中考數(shù)學(xué) 知識點(diǎn)聚焦 第十三章 圖形的初步認(rèn)識

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專題五 空間圖形與幾何初步 第十三章 圖形的初步認(rèn)識 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.正方體的表面開展圖 ★★ 3～6分 2.兩條直線相交問題 ★ 3.兩點(diǎn)之間，線段最短 ★ 4.尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段 ★ 5.角的和、差、倍、分 ★★ 6.角的互余、互補(bǔ) ★★ 7.垂線的性質(zhì) ★ 8.平行線的判定和性質(zhì) ★★★ 9.對頂角 ★ 知能圖譜 第28講 幾何圖形 知識能力解讀 知能解讀（一）幾何圖形 長方體、圓柱、球、長（正）方形、圓、線段、點(diǎn)等，以及小學(xué)學(xué)習(xí)過的三角形、四邊形等，都是從形形色色的物體外形中得出的，它們都是幾何圖形.幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一. 點(diǎn)撥 （1）幾何圖形只關(guān)注物體的形狀、大小和位置. （2）幾何圖形都是從實際物體中抽象出來的，與實物有一定的差距，只是形式而已. 知能解讀（二）立體圖形 （1）定義：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形. （2）常見的立體圖形： 知能解讀（三）平面圖形 有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們都是平面圖形. 點(diǎn)撥 雖然立體圖形和平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的.立體圖形中某些部分是平面圖形，例如長方體的側(cè)面是長方形. 知能解讀（四）立體圖形的展開圖 有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖. 幾種常見立體圖形的展開圖如下表： 名稱 正方體 長方體 無棱柱 圓柱 圓錐 立體 圖形 展開圖 （舉例） 點(diǎn)撥 （1）不是所有的立體圖形都可以展開，如球體就不能展開. （2）對于同一個立體圖形，按不同的方式展開，可以得到不同的平面圖形. 知能解讀（五）點(diǎn)、線、面、體 （1）體：幾何體液簡稱體. 面：包圍著體的是面.面有平的面和曲的面兩種. 線：面和面相交的地方形成線.線有直線和曲線之分. 點(diǎn)：線與線相交的地方是點(diǎn). （2）點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體. 點(diǎn)撥 幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素. 方法技巧歸納 方法技巧（一）根據(jù)立體圖形的概念識別立體圖形 要準(zhǔn)確地識別立體圖形，首先應(yīng)對照基本圖形把握其根本特征. 點(diǎn)撥 首先區(qū)分是柱體還是椎體，然后再看底面是圓還是多邊形. 方法技巧（二）立體圖形展開的識別 由立體圖形的展開圖可以識別出立體圖形的形狀，具體方法是：展開圖中有圓，一般考慮圓柱或圓錐；展開圖中有三角形，一般考慮圓柱或圓錐；展開圖中有三角形，一般考慮棱柱或棱錐；展開圖中只有長方形或正方形，一般考慮棱柱. 點(diǎn)撥 （1）對簡單立體圖形的展開圖進(jìn)行識記；（2）對柱體和椎體的展開圖的特征進(jìn)行比較. 方法技巧（三）由平面圖形旋轉(zhuǎn)成立圖形的識別 識別由平面圖形旋轉(zhuǎn)成的立體圖形時，首先要弄清楚旋轉(zhuǎn)軸.同一個平面圖形，旋轉(zhuǎn)軸不同，得到的立體圖形也不同，可以實際操作一下，然后想象圖形. 方法技巧（四）整體表面展開圖的應(yīng)用 正方體的表面展開圖有多種，正方體中相對面的確定等知識是?？純?nèi)容，正方體表面展開圖，正方體表面展開圖有以下幾個特點(diǎn)：（1）正方體的表面展開圖中，一條直線上的小正方形不會超過四個；（2）正方體的表面展開圖中不會有“田”與“凹”字型；（3）相間的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面“ ”型兩端處的小正方形是正方體的對面；（4）中間隔著兩個小正方形或拐角型的三個面的正方體的鄰面. 正方體的表面展開圖共有11種，如圖所示. 點(diǎn)撥 在正方體的展開圖中，相鄰的兩個正方形是正方體中相鄰的兩個，當(dāng)正方體相對的兩個面在展開圖中的同行或同列時，中間隔一個正方形. 易混易錯辨析 易混易錯辨析 1.對正方體表面展開圖掌握不好致錯. 2.棱柱與棱錐. 區(qū)別：棱柱屬于柱體，它的上下兩個底面是兩個相同的多邊形；而凌錐屬于椎體，它只有一個底面，且是多邊形. 3.圓柱和棱柱 區(qū)別：圓柱和棱柱都屬于柱體，但圓柱的地面是圓，側(cè)面是曲面；而棱柱的底面是多邊形，側(cè)面是平面. 4.