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（譯文）
選擇固定參數(shù)研究齒輪牙側(cè)面的設(shè)計(jì)規(guī)則
摘要：科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展對(duì)齒輪傳動(dòng)有了更高的要求，影響齒輪的動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵因素是齒輪牙的側(cè)面嚙合形式。為了提高齒輪的傳動(dòng)性能，一種新的被稱著為L(zhǎng)ogiX的齒輪在19世紀(jì)發(fā)明出來。然而，對(duì)于這種特殊的齒輪還有很多理論和實(shí)踐上的未知問題等待解決。
本文進(jìn)一步研究這種新型齒輪的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則并運(yùn)用數(shù)學(xué)推理的方法對(duì)齒輪牙側(cè)面進(jìn)行了分析。通過對(duì)齒輪牙側(cè)面嚙合形式的影響參數(shù)的討論，說明了這種LogiX齒輪的參數(shù)選擇的合理性，發(fā)展和加強(qiáng)了LogiX齒輪的理論體系。這種對(duì)參數(shù)等的研究最終是為了能夠發(fā)明出現(xiàn)代耐久的傳動(dòng)產(chǎn)品。
關(guān)鍵詞：基本參數(shù) 設(shè)計(jì)原理 LogiX齒輪 詳細(xì)概括 齒輪牙的側(cè)面
1．介紹
為了提高齒輪的傳動(dòng)性能和滿足一些特殊的要求，一種新的齒輪應(yīng)運(yùn)而生；他被命名為“LogiX”為增加一些優(yōu)異的性能和漸開線齒輪
另外擁有以上兩種類型齒輪的優(yōu)點(diǎn)的新型齒輪還有一些別的特殊的優(yōu)點(diǎn).在這種新的齒輪牙，連續(xù)的凸面聯(lián)絡(luò)被執(zhí)行從它的齒根高對(duì)它的補(bǔ)充,那里被確定的安全相對(duì)彎曲有很多點(diǎn)。這里這種點(diǎn)被叫著零位點(diǎn)（N-P）許多的出現(xiàn)在（N-Ps）點(diǎn)在LogiX 齒輪期間的濾網(wǎng)過程可能導(dǎo)致一個(gè)滑動(dòng)系數(shù), 并且濾網(wǎng)傳輸表現(xiàn)成為相應(yīng)地幾乎滾動(dòng)的摩擦。因而這種新型的齒輪有許多好處，譬如更高的傳動(dòng)強(qiáng)度、壽命長(zhǎng)而且比標(biāo)準(zhǔn)斷開線齒輪有更大的傳輸比率。實(shí)驗(yàn)性結(jié)果表示, 給一定數(shù)量的（N-Ps） 在二個(gè)捕捉的LogiX 齒輪之間, 3倍的傳動(dòng)疲勞強(qiáng)度和2.5倍的抗彎疲勞強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)比那些標(biāo)準(zhǔn)斷開線齒輪承受能力大。而且, 最小的牙數(shù)可達(dá)到3個(gè)這是那些標(biāo)準(zhǔn)斷開線齒輪沒法比的。
這種被認(rèn)為新型的LogiX 齒輪還有很多未被解決的問題。計(jì)算機(jī)數(shù)字控制(CNC) 技術(shù)的發(fā)展必然被用來研究更高效率的方法來發(fā)展這種新型齒輪。因此進(jìn)一步提高研究這種齒輪的寬度和實(shí)際應(yīng)用的加速度顯的很重要。本文有信心在這個(gè)新時(shí)代里把齒輪濾網(wǎng)理論和應(yīng)用取得歷史性的突破。
2．齒牙側(cè)面的設(shè)計(jì)原則
