.,【互動探究】 3．函數(shù) f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a≠0. (1)求 f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若 f(1)≥e－1，求使 f(x)≤e2 對 x∈[1，e]恒成立的實數(shù) a 的值(注：e 為自然對數(shù)的底數(shù))．,(2)由 f(1)＝a－1≥e－1，即 a≥e. 由(1)知，f(x)在[1，e]內單調遞增， 要使 f(x)≤e2 對 x∈[1，e]恒成立， 只要 f(e)≤e2，則 a2lne－e2＋ae≤e2， 即 a2＋ae－2e2≤0，(a＋2e)(a－e)≤0，解得 a≤e， 所以 a＝e.,●思想與方法●,⊙運用分類討論思想討論函數(shù)的單調性,例題：(2013 年廣東東莞一模) 已知函數(shù) f(x) ＝x2 ＋ax ＋,blnx(x0，實數(shù) a，b 為常數(shù))．,(1)若 a＝1，b＝－1，求函數(shù) f(x)的極值； (2)若 a＋b＝－2，討論函數(shù) f(x)的單調性．,