圓錐和棱錐 區(qū)別：圓錐和棱錐都屬于椎體，但圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面；而棱錐的地面是多邊形，側(cè)面是平面. 易混易錯（一）對例題圖形的分類沒有理清而致錯 易混易錯（二）對幾何體的表面展開圖只注意到面的個數(shù)，忽視能否還原為原來的幾何體致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本將內(nèi)容在中考中主要考查立體圖形的識別及其平面展開圖，通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有利于考查空間想象能力和動手操作能力. 中考試題（一）識別幾何體的表面展開圖 中考試題（二）識別正方體相對面上的文字 中考試題（三）識別正方體的表面展開圖 第29講 直線、射線與線段 知識能力解讀 知能解讀 （1）基本事實：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且知能有一條直線.簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線. （2）直線的表示方法：①可以用一個小寫資本來表示，如圖所示的直線可記作“直線”；②也可以用這條直線上的兩個點(diǎn)來表示，如圖所示的直線也可以記作“直線”或“直線”，其中為直線上的任意兩個點(diǎn). （3）點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)在直線上，也可以說成直線經(jīng)過點(diǎn)（如圖所示）；點(diǎn)不在直線上，也可以說成直線不過經(jīng)點(diǎn)，或點(diǎn)在直線外（如圖所示）. （4）交點(diǎn)：當(dāng)兩條不同的直線有一個公共點(diǎn)時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn).如直線與直線相交于點(diǎn)，如圖所示. 點(diǎn)撥 （1）直線無粗細(xì)、沒有端點(diǎn)、向兩方無限延伸，不能度量. （2）直線基本事實中的“有且只有”有兩層含義，“有”說明存在一條直線，即確定有一條；“只有”說明這條直線是“唯一”的. （3）兩條不重合的直線最多有一個交點(diǎn)條直線相交最多有個交點(diǎn). （4）平面上的兩條直線，有相交和不相交兩種位置關(guān)系. 知能解讀（二）射線與線段 射線和線段都是直線的一部分.類似于直線的表示，我們可以用圖所示的方式來表示線段（或線段），其中、點(diǎn)是線段的端點(diǎn).用圖所示的方式來表示射線，其中點(diǎn)是射線的端點(diǎn). 點(diǎn)撥 （1）線段有長短（可以度量），但線段沒有方向，表示線段的兩個大寫字母沒有順序. （2）表示射線時，一定要把表示端點(diǎn)的字母寫在前面. （3）端點(diǎn)不同，所表示的射線不同；端點(diǎn)相同，延伸方向不同，所表示的射線也不同；只有端點(diǎn)相同，并且延伸方向也相同時，才是同一條射線. 知能解讀（三）直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系 直線、射線、線段之間的區(qū)別與聯(lián)系見下表： 名稱 類別 直線 射線 線段 區(qū)別 圖例 概念 線段向兩個方向無限延伸，得到直線 線段向一個方向無限延伸，就形成了射線 拔河時，拉直的繩子給遠(yuǎn)處的觀眾一條線段的形象 表示方法 直線或直線 射線（注：必須在的前面）或射線 線段或線段 端點(diǎn)個數(shù) 0 1 2 延伸性 向兩個方向無限延伸 向一個方向無限延伸 有限長 長度 不能度量 不能度量 能度量 聯(lián)系 射線、線段都是直線的一部分，線段向一個方向無限延伸就得到射線，向兩個方向無限延伸就得到直線 知能解讀（四）關(guān)于線段都的基本事實 兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短. 知能解讀（五）兩個重要概念 （1）兩點(diǎn)的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫作這兩點(diǎn)的距離. 注意：距離線段的長度，不能僅說成線段，線段是一個幾何圖形. （2）線段的中點(diǎn)：如圖所示，點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段與，點(diǎn)叫作線段的中點(diǎn). 點(diǎn)撥 常用以下式子表示點(diǎn)是線段的中點(diǎn)：①；②；③. 知能解讀（六）線段的畫法及線段長短的比較 （1）線段的畫線：①用刻度尺測量后再畫圖；②借助直尺和圓規(guī)作圖. 例：如圖所示，作一條線段，使其等于已知線段. 作法：①先做一條射線； ②用圓規(guī)量取已知線段； ③在射線上以為圓心截取，則線段為所求線段，如圖所示. 