根據(jù)齒輪濾網(wǎng)和制造業(yè)理論, 為了簡(jiǎn)化問題分析, 從齒輪的基本的機(jī)架開始入手來研究。讓我們首先從討論LogiX 齒輪的基本機(jī)架開始。圖1 顯示LogiX 機(jī)架的設(shè)計(jì)原則的劃分和斷開線曲線。在圖一中P.L代表 LogiX 機(jī)架的節(jié)線。選擇點(diǎn)是為了形成角α0。P.L O1N1.兩個(gè)徑向的交叉點(diǎn)O1n0 和O1N1，節(jié)線P.L和N1，n0。使得延長(zhǎng)到使得兩個(gè)基圓的切線相交到，和幅線相交于兩個(gè)圓的交點(diǎn)和節(jié)線P.L交點(diǎn)，兩個(gè)圓的交點(diǎn)和節(jié)線P.L交點(diǎn)。使得公切線和基圓相交和，在有關(guān)齒側(cè)面點(diǎn)m0和m1方面曲率半徑應(yīng)該是: ，在節(jié)線上相交于中心。
不同倍數(shù)的回旋包括LogiX 外形應(yīng)該被安排為一個(gè)適當(dāng)?shù)捻樞?。下個(gè)漸開彎曲線m1m2的壓力角度應(yīng)該比前段m0m1的有所增加。中心曲度在極端點(diǎn)m1 、m2, 等應(yīng)該是在節(jié)線上, 并且基本的圈子壓力半徑的作用變化應(yīng)該是從G1 到G2 。形成的條件為前曲線和后曲線的半徑曲度必須是在和點(diǎn)m1相等的對(duì)半徑曲度在點(diǎn)m1 之后同時(shí)半徑曲度在點(diǎn)m2處 必須是與半徑曲度相等的在點(diǎn)m2 之后。圖2 顯示漸開線曲線的準(zhǔn)確連接的過程。根據(jù)上述討論,整體外牙形成。
圖1：LogiX 機(jī)架外形牙的設(shè)計(jì)原則 圖2.漸開線曲線的準(zhǔn)確連接
3．LogiX的 側(cè)牙數(shù)學(xué)模塊
3.1 基本的LogiX 機(jī)架的數(shù)學(xué)模塊
根據(jù)上述設(shè)計(jì)原則, 每個(gè)精確曲線外形的曲率中心應(yīng)該在機(jī)架節(jié)線上找出, 和每點(diǎn)在相對(duì)曲度連接的價(jià)值不同，在漸開線曲線上的應(yīng)該是零點(diǎn)。外形牙的設(shè)計(jì)是關(guān)于節(jié)線對(duì)稱的,齒根高凹面和凸面是互補(bǔ)的。因而作為L(zhǎng)ogiX外形牙的整體, 它可以被確切的劃分成為四份, 如圖3所示 。座標(biāo)設(shè)定如圖4中所示, 節(jié)線P.L在座標(biāo)起點(diǎn)O 與交點(diǎn)m0之間和形成最初的漸開線曲線。
根據(jù)圖4中的座標(biāo)設(shè)定, 形成最初的漸開線曲線m0m1 如圖5所示。
圖3. LogiX 機(jī)架外形牙 圖4. 座標(biāo)設(shè)定
圖5. 最初的漸開線曲線m0m1的形成過程 圖6：LogiX齒輪嚙合和基圓
現(xiàn)在，，和參數(shù)量，，和作為已知條件。在曲線和漸開線的交點(diǎn)是，或者。因此曲率半徑和壓力角在漸開線的交點(diǎn)處的關(guān)系如下：
（1）
（2）
根據(jù)幾何關(guān)系我們可以得出以下結(jié)論：
（3）
根據(jù)式1，2和3和有關(guān)LogiX齒的形成材料，根據(jù)曲率半徑的形成規(guī)則可得到如下關(guān)系：。當(dāng)且，可得出特殊關(guān)系式如下：
（4）
顯然，在任一齒牙側(cè)面的k 點(diǎn)處壓力角的關(guān)系如下：
（5）
當(dāng)是關(guān)系式5可變?yōu)槿缦拢?
