高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理1

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2015—2016學(xué)年度第二學(xué)期期中測(cè)試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷 注意事項(xiàng)： 1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘． 2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名等相關(guān)信息寫在答題紙的密封線內(nèi)．試題的答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題紙． 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上） 1. 復(fù)數(shù)的實(shí)部是 2．“∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，請(qǐng)你補(bǔ)充以上推理的 大前提 3．復(fù)數(shù)的模是 4. 的展開式中的系數(shù)為 5. 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限. 6. 若將四面體作為三角形類比,那么在立體幾何中與平面幾何中矩形類似的概念 7. 計(jì)算: ＝ 8. 已知，則＝ 9. 高二某班有人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條祝福語，那么全班共寫了 條祝福語．（用數(shù)字作答） 10．對(duì)于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下： （1）當(dāng)時(shí)，，不等式成立． （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即， 則當(dāng)時(shí)， ，∴當(dāng)時(shí)，不等式成立，則上述證明過程中錯(cuò)誤的是 (請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào))． ①驗(yàn)得不正確． ②歸納假設(shè)不正確． ③從到的推理不正確． 11． 觀察下列各式： C＝40； C＋C＝41； C＋C＋C＝42； C＋C＋C＋C＝43； …… 照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時(shí)， C＋C＋C＋…＋C＝ 12. 若為奇數(shù)（），則被9除所得的余數(shù) 是 13．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列： 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 則上起第2015行，左起第2016列的數(shù)應(yīng)為 14. 如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用有種 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 15.（本小題滿分14分） （1）實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)？ （2）已知，求復(fù)數(shù). 16.（本小題滿分14分） 在展開式中， （1）若其第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求的值； （2）若，求其二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 17.（本小題滿分14分） 某興趣小組有學(xué)生15名，其中正、副組長(zhǎng)各1名，先選派5名學(xué)生參加某種課外活動(dòng). （1）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)必須參加有多少種選法？ （2）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)有且只有1人參加有多少種選法？ （3）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)至少有1人在內(nèi)，有多少種選法？ 18．（本小題滿分16分） （1）已知，且，試用分析法證明：； （2）已知，試用反證法證明：方程沒有負(fù)數(shù)根. 19.（本小題滿分16分） 從函數(shù)角度看，可看成是以為自變量的函數(shù)，其定義域是. （1）證明：； （2）試?yán)茫?）的結(jié)論證明：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開式最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 20. （本小題滿分16分） 是否存在常數(shù)滿足下列條件的， 使得等式: 對(duì)一切正整數(shù)都成立.如果存在，請(qǐng)求出，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.  2015—2016學(xué)年度第二學(xué)期期中測(cè)試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案 說明： 1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)，閱卷時(shí)可適當(dāng)參考． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)． 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上） 1. 2 2．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形 3. 4. 6 5. 四 6. 長(zhǎng)方體 7. 8. -2 9.1560 10．③ 11．4n－1 12. 7 13．20152016=4062240 14. 264 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 15.（本小題滿分14分） （1）實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)？ （2）已知，求復(fù)數(shù).（課本練習(xí)） 15. 解：（1）當(dāng)，且，……4分 即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)……7分 （2）設(shè)……9分，……10分 ……12分， ……14分 16.（本小題滿分14分） 在展開式中， （1）若其第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求的值； （2）若，求其二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 16.解：（1）因?yàn)榈恼归_式中的第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)， ……3分 有所以=18……7分 （2）當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為,……10分 所以……14分 17.（本小題滿分14分） 某興趣小組有學(xué)生15名，其中正、副組長(zhǎng)各1名，先選派5名學(xué)生參加某種課外活動(dòng). （1）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)必須參加有多少種選法？ （2）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)有且只有1人參加有多少種選法？ （3）如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)至少有1人在內(nèi)，有多少種選法？ 17.解：（1）＝286 ……4分 （2）＝1430 ……9分 （3）－＝1716……14分 18．（本小題滿分16分） （1）已知，且，試用分析法證明：； 證明：因?yàn)椋遥? 所以，，要證明原不等式成立，只需證明，……4分 即證，從而只需證明， 即，……6分 因?yàn)?，? 所以成立，故原不等式成立．……8分 （2）已知，試用反證法證明：方程沒有負(fù)數(shù)根. 證明：假設(shè)是的負(fù)數(shù)根，則且且……10分 ，解得，這與矛盾， 故方程沒有負(fù)數(shù)根……16分 19.（本小題滿分16分） （1）證明： ， ……2分 而 故成立. ……6分 （2）證明：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè), ……8分 ,. . ……10分 令，可得，（等號(hào)不成立）. 當(dāng)時(shí)，成立； ……14分 反之，當(dāng)時(shí)，成立； 故最大，即的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. ……16分 20.（本小題滿分16分） 是否存在常數(shù)滿足下列條件的， 使得等式: 對(duì)一切正整數(shù)，都成立.如果存在，請(qǐng)求出，并證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說明理由. 20 .解:令n=1,2,并整理得……4分 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: （1）當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確. ……6分 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即: ……8分 則當(dāng)n=k+1時(shí), 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 根據(jù)（1）、（2）知,對(duì)一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立. ……16分