這是第一個基本作圖，應(yīng)熟練掌握. （2）線段長短的比較. ①疊合法：先把兩條線段放在同一條直線上，讓其一端重合，再看另一端的位置，從而確定兩條線段的長短，這是從“形”的方面來進(jìn)行比較. ②度量法：利用刻度尺，量出，每條線段的長度，再根據(jù)度量的結(jié)果確定兩條線段的長短，這是從“數(shù)”的方面來進(jìn)行比較，線段的長短關(guān)系和它們的長度大小關(guān)系是一致的. 方法技巧歸納 方法技巧（一）直線、射線、線段的識別及表示方法 識別時應(yīng)根據(jù)它們各自的特征，“無始無終”的是直線，“有始有終”的是線段，“有始無終”的是射線.表示時注意射線端點(diǎn)必須在前. 注意 數(shù)射線的關(guān)鍵是找準(zhǔn)端點(diǎn)，表示時端點(diǎn)要寫在前面. 方法技巧（二）關(guān)于直線和線段基本事實的應(yīng)用 關(guān)于直線的基本事實：兩點(diǎn)確定的一條直線；關(guān)于直線的基本事實；兩點(diǎn)之間，線段最短.這兩條基本事實在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意識別. 點(diǎn)撥 本題是兩個基本事實在生活中的應(yīng)用，要注意學(xué)會將生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)原理來解釋. 方法技巧（三）規(guī)律探究技巧 在識別平面內(nèi)直線分平面部分?jǐn)?shù)，直線的交點(diǎn)個數(shù)，探究線段、射線或直線條數(shù)時，一般先從較簡單的情形入手，通過發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后加以總結(jié). 點(diǎn)撥 （1）事實上，直線之間的交點(diǎn)個數(shù)越多，直線將平面分成部分就越多.（2）從簡單情形入手，探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律是常用的數(shù)學(xué)方法. 方法技巧（四）線段的有關(guān)計算技巧 求線段長度時，如果直接求解有困難，可采取設(shè)未知數(shù)建立方程的方法進(jìn)行. 點(diǎn)撥 列方程進(jìn)行機(jī)損是常用的方法，應(yīng)注意掌握. 點(diǎn)撥 依據(jù)線段中點(diǎn)的定義和所分的兩條線段相等，再根據(jù)線段和、差、倍、分關(guān)系求線段的長.在解答此類問題時，既要結(jié)合圖形分析已知線段和所求線段的位置關(guān)系，又要體會比較簡捷的解題方法. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.直線、射線、線段的表示法. 區(qū)別：直線、射線和線段都可以用兩個大寫字母表示，但是它們的要求是不一樣的，表示直線和線段的兩個大寫字母沒有先后順序，但表示射線的兩個大寫字母中端字母必須在前面. 2.線段外一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)易混淆. 區(qū)別：線段外一點(diǎn)有兩種情況，一是點(diǎn)在線段所在的直線上但在線段的兩個端點(diǎn)的外部；二是點(diǎn)在線段所在直線的外部.而直線外一點(diǎn)只有一種情況，就是點(diǎn)在直線外. 易混易錯（一）不能把握直線、射線、線段的根本特征而致誤 易混易錯（二）點(diǎn)的位置不確定，造成漏解 易混易錯（三）出現(xiàn)數(shù)重或漏數(shù)錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講內(nèi)容在中考中主要考查兩點(diǎn)確定一條直線及兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)，線段的和、差級線段的中點(diǎn)等概念，對兩點(diǎn)之間的距離也常涉及，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，有時也計算題或探究題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）運(yùn)用之前的基本事實 中考試題（二）運(yùn)用線段的基本事實 中考試題（三）利用線段的中點(diǎn)計算 第30 講 角 知識能力解讀 知識解讀（一）角的概念及表示方法 1角的概念 （1）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊. （2）角也可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形. （3）射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分稱為角的內(nèi)部，平面其余部分稱為角的外部. 注意 角的大小只與開口大小有關(guān)，而與角的邊的長短無關(guān)，因為角的兩邊是射線. 