（6）
根據(jù)數(shù)學(xué)幾何關(guān)系可得到No.2的關(guān)系式：
（No2） （7）
顯然根據(jù)幾何關(guān)系可得別的式子如下：
（No1） （8）
（No3） （9）
（No4） （10）
3.2 LogiX齒輪的數(shù)學(xué)模塊
配合角，和PXY如圖6所示，在LogiX齒輪架和LogiX齒輪間的精確的嚙合關(guān)系。這里被定位在齒輪架上是齒輪側(cè)面和節(jié)線的交點(diǎn)被定位在齒輪的嚙合處是齒輪的中心。PXY是完全的中空角，P點(diǎn)是齒輪的切線和基圓的交點(diǎn)。
為了和理論建立起一致的關(guān)系。假如上面的例子中LogiX齒輪牙的側(cè)面從 改動(dòng)到OXY同時(shí)再改變到，一種新型的齒輪模型的關(guān)系就產(chǎn)生如下：
（11）
在這里理想的正角，只在LogiX齒輪模型的第一象限中給出。
4自身固有參數(shù)和它們選擇的原因?qū)ogiX齒輪的影響
除標(biāo)準(zhǔn)漸開線的基本參數(shù)外, LogiX齒牙側(cè)面有自己固有的基本參數(shù)，譬如起始?jí)毫嵌取⑾鄬?duì)壓力角度δ,起始基圓半徑 G0,等等。這些參數(shù)的選擇對(duì)LogiX齒牙側(cè)面漸開線的影響非常大,它的結(jié)構(gòu)形式會(huì)直接影響力齒輪的傳動(dòng)能力。因此基本參數(shù)的選擇非常重要。
4.1起始?jí)毫堑倪x擇和影響
考慮到要設(shè)計(jì)較高傳動(dòng)性能的齒輪,起始?jí)毫菫?度。但是最后的計(jì)算結(jié)果表示 LogiX 齒牙側(cè)面加工工具的角度和起始的壓力角度是相等的。這樣起始?jí)毫嵌炔荒軐?duì)準(zhǔn)零位。比較相對(duì)于兩倍圓周-弧的齒輪，我們可以推出的起始?jí)毫窃叫?齒輪越大越容易產(chǎn)生根切。因此起始?jí)毫菓?yīng)該不僅僅是零,但也不能太小，同時(shí)，從例 3,4 和5,可以看出對(duì)LogiX齒牙方面的影響可以用圖7來直接描述。顯然地，起始?jí)毫嵌葦?shù)的增加會(huì)引起 LogiX 齒架的曲率的增大。如果選擇一個(gè)較大的齒架，而起始?jí)毫翘〉脑?。它的齒頂會(huì)變的很窄或產(chǎn)生根切現(xiàn)象。因此 LogiX 齒牙側(cè)面選較大時(shí)，應(yīng)該選一個(gè)較小的起始?jí)毫?當(dāng)LogiX 齒牙側(cè)面選較小時(shí)，選一個(gè)較大的起始?jí)毫恰?
通常,實(shí)踐計(jì)算經(jīng)驗(yàn)告訴我們，起始?jí)毫?取2度到12度，而且LogiX齒輪模型越大，起始?jí)毫窃叫 ?
