多元統(tǒng)計(jì)分析-石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院.ppt

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多元統(tǒng)計(jì)分析,黃本春,石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院經(jīng)貿(mào)學(xué)院統(tǒng)計(jì)教研室,多元分析概述,多元方法的應(yīng)用1、數(shù)據(jù)縮減或簡化2、分類與分組3、變量間依賴性的研究4、預(yù)測(cè)5、假設(shè)檢驗(yàn),多元分析概述,數(shù)據(jù)的組織陣列描述統(tǒng)計(jì)量樣本協(xié)方差圖解法,矩陣代數(shù)與隨機(jī)向量,一、矩陣代數(shù)基礎(chǔ),（一）定義,若q=1，則稱A為p維列向量，記作,若p=1，則稱A為q維行向量，記作,若矩陣的所有元素全為零，則稱為零矩陣。若，則稱為階方陣。,轉(zhuǎn)置矩陣：將矩陣的行與列互換，記作,對(duì)角線元素,非對(duì)角線元素,上三角矩陣：方陣的對(duì)角線下方的元素全為。,下三角矩陣：方陣的對(duì)角線上方的元素全為。,則,對(duì)稱矩陣：若A是方陣，且,斜對(duì)稱矩陣：若A是方陣，且,例：如果,（二）運(yùn)算,1、和的運(yùn)算（相同維數(shù)的兩個(gè)矩陣可以相加）,2、積的運(yùn)算若c為一常數(shù)，則它與A的積定義為若，則A與B的積定義為,注意：當(dāng)A的列元素個(gè)數(shù)與B的行元素個(gè)數(shù)相同時(shí)，才能進(jìn)行矩陣的乘積運(yùn)算。,例若,則,3、矩陣運(yùn)算規(guī)律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,正交矩陣：若方陣滿足。即矩陣的每一行均具有單位長度且行與行之間互相垂直（正交）。,如果存在矩陣，使得,則稱為的逆矩陣，并記作。,（三）矩陣的逆,1、定義如果，就存在一個(gè)倒數(shù)，能使，這個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系在矩陣代數(shù)中有如下推廣：,的個(gè)列向量線性無關(guān)。即的存在等價(jià)于僅當(dāng)時(shí)。即是非退化方陣。,存在逆矩陣的條件是：,逆矩陣具有如下的基本性質(zhì)：,(1),（2）,,,(3)若和均為階非退化方陣，則,（4）,(5)若是正交矩陣，則,,,,,于是：,故的逆矩陣為：,例：設(shè),例：設(shè),（1），當(dāng)且僅當(dāng)。,（2）若為矩陣,且，則。,2、矩陣的秩的基本性質(zhì)：,（四）矩陣的秩,1、定義：設(shè)為矩陣，如果中不為零的子方陣最高階數(shù)為，而任何階子方陣皆為零，則稱為矩陣的秩，記作,（4）。,（5）。,（3）。,（7）階方陣是非退化的，當(dāng)且僅當(dāng)（稱作是滿秩的）。,（8）。,（6）若和為非退化方陣，則,例：設(shè)，由于，所以的秩是2。,一定義設(shè)是階方陣，若對(duì)于一個(gè)數(shù)，存在一個(gè)維非零向量，使得，則稱為的一個(gè)特征值或特征根，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。由該定義有，，而，故必有。,特征值和特征向量,是的次多項(xiàng)式，稱為特征多項(xiàng)式。上式有個(gè)根（可能有重根），記作，它們可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。若是的一個(gè)根，則為退化矩陣，故存在一個(gè)維非零向量，使得即是的一個(gè)特征值，而是相應(yīng)的特征向量，一般都取為單位向量，即滿足,,,,故的特征值是和，相應(yīng)的單位特征向量為,例：設(shè),于是,二特征值和特征向量的基本性質(zhì)：,,,（1）和有相同的特征值。,,,,,(2)若和分別是和矩陣，則和有相同的非零特征值。,證明：因?yàn)?所以,又故有和,,關(guān)于的方程和有著完全相同的非零根（若有重根，則它們的重?cái)?shù)也相同），故而和有相同的非零特征值。,,,,,（3）若為實(shí)對(duì)稱矩陣，則的特征值全為實(shí)數(shù)，個(gè)特征值按大小依次表示為。若，則相應(yīng)的特征向量和必正交，即。,證明（1）設(shè)是的任一特征值，是相應(yīng)的特征向量，于是兩邊取共軛復(fù)數(shù)，并注意為實(shí)數(shù)矩陣，得兩邊左乘得,又因此由于，從而，故而，即為實(shí)數(shù)。,（2）因?yàn)樗远视捎?，因而?,（4）若，則為的個(gè)特征值，相應(yīng)的特征向量分別為。,（5）若為階對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣及對(duì)角矩陣，使得,上式兩邊右乘，得將按列向量分塊，并記作，于是有,故這表明是的個(gè)特征值，而為相應(yīng)的特征向量。由于是正交矩陣，所以可以更確切地說，它們是正交單位特征向量。,上述矩陣可作如下分解：稱之為的譜分解。,三方陣的跡,（一）定義設(shè)為階方陣，則它的對(duì)角線元素之和稱為的跡，記作，即,（二）方陣的跡的性質(zhì)：,（1）若為的特征值，則,（2）（3）（4）（5）（6）若為投影矩陣，則,正定矩陣和非負(fù)定矩陣,一定義,二、正定矩陣和非負(fù)定矩陣的性質(zhì)：,（1）設(shè)是對(duì)稱矩陣，則是正定（或非負(fù)定）矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃刑卣髦稻鶠檎ɑ蚍秦?fù)）。,（2）若，則。,（3）設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)。,（4）對(duì)一切矩陣成立。證明,（5）若（或），則存在（或），使得，稱為的平方根。,證明因?yàn)槭菍?duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得。由（或）可知，。令則有由于的特征值，所以（或）,（6）設(shè)是階秩為的矩陣，則存在一個(gè)秩為的矩陣，使得。,證明因?yàn)?，所以存在正交矩陣和?duì)角矩陣，使得，且。又。令，，，,顯然，是秩為的矩陣，因此,特征值的極值問題,若是階對(duì)稱矩陣，其特征值依次為則,證明由于是對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得。令，于是，即，可得,故而,（2）若是階對(duì)稱矩陣，是階正定矩陣，是的個(gè)特征值，則,證明存在，使得，令，，于是為對(duì)稱矩陣。,因?yàn)?所以的特征值與的特征值相同，即為故而,（3）（柯西——許瓦茲不等式）若，則,附：,證明只須對(duì)和都是非零向量情況進(jìn)行證明。,