2角的表示方法 角可用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有四種表示方法： （1）用數(shù)字表示單獨(dú)的一個角，如圖所示的等； （2）用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個角，如圖所示的等； （3）用一個大寫英文字母表示一個獨(dú)立的角（在一個頂點(diǎn)處只有一個角），如圖1-30-1所示的等； （4）用三個大寫英文字母能表示出任一個角，如圖所示的等，注意頂點(diǎn)字母必須寫在中間. 知能解讀（二）角的比較 （1）度量法：如圖所示，用量角器量得，所以. （2）疊合法：如圖所示，把一個角放到另一個角上，使它們的頂點(diǎn)重合，器重的一邊也重合，并使這兩個角的另一邊都在重合的同側(cè)，其大小關(guān)系就明顯了，由圖可知，. 注意 （1）角可以度量，可以比較大小，也可以參與運(yùn)算.（2）用疊合法比較角的大小注意三點(diǎn)；①角的頂點(diǎn)重合；②角的一邊重合；③另一邊落在重合邊的同側(cè). :知能解讀（三）角的畫法 方法1：畫一個角等于已知角，可用量角器先測定已知角的度數(shù)，再用量角器畫與已知角相等的角. 方法2：用圓規(guī)和直尺畫一個角等于已知角. 例如：如圖所示，已知. 求作：，使. 作法：（1）以為圓心，以任意長為半徑作弧，交于點(diǎn); （2）作射線，以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)； （3）以為圓心，長為半徑作弧，交弧于點(diǎn)； （4）過點(diǎn)作射線，則即為所求. 注意 方法2用圓規(guī)、直尺畫角是基本作圖，也在中考命題范圍之內(nèi). 知能解讀（四）角的和、差、倍、分 （1）角的和、差 如圖①所示，如圖將與的頂點(diǎn)重合，再將的一邊與的一邊重合，并使兩個角的另一邊分別在重合邊的兩側(cè)，它們不重合的兩邊組成，這時就說是與的和，記作.此時是與的差，記作；是與的差，記作. （2）角的倍、分 如圖②所示，用上述方法將兩個拼在一起得到，這時就說是的2倍，記作或是的，記作.類似地，將三個拼在一起得到時，. 知能解讀（五）角平分線 一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線.常用以下三類數(shù)學(xué)式子表示角的平分線：如圖所示，①；②；③. 注意 角平分線是一條射線，而不是一條直線或線段.角平分線把一個角分成兩個相等的角. 知能解讀（六）角的度量單位及換算 我們常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量單位. 把一個周角360等分，每一份就是1度的角，把1度的角60等分，每一份就是1分的角，把1分的角60等分，每一份就是1秒的角.1度記作，1分記作，1秒記作.，. 即：；... 點(diǎn)撥 （1）度、分、秒之間是60進(jìn)制，這和計量時間的單位時、分、秒是一樣的. （2）使用量角器時，注意量角器的零刻度的讀數(shù)的旋轉(zhuǎn)方向，即選擇內(nèi)刻度、外刻度的讀數(shù). （3）以、度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.此外，還有其他度量角的單位制，如以弧度為基本度量單位的弧度制. 知能解讀（七）互為余角和互為補(bǔ)角 （1）如圖兩個角的和是，那么這兩個角互為余角，其中一個角是另一個角的余數(shù).銳角的余角為. （2）如果兩個角的和是，那么這兩個角互為補(bǔ)角，其中一個角是另一個角的補(bǔ)角.角的補(bǔ)角是. （3）互余、互補(bǔ)的性質(zhì)；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的補(bǔ)角相等. 注意 （1）余角和補(bǔ)角是關(guān)于兩個角的關(guān)系的概念，不能單獨(dú)說哪一個角是余角或補(bǔ)角. （2）兩個角互余或互補(bǔ)只是兩個角的和為或，與位置無關(guān). （3）兩個角互余，則這兩個角一定都是銳角.兩個角互補(bǔ)，這兩個角可能都是直角.也可能一個角是銳角，另一個角為鈍角. 知能解讀（八）用角度表示方向 方位角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所成的小于九十度的角.例：如圖所示，方向可表示為北偏西 方法技巧歸納 方法技巧（一）角的識別和表示法 角的識別關(guān)鍵是找角的頂點(diǎn)，再找角的兩邊，在表示角時，注意一個大寫字母只能表示一個獨(dú)立角，三個大寫字母可以表示任意的角，而且要把表示頂點(diǎn)的字母寫在中間. 點(diǎn)撥 （3）中關(guān)鍵詞是“只能”（即不能用另外的表示方法）二字，因此在找角時要按照要求去做. 方法技巧（二）利用角平分線的定義求角的度數(shù)的方法 角的平分線提供了角的相等或倍分關(guān)系，把這些關(guān)系與已知角聯(lián)系起來，可以求出相關(guān)角的度數(shù). 在有關(guān)角的度數(shù)的計算題中，有些題目設(shè)有給出圖形，當(dāng)畫出符合題意的圖形不唯一時，要注意分情況進(jìn)行討論. 點(diǎn)撥 根據(jù)解題的需要，角平分線的定義既可以寫作兩角相等的形式，也可以寫作一個角是另一個角2倍的形式，還可以寫作一個角是另外一個半的形式，應(yīng)靈活選擇.