高二數(shù)學下學期期末考試試題 理7

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惠南中學2016年春季期末考試 高二數(shù)學（理科）試卷 考試時間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1.已知集合，Z，則( ) A. B. C. D. 2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) A. B. C. D. 3.學校對2016屆高三學生進行考前心理輔導，在高三甲班50名學生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （1） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大； （2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （3） 不是分層抽樣； （4）每個學生被抽取的概率相同. 則以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 4.向量，，若，則（ ） A． B． C． D． 5.若隨機變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) A. B. C. D. 6過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點， 若，則（ ） A． B． C． D． 7. 已知某工程在很大程度上受當?shù)啬杲邓康挠绊懀┕て陂g的年降水量X（單位：mm）對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應的概率如下表所示： 降水量X 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( ) A. B. C. D. 8. 如圖所示程序框圖，若時，則輸出的數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 9.不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 使N展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( ) A. B. C. D. 11.如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是 ( ) A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為（ ）A． B． C． D． 二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分) 13. 曲線在點處的切線方程為 . 14. 已知平面向量與的夾角為，，，則 . 15. 已知中心在坐標原點的橢圓的右焦點為，點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的方程為 . 16. 一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 ． 三、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17.（本小題12分） 設是數(shù)列的前項和, 已知, N. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項和. 18.（本小題12分） 班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班名女同學，名男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析. (Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？ （注：本小題最后答案只要求寫出算式，不必計算出結果） (Ⅱ)如果隨機抽取的名同學的數(shù)學，物理成績(單位：分)對應如下表： 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學成績 60 65 70 75 85 87 90 物理成績 70 77 80 85 90 86 93 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學中抽取名同學，記名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望. 19.（本小題12分） 如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點． （1）證明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20.（本小題12分） 已知點，點是直線上的動點，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點. (Ⅰ)求點的軌跡的方程； (Ⅱ)若點是直線上兩個不同的點, 且△的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍. 21.（本小題12分） 已知函數(shù) (x∈R) (Ⅰ) 當時，求函數(shù)的最小值； (Ⅱ) 若時,,求實數(shù)的取值范圍； 22.（本小題10分） 已知都是實數(shù)，，. (I)若，求實數(shù)的取值范圍； (II)若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍． 惠南中學2016年春季期末考試 高二數(shù)學（理科）試卷 解析 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的。 （1）已知集合，Z，則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：解一元二次不等式：＜2，得：，又，所以，N＝， 所以，. （2）已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：因為z＝＝，所以，＝1 (3)學校對2016屆高三學生進行考前心理輔導，在高三甲班50名學生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （2） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （4） 不是分層抽樣； （4）每個學生被抽取的概率相同. 以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 【命題意圖】本題主要考查抽樣的有關知識，考查學生的概念掌握和數(shù)據(jù)處理能力. 【答案】C 【解析】由抽樣的概念可知，此抽樣方法不是分層抽樣，不管用哪種抽樣，每個學生被抽取到的概率相同，故（3），（4）正確. （4）向量，，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，因為，所以，解得，故選C. （5）已知隨機變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：由于隨機變量服從正態(tài)分布，又， 所以，，1－0.32＝0.68 （6） 過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，如果，則（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】拋物線的焦點，準線方程為．根據(jù)拋物線的定義可得：，故選B． (7) 已知某工程在很大程度上受當?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X（單位：mm）對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應的概率如下表所示： 降水量X 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】條件概型 (8)如圖所示程序框圖，若時，則輸出的數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】模擬程序框圖的運行過程，如下： 輸入，，，； ，是，，； ，是，，； ，是，，； ，是，，； ，否，輸出． 故選D． 考點：程序框圖. （9）不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：A 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當過A（－2,0）時取得最上值為－4 （10）使N展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：，令＝0，得，所以的最小值是5 （11）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：該幾何體是一個放倒的半圓柱上面加一個四棱錐的組合體， （12）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 第Ⅱ卷 二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。 （13）曲線在點處的切線方程為 . 答案： 解析： （14）已知平面向量與的夾角為，，，則 . 答案：2 解析： （15）已知中心在坐標原點的橢圓的右焦點為，點關于直線的對稱點 在橢圓上，則橢圓的方程為 . 答案： 解析： 由于兩個焦點為（－1,0），（1,0） 所以， （16）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 ．【答案】． 三. 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分分） 設是數(shù)列的前項和, 已知, N. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項和. 解析：(Ⅰ) 解: 當時, 由, 得,…………………………1分 兩式相減, 得, …………………………2分 ∴ . ∴ . …………………………3分 當時,，, 則.…………………4分 ∴數(shù)列是以為首項, 公比為的等比數(shù)列. ………………………5分 ∴. ……………………………………………………6分 (Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)得. ∴ , ① …………………7分 , ② …………………8分 ①-②得…………9分 …………………………10分 . …………………………………11分 ∴ .……………………………………………………12分 （18）（本小題滿分分） 班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班名女同學，名男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析. (Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式，不必計算出結果） (Ⅱ)如果隨機抽取的名同學的數(shù)學，物理成績(單位：分)對應如下表： 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學成績 60 65 70 75 85 87 90 物理成績 70 77 80 85 90 86 93 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學中抽取名同學，記名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望； 解析：(Ⅰ)解：依據(jù)分層抽樣的方法，名女同學中應抽取的人數(shù)為名， …………………………………………2分 名男同學中應抽取的人數(shù)為名， ……………………4分 故不同的樣本的個數(shù)為. …………………………………………6分 (Ⅱ)解: ∵名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為名, ∴的取值為.………7分 ∴, , , . …………………9分 ∴的分布列為 …………………………………………10分 ∴ . …………………………12分 （19）（本小題滿分分） 如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點． （1）證明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題設，連結，為等腰直角三角形， 所以，且，…………………2分 又為等腰三角形，，且，得．………4分 所以為直角三角形，．…………5分 又．所以平面．…………………6分 （2）解法一：取中點，連結，由（1）知， 得．為二面角的平面角．…………………8分 由得平面． 所以，又，故． 所以二面角的余弦值為 …………………12分 （20）（本小題滿分分） 已知點，點是直線上的動點，過作直線，，線段的 垂直平分線與交于點. (Ⅰ)求點的軌跡的方程； (Ⅱ)若點是直線上兩個不同的點, 且△的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍. 解析： (Ⅰ)解:依題意,點到點的距離等于它到直線的距離, ………………1分 ∴點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線. …………2分 ∴曲線的方程為. ………………………………………………3分 (Ⅱ)解法1：設點，點，點， 直線方程為：， ………………………4分 化簡得，. ∵△的內(nèi)切圓方程為， ∴圓心到直線的距離為，即. ………5分 故. 易知，上式化簡得，.………………6分 同理，有. ………………………………7分 ∴是關于的方程的兩根. ∴， . ………………………………8分 ∴.……………9分 ∵，， ∴. 直線的斜率，則. ∴. ………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………12分 解法2：設點，點，點， 直線的方程為，即，………………4分 ∵ 直線與圓相切， ∴ . ∴ . …………………………5分 ∴ 直線的方程為. ∵ 點在直線上, ∴ . 易知，上式化簡得，. …………………6分 同理，有. ………………………………………7分 ∴是關于的方程的兩根. ∴， . …………………………………………8分 ∴. ……………9分 ∵，， ∴. 直線的斜率，則. ∴. ……………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴. ∴. ∴. ……………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………12分 解法3：設點，直線的方程為，即， 令,得,∴ . …………………4分 ∵ 直線與圓相切， ∴ . 化簡得,. ……………………………………5分 同理,設直線的方程為， 則點,且. …………6分 ∴ ,是關于的方程的兩根. ∴ , . …………………………………………7分 依題意,,. ∴ ……………………8分 . ………………9分 直線的斜率，則. ∴. ……………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴. ∴. ∴. ………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………………12分 解法4：設點，如圖，設直線，與圓相切的切點分別為，， 依據(jù)平面幾何性質(zhì)，得， …………………………4分 由， …………………5分 得， 得. …………6分 得.……7分 故. …………………………8分 依題意,,. ∴ . ………………9分 直線的斜率，則. ∴.…………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴. ∴. ∴. ……………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ……………………12分 （21）（本小題滿分分） 已知函數(shù) (x∈R) (Ⅰ) 當時，求函數(shù)的最小值； (Ⅱ) 若時,,求實數(shù)的取值范圍； 解析：(Ⅰ)解:當時，,則. …………………1分 令，得.…………………2分 當時, ; 當時, . …………………………3分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. ……………4分 ∴當時,函數(shù)取得最小值,其值為. ……………………5分 (Ⅱ)解:若時,,即.(*) 令,則.………………………6分 ① 若,由(Ⅰ)知,即,故. ∴.……………7分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴. ∴(*)式成立. ……………8分 ②若,令, 則. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由于,.…………9分 故,使得. ……………………………………10分 則當時,,即. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………11分 綜上所述,實數(shù)的取值范圍是. ………………………………………12分 （22）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知都是實數(shù)，，. (I)若，求實數(shù)的取值范圍； (II)若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍． 解：(I) 由得或， 解得或. 故所求實數(shù)的取值范圍為.……5分 （II）由且得 ， 又∵， …………………………7分 ∴， ∵的解集為， ∴的解集為， ∴所求實數(shù)的取值范圍為.……10分