4.2起始基圓半徑 G0的選擇和影響
根據(jù)公式在LogiX 齒輪牙的側(cè)面的不同位置有兩個(gè)參數(shù)影響基圓半徑 Gi：在牙齒描繪的不同位置的 LogiX 齒輪: 一個(gè)是G0 另一個(gè)是起始?jí)毫?。圖8所示的是當(dāng)給定參數(shù)α0和δ時(shí)G0對(duì)LogiX齒側(cè)面的影響。顯然地,如果G0增加，新型齒輪牙的側(cè)面曲率將變得越來越小。顯而易見，它會(huì)隨著G0的減小而逐漸增大。因此新型齒架的參數(shù)大時(shí)G0也應(yīng)選大的，同時(shí)當(dāng)齒架的參數(shù)小時(shí)G0也選小。
4.3壓力角δ的選擇和影響
在圖 9中顯示參數(shù)δ的變化對(duì)齒牙的影響。根據(jù) LogiX齒牙的形成過程，參數(shù)δ越小在LogiX齒輪的兩齒之間形成的N-Ps越大。根據(jù)2.1中的描述相對(duì)壓力角在N-P mk中的關(guān)系如下：
如式5和12,選擇比較大的參數(shù)δ相應(yīng)的參數(shù)也比較大，選擇適當(dāng)?shù)钠鹗級(jí)毫呛妥畲髩毫牵瑝毫窃叫-Ps越多，相反地,比較小的參數(shù)δ，N-Ps的數(shù)字較大。當(dāng)δ取0.0006度時(shí)，零點(diǎn)的數(shù)字將超過 46,000 。在這情形,選擇一個(gè)齒輪模數(shù)m =100, 兩個(gè)N-Ps點(diǎn)之間會(huì)變的很小。也就是說，在整個(gè) LogiX齒輪 的運(yùn)動(dòng)過程中，兩個(gè)嚙合齒輪間在很短的時(shí)間內(nèi)會(huì)參數(shù)打滑和滾動(dòng)。N-Ps數(shù)目越多在兩齒輪間越長(zhǎng)相反傳動(dòng)時(shí)間越短。因此它的磨損減少了使用壽命就增長(zhǎng)了。但是, 考慮到承載能力的限制，速度的改變、角度的因素等等當(dāng)切割這種類型的齒輪時(shí)必須用CNC機(jī)床刀具，相關(guān)壓力角的選擇非常小，一般必須滿足度。
圖7：α0對(duì)LogiX齒輪側(cè)面的影響 圖8 ：G0對(duì)LogiX齒輪側(cè)面的影響
圖9 ：δ對(duì)LogiX齒輪側(cè)面的影響
4.4 選擇合理參數(shù)舉例
基于上述對(duì)LogiX齒輪固有參數(shù)選擇的分析規(guī)則，對(duì)于不同的零件模型，當(dāng)它的相對(duì)壓力角為0.05度時(shí)，起始?jí)毫呛突鶊A半徑合理的計(jì)算結(jié)果如下表1所作的參考。事實(shí)上, 實(shí)際的選擇應(yīng)該根據(jù)具體切斷情況和特殊需求而定。
5 結(jié)論
下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出的結(jié)論：
1. 通過進(jìn)一步的深入研究可推出LogiX齒輪的二維嚙合傳動(dòng)規(guī)律。
2. 討論研究了齒輪自身基本參數(shù)譬如起始?jí)毫?，起始基圓半徑和相對(duì)壓力角以及參數(shù)的選擇，對(duì)LogiX 齒輪牙側(cè)和性能的影響。
3. 通過對(duì)LogiX 齒輪理論系統(tǒng)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)一步研究建立了現(xiàn)代 CNC 技術(shù)。LogiX 齒牙的特性：它不如常規(guī)漸開線齒輪應(yīng)用廣但是它是一種承載能力大，體積小，壽命長(zhǎng)的產(chǎn)品。
6 命名法
起始?jí)毫嵌?
交點(diǎn) mi 處的壓力角
壓力角度參數(shù)
在交點(diǎn) s 1 處的 齒輪牙齒側(cè)面的曲率半徑
在交點(diǎn) mi處的 齒輪牙齒側(cè)面的曲率半徑
在交點(diǎn) m1處的 齒輪牙齒側(cè)面的曲率半徑
起始基圓半徑
齒輪牙側(cè)面上點(diǎn)mi初基圓的半徑
LogiX齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)和基架LogiX的夾角
r2 LogiX 齒輪嚙合時(shí)的基圓和基架LogiX的半徑
m 齒輪的模型
z 齒數(shù)
s 齒厚，這里， i 是任意數(shù)
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