同時在計算中應(yīng)注意“整體代入思想”的運(yùn)用. 方法技巧（三）度、分、秒的換算 把度換算成度、分、秒時要乘進(jìn)率，而把度、分、秒轉(zhuǎn)化為度時，要除以進(jìn)率，換算時要逐級進(jìn)行，不可越級轉(zhuǎn)化. 點(diǎn)撥 將的形式化為度、分、秒的形式時，先取度整數(shù)后的剩余部分成60，再取乘積整數(shù)后的剩余部分乘60，最后以度、分、秒的形式寫出來；將度、分、秒的形式化成度的形式的方法是. 方法技巧（四）余角和補(bǔ)角的有關(guān)計算 根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義，銳角的.個別復(fù)雜些的問題，可列方程求解. 點(diǎn)撥 本題求角度可以利用方程求解，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù). 點(diǎn)撥 在計算有關(guān)余角、補(bǔ)角或與角度有關(guān)的問題時，多數(shù)用列方程的方法求解. 方法技巧（五）鐘表上的角度問題 我們知道，時鐘（如圖所示）是測量時間的工具，時間的長與短、多與少都可以通過指針的指向來判斷.在幾何中，機(jī)械時鐘的指針還給了我們角的直觀形象.在時鐘的表盤上，分針每分鐘轉(zhuǎn)，時針每小時轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn).知道這些關(guān)系，就可輕松解決時鐘問題了. 點(diǎn)撥 鐘表中時針與分針的夾角問題可轉(zhuǎn)化為行程與角的應(yīng)用題，采用方程的思想來解決，使復(fù)雜的問題變得直觀，易于解決. 易混易錯辨析 易混易錯只是 1.互余、互補(bǔ)概念混淆. 互余、互補(bǔ)是指兩個角之間的一種關(guān)系，若三個角的和等于（或），不能說這三個角互余（或互補(bǔ)）. 2.角的換算單位與數(shù)的換算單位混淆. 區(qū)別：角的換算單位之間的進(jìn)率是60，而數(shù)的換算單位之間的進(jìn)率是10. 易混易錯（一）對角的概念理解不清而致錯 易混易錯（二）考慮問題不全面致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講知識在中考中重點(diǎn)考查角的分類，角的大小比較及有關(guān)計算，互余、互補(bǔ)等知識，利用角平分線以及角的和差進(jìn)行角的計算，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，今年來又出現(xiàn)了對角的個數(shù)的規(guī)律探究方面的考查. 中考試題（一）角的運(yùn)算 中考試題（二）余角、補(bǔ)角的識別 中考試題（三）余角、補(bǔ)角的有關(guān)計算 中考試題（四）方位角的識別 第31講 相交線、平行線 知識能力解讀 知能解讀（一）鄰補(bǔ)角、對頂角的概念 1鄰補(bǔ)角 如圖所示，和有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線（與互補(bǔ)），具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角. 2對頂角 定義：如圖所示，和有一個公共頂點(diǎn)，并且的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角. 性質(zhì)：對頂角相等. 注意 對頂角的特征：①對頂角由兩條直線相交形成，同時形成兩對對頂角；②成對頂角的兩個角有公共的頂點(diǎn)；③一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線. 知能解讀（二）垂線的定義、性質(zhì) 1垂線的定義 如圖所示，直線與相交于點(diǎn)，當(dāng)時，我們說直線與直線互相垂直，記作. 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂直線.它們的交點(diǎn)叫作垂足. 2垂線的性質(zhì) （1）基本事實：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有條直線與已知直線垂直. 注意 （1）應(yīng)用以上性質(zhì)必須強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”，否則，在空間里，經(jīng)過直線上一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無數(shù)條；（2）“過一點(diǎn)”中的一點(diǎn)可以是直線外一點(diǎn)，也可以是直線上一點(diǎn)；（3）“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性. （2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中的垂線段最短.