高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 文6

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惠南中學(xué)2016年春季期末考試 高二數(shù)學(xué)（文科）試卷 考試時間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. 已知集合，則( ) A. B. C. D. 2. 已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) A. B. C. D. 3. 學(xué)校對2016屆高三學(xué)生進(jìn)行考前心理輔導(dǎo)，在高三甲班50名學(xué)生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （1） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （3） 不是分層抽樣； （4）每個學(xué)生被抽取的概率相同. 以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 4. 設(shè)，是兩個集合，則“”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 5. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( ) A. 52 B. 78 C. 104 D. 208 6. 過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（ ） A． B． C． D． 氣溫 18 13 10 -1 山高 24 34 38 64 7.為了了解某山高與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4次山高與相應(yīng)的氣溫， 并制作了對照表：由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程， 由此可估計(jì)出山高為72（km）處氣溫的度數(shù)約為（　　?。? A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 8. 在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的概率為( ) A. B. C. D. 9. 如圖所示程序框圖，執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入，那么輸出的的值為( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( ) A. B. C. D. 11. 若雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其漸近線方程為，則雙曲線的方程為（ ） A． B． C． D． 12. 已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點(diǎn)作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為( ) A. B. C. D. 無法確定 第Ⅱ卷 二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。 13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 14. 已知是圓與圓的公共點(diǎn)，則的面積為________． 15. 若 “，使”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 16.若y=f(x)是定義在R上的函數(shù),且則的解集為　　　. 三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17.（本題分） 已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公差不為0的等差數(shù)列，而等比數(shù)列的前3項(xiàng)分別是. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2)如果求正整數(shù)n的值。 18. （本題分）長時間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康，某校為了解A 、B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）． （Ⅰ）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)，哪個班的學(xué)生平均上網(wǎng)時間較長； （Ⅱ）從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過的數(shù)據(jù)記為，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過的數(shù)據(jù)記為，求的概率． 19. （本題分） 某學(xué)校高三年級有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （Ⅰ）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （Ⅱ）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，得到數(shù)據(jù)如下表：請你根據(jù)已知條件完成下列22列聯(lián)表： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 100 并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （參考公式：，其中） 20. （本題分） 已知拋物線：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)， 證明：為定值． 21.（本小題滿分分） 設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。 （1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （2）已知不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 22. （本小題滿分10分）選修4－4: 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)將曲線和直線化為直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值. 惠南中學(xué)2016年春季期末考試 高二數(shù)學(xué)（文科）試卷 解析 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。 1. 已知集合，則( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B．【解析】因?yàn)?，所以．?yīng)選B． 2. 已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) (A) (B) (C) (D) 2答案：B 解析：因?yàn)閦＝＝，得＝1 3. 學(xué)校對2016屆高三學(xué)生進(jìn)行考前心理輔導(dǎo)，在高三甲班50名學(xué)生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （2） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （4） 不是分層抽樣； （4）每個學(xué)生被抽取的概率相同. 以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 【命題意圖】本題主要考查抽樣的有關(guān)知識，考查學(xué)生的概念掌握和數(shù)據(jù)處理能力. 【答案】C 【解析】由抽樣的概念可知，此抽樣方法不是分層抽樣，不管用哪種抽樣，每個學(xué)生被抽取到的概率相同，故（3），（4）正確. 4. 設(shè)，是兩個集合，則“”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 5. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( ) （A）52 （B）78 （C）104 （D）208 答案：C 解析：由，得＝8，所以，＝104，選C。 6. 過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，則（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．根據(jù)拋物線的定義可得：，故選B． 7.登山族為了了解某山高與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4次山高與相應(yīng)的氣溫，并制作了對照表： 氣溫 18 13 10 -1 山高 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，由此請估計(jì)出山高為72（km）處氣溫的度數(shù)為（　　　）A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【命題意圖】本題考查線性回歸的基本思想，中檔題． 【答案】D【解析】得，代入到線性回歸方程，可得，由，可得，故選D． 8. 在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的概率為( )（A） （B） （C） （D） 答案：A 解析：畫出平面區(qū)域，如圖，陰影部分符合，其面積為，正方形面積為1，故所求概率為： 9. 如圖所示程序框圖，執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入，那么輸出的的值為( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 【答案】B． 【解析】已知輸入的值為4，故可列表如下： 初始值 第1次 第2次 第3次 ，終止循環(huán)，輸出值為3． 是否滿足 ， 滿足 ， 滿足 ， 滿足 0 1 0 由上表可知，應(yīng)選B． 10. 