簡單說成：垂線段最短. 注意 垂線與垂線段都具有垂直已知直線的特征，但垂線是一條直線，不能度量，而垂線段是一條線段，可以度量，它是垂線的一部分. 知能解讀（三）點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫作到直線的距離. 注意 距離是一個數(shù)量，而不是一個線段，所以點(diǎn)到直線的距離強(qiáng)調(diào)的是垂線段的長度. 區(qū)分兩點(diǎn)間的距離與點(diǎn)到直線的距離，如下表： 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)到直線的距離 定義 連接兩點(diǎn)的線段的長度 從直線外一點(diǎn)到這條之心啊的垂線段的長度 性質(zhì) 兩點(diǎn)之間，線段最短 垂線段最短 知能解讀（四）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念 如圖所示，直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個角，簡稱“三線八角”. （1）同位角：與，與，與，與，它們分別在直線的同一方，且在直線的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同位角. （2）內(nèi)錯角：與，與，它們都在直線之間，并且分別在直線兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫作內(nèi)錯角. （3）同旁內(nèi)角：與，與，它們都在直線之間，又在直線的同一旁，具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同旁內(nèi)角. 注意 （1）這三類角指的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系. （2）這三類角沒有公共頂點(diǎn)，都是成對出現(xiàn)的. 知能解讀（五）平行線的概念及平行公理 1平行線的概念 在同一平面內(nèi)，直線與不相交時，我們說線與互相平行，記作. 注意 （1）平行線無論怎樣延伸也不相交. （2）今后遇到線段、射線平行時，指線段、射線所在的直線平行. （3）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行. 2平行公理及推論 平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行. 注意 （1）以上結(jié)論所的是經(jīng)過“直線外一點(diǎn)”，若經(jīng)過直線上的一點(diǎn)作已知直線的平行線，就與已知直線重合了.（2）“有且只有”指出了過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線的“存在性”和“唯一性”. 推論：如圖兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如果，那么（如圖所示）. 知能解讀（六）平行線的判定 （1）同位角相等，兩直線平行；（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 知能解讀（七）平行線的性質(zhì) （1）兩直線平行，同位角相等；（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 知能解讀（八）平行線間的距離 （1）如果兩條直線平行，那么其中一條直線上每個點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.這個距離，叫作這兩條平行線之間的距離. 注意 （1）對于平面內(nèi)角的兩條直線，只有平行線才有距離，兩條相交直線不存在距離. （2）求兩條平行線之間距離的方法：在兩條平行線中的任意一條上取任意一點(diǎn)作另一條直線的垂線段，垂線段的長度是這兩條平行線之間的距離，實際上是把求兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到一條直線的距離. （3）區(qū)分“垂線段”與“距離”，前者是形，后者是量，垂線段的長度是距離. 方法技巧歸納 方法技巧（一）對頂角的識別方法 識別對頂角應(yīng)把握兩個條件：一是有公共頂點(diǎn)；二是角的兩邊互為反向延長線.一般來說，兩條直線相交，一定有對頂角產(chǎn)生. 點(diǎn)撥 對頂角的定義應(yīng)注意四點(diǎn)：（1）對頂角由兩條直線相交而成；（2）同時形成的有兩對對頂角；（3）成對頂角的兩個角有公共頂點(diǎn)；（4）一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線. 方法技巧（二）垂直的定義及性質(zhì)的應(yīng)用 進(jìn)行有關(guān)角的計算時，一遇到垂直就應(yīng)聯(lián)想到相交所成的四個角都是. 點(diǎn)撥 解決與垂直有關(guān)的問題時，通常利用互余、互補(bǔ)關(guān)系，對頂角及同等角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等等條件來求解. 方法技巧（三）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別 要準(zhǔn)確地識別這三類角，首先應(yīng)對照基本圖形，根據(jù)定義把握其位置特點(diǎn)，在遇到實際問題時要找出哪兩條直線被哪一條直線所截，對于一些復(fù)雜圖形有時還需要把圖形分開來識別. 識別方法如下： 角的 名稱 位置特征 基本圖形 圖形結(jié)構(gòu)特征 截線的識別 同位線 在兩條被截直線同旁，在截線同側(cè) 形如字母“F”（或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 兩角中共線的邊所在的直線是截線，不共線的邊所在的直線是被截線 內(nèi)錯角 在兩條被截直線之間，在截線兩側(cè)（交錯） 形如字母“Z” （或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 同旁 內(nèi)角 在兩條被截直線之間，在截線同側(cè) 形如字母“U” （或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 點(diǎn)撥 每對同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的頂點(diǎn)都不相同，且有一邊在同一條直線（截線）上，另一條邊分別在另兩條直線（被截線）上. 方法技巧（四）平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用 當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線時，應(yīng)考慮有關(guān)角相等或互補(bǔ)這些性質(zhì). 點(diǎn)撥 本例是平行線性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，這是與平行線有關(guān)問題的常見形式.先應(yīng)用性質(zhì)，求得角相等（或互補(bǔ)），再對角與角之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到新的角相等（或互補(bǔ)），從而說明又一組直線平行；或是先由一對角相等（或互補(bǔ)），推得兩直線平行，再證新的一對角相等（或互補(bǔ)），進(jìn)而得平行線. 方法技巧（五）輔助平行線的妙用 主要體現(xiàn)為求一些角的度數(shù)有困難時，通過作輔助線轉(zhuǎn)化為同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角進(jìn)行求解. 點(diǎn)撥 此題不能直接接觸，需要添加與平行的直線，它為輔助線，用虛線畫出.添加輔助線的目的使問題得以順利解決. 點(diǎn)撥 在這里作輔助線不能過點(diǎn)作，只能作其中一條直線的平行線，再說明它與另一條直線也平行. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.互為補(bǔ)角與互為鄰補(bǔ)角. 區(qū)別：互補(bǔ)只強(qiáng)調(diào)兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，而互為鄰補(bǔ)角不但要求兩角和，而且還從位置上要求兩個角必須有公共頂點(diǎn)和一條公共邊. 聯(lián)系：互為鄰補(bǔ)角是互為補(bǔ)角的特殊情況. 2.垂線段與點(diǎn)到直線的距離混淆. 區(qū)別：垂線段是圖形，而距離是線段的長度. 3.在應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)時忽視條件. 在利用同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)關(guān)系時，易忽略“兩直線平行”這個前提條件. 易混易錯 不能準(zhǔn)確地識別“三線八角”致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，多以填空題和選擇題以及簡單的解答題形式出現(xiàn)，主要考查的內(nèi)容有：對頂角性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)用垂直的定義講行相關(guān)計算，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角概念的考查以及平行的條件；與平行四邊形、梯形、相似形（以后要講的知識）相結(jié)合的綜合題以及平行線的性質(zhì)和判定在其他學(xué)科中的應(yīng)用. 中考試題（一）對頂角的性質(zhì)的應(yīng)用 中考試題（二）平行條件的識別 中考試題（三）平行線的性質(zhì)與垂直的綜合運(yùn)用 中考試題（四）平行線判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用