不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 答案：A 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當(dāng)過A（－2,0）時取得最上值為－4 11. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其漸近線方程為，則雙曲線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 12. 已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點(diǎn)作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為( ) (A) (B) (C) (D) 無法確定 答案：B 解析：特殊點(diǎn)法。因?yàn)槭嵌ㄖ?，M為雙曲線上任一點(diǎn)，取特殊點(diǎn)，當(dāng)M為右頂點(diǎn)時，由漸近線知三角形OMN為等腰直角三形，此時 第Ⅱ卷 二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。 13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 答案： 解析： 14. 已知是圓與圓的公共點(diǎn)，則的面積為________． 【命題意圖】本題考查兩圓位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，中檔題．【答案】 15. 若 “，使”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 16. 已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù),且則的解集為　　　　　. 【答案】(1,+∞) 【解析】記F(x)=f(x)-x,則F‘(x)=f’(x)-1>0,則F(x)在R上為增函數(shù),而F(1)=f(1)-1=0,那么f(x)>x的解集,即F(x)>F(1)的解集,易知x>1. 三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17.（本小題滿分分） 已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公差不為0的等差數(shù)列，而等比數(shù)列的前3項(xiàng)分別是. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2)如果求正整數(shù)n的值。 17.解：(1)設(shè)數(shù)列的公差為d, …………1分 成等比數(shù)列，∴…………2分 ∴…………5分 …………6分 （2）數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q= =4, …………7分 由得 …………11分 ∴正整數(shù)n的值是2 …………12分 18. （本小題滿分分）長時間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A 、B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）． （Ⅰ）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)，哪個班的學(xué)生平均上網(wǎng)時間較長； （Ⅱ）從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過的數(shù)據(jù)記為，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過的數(shù)據(jù)記為，求的概率． 18.（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為………………3分 由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間17小時； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為 由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間較長． …………………6分 （Ⅱ）A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù) 有3個，分別為：9，11，14， B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù) 也有3個，分別為：11，12，21， 從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個共有：9種不同情況，分別為：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），…………………9分 其中的情況有（14，11），（14，12）兩種，故的概率．…………………12分 19. （本小題滿分分） 某學(xué)校高三年級有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （Ⅰ）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （Ⅱ）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，得到數(shù)據(jù)如下表：請你根據(jù)已知條件完成下列22列聯(lián)表： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 100 并判斷是否有超過90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？ 參考數(shù)據(jù)： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （參考公式：，其中） 【解析】由已知得，抽取的100名學(xué)生中，男生60名，女生40名；分?jǐn)?shù)小于等于110分的學(xué)生中，男生人有600.05=3(人)，記為A1，A2，A3；女生有400.05=2(人)，記為B1，B2……… 2分 從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，所有的可能結(jié)果為 共有10種…….4分 其中，兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果有 ，共有6種， 5分 故所求的概率． 6分 （Ⅱ）由頻率分布直方圖可知， 在抽取的100名學(xué)生中，數(shù)學(xué)尖子生男生600.25=15(人)，女生400.375=15(人) 7分 據(jù)此可得22列聯(lián)表如下： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 9分 則的觀測值 11分 因?yàn)?.79<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”． 12分 20. （本小題滿分分） 已知拋物線：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)， 證明：為定值． 20. 本題主要考查直線、橢圓、軌跡等基礎(chǔ)知識及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查特殊與一般的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分12分． 解法一：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為. ∵到焦點(diǎn)的距離為. ∴， 2分 ∴， 3分 ∴的坐標(biāo)為. ∴. 4分 ∵, ∴, ∴拋物線的方程為：. 5分 （Ⅱ）設(shè)直線的方程為,的中點(diǎn) 聯(lián)立, 整理得： 6分 ∴， 7分 ∴，即， 8分 又 9分 ∴以為直徑的圓的方程為： 10分 令得， 11分 設(shè)則， ∴為定值. 12分 解法二：（Ⅰ）同法一； （Ⅱ）設(shè),則 由已知可得, 6分 ∴即， 7分 同理可得， ∴為方程的兩根， 8分 ∴ 9分 聯(lián)立, 整理得： 10分 ∴， 11分 ∴，即為定值. 12分 21.（本小題滿分分） 設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。 （1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （2）已知不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 21解: (1) ，由于函數(shù)在時取得極值，所以 ，即 (2) 方法一 由題設(shè)知：對任意都成立， 即對任意都成立， 設(shè) , 則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對任意，恒成立的充分必要條件是，即 ， 于是的取值范圍是 方法二由題設(shè)知：對任意都成立， 即對任意都成立 于是對任意都成立，即 ， 于是的取值范圍是 22. （本小題滿分10分）選修4－4: 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)將曲線和直線化為直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值. 22解析：(Ⅰ)解：由得， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. …………………………………2分 由，得，……………3分 化簡得，， …………………………………4分 ∴. ∴直線的直角坐標(biāo)方程為. …………………………………5分 (Ⅱ)解法1：由于點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，…6分 點(diǎn)到直線的距離為 …………………………7分 .…………………………………8分 當(dāng)時，. …………………………………9分 ∴ 點(diǎn)到直線的距離的最大值為. …………………………………10分 解法2：設(shè)與直線平行的直線的方程為， 由消去得， ………………………6分 令， …………………………………7分 解得. …………………………………8分 ∴直線的方程為，即. ∴兩條平行直線與之間的距離為.………………………9分 ∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為. …………………………………10分