多元統(tǒng)計分析-石家莊經濟學院.ppt

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多元統(tǒng)計分析,黃本春,石家莊經濟學院經貿學院統(tǒng)計教研室,多元分析概述,多元方法的應用1、數據縮減或簡化2、分類與分組3、變量間依賴性的研究4、預測5、假設檢驗,多元分析概述,數據的組織陣列描述統(tǒng)計量樣本協方差圖解法,矩陣代數與隨機向量,一、矩陣代數基礎,（一）定義,若q=1，則稱A為p維列向量，記作,若p=1，則稱A為q維行向量，記作,若矩陣的所有元素全為零，則稱為零矩陣。若，則稱為階方陣。,轉置矩陣：將矩陣的行與列互換，記作,對角線元素,非對角線元素,上三角矩陣：方陣的對角線下方的元素全為。,下三角矩陣：方陣的對角線上方的元素全為。,則,對稱矩陣：若A是方陣，且,斜對稱矩陣：若A是方陣，且,例：如果,（二）運算,1、和的運算（相同維數的兩個矩陣可以相加）,2、積的運算若c為一常數，則它與A的積定義為若，則A與B的積定義為,注意：當A的列元素個數與B的行元素個數相同時，才能進行矩陣的乘積運算。,例若,則,3、矩陣運算規(guī)律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,正交矩陣：若方陣滿足。即矩陣的每一行均具有單位長度且行與行之間互相垂直（正交）。,如果存在矩陣，使得,則稱為的逆矩陣，并記作。,（三）矩陣的逆,1、定義如果，就存在一個倒數，能使，這個基本的數量關系在矩陣代數中有如下推廣：,的個列向量線性無關。即的存在等價于僅當時。即是非退化方陣。,存在逆矩陣的條件是：,逆矩陣具有如下的基本性質：,(1),（2）,,,(3)若和均為階非退化方陣，則,（4）,(5)若是正交矩陣，則,,,,,于是：,故的逆矩陣為：,例：設,例：設,（1），當且僅當。,（2）若為矩陣,且，則。,2、矩陣的秩的基本性質：,（四）矩陣的秩,1、定義：設為矩陣，如果中不為零的子方陣最高階數為，而任何階子方陣皆為零，則稱為矩陣的秩，記作,（4）。,（5）。,（3）。,（7）階方陣是非退化的，當且僅當（稱作是滿秩的）。,（8）。,（6）若和為非退化方陣，則,例：設，由于，所以的秩是2。,一定義設是階方陣，若對于一個數，存在一個維非零向量，使得，則稱為的一個特征值或特征根，而稱為的屬于特征值的一個特征向量。由該定義有，，而，故必有。,特征值和特征向量,是的次多項式，稱為特征多項式。上式有個根（可能有重根），記作，它們可能為實數，也可能為復數。若是的一個根，則為退化矩陣，故存在一個維非零向量，使得即是的一個特征值，而是相應的特征向量，一般都取為單位向量，即滿足,,,,故的特征值是和，相應的單位特征向量為,例：設,于是,二特征值和特征向量的基本性質：,,,（1）和有相同的特征值。,,,,,(2)若和分別是和矩陣，則和有相同的非零特征值。,證明：因為,所以,又故有和,,關于的方程和有著完全相同的非零根（若有重根，則它們的重數也相同），故而和有相同的非零特征值。,,,,,（3）若為實對稱矩陣，則的特征值全為實數，個特征值按大小依次表示為。若，則相應的特征向量和必正交，即。,證明（1）設是的任一特征值，是相應的特征向量，于是兩邊取共軛復數，并注意為實數矩陣，得兩邊左乘得,又因此由于，從而，故而，即為實數。,（2）因為所以而故由于，因而有,,（4）若，則為的個特征值，相應的特征向量分別為。,（5）若為階對稱矩陣，則存在正交矩陣及對角矩陣，使得,上式兩邊右乘，得將按列向量分塊，并記作，于是有,故這表明是的個特征值，而為相應的特征向量。由于是正交矩陣，所以可以更確切地說，它們是正交單位特征向量。,上述矩陣可作如下分解：稱之為的譜分解。,三方陣的跡,（一）定義設為階方陣，則它的對角線元素之和稱為的跡，記作，即,（二）方陣的跡的性質：,（1）若為的特征值，則,（2）（3）（4）（5）（6）若為投影矩陣，則,正定矩陣和非負定矩陣,一定義,二、正定矩陣和非負定矩陣的性質：,（1）設是對稱矩陣，則是正定（或非負定）矩陣，當且僅當的所有特征值均為正（或非負）。,（2）若，則。,（3）設，則，當且僅當。,（4）對一切矩陣成立。證明,（5）若（或），則存在（或），使得，稱為的平方根。,證明因為是對稱矩陣，所以存在正交矩陣和對角矩陣，使得。由（或）可知，。令則有由于的特征值，所以（或）,（6）設是階秩為的矩陣，則存在一個秩為的矩陣，使得。,證明因為，所以存在正交矩陣和對角矩陣，使得，且。又。令，，，,顯然，是秩為的矩陣，因此,特征值的極值問題,若是階對稱矩陣，其特征值依次為則,證明由于是對稱矩陣，故存在正交矩陣和對角矩陣，使得。令，于是，即，可得,故而,（2）若是階對稱矩陣，是階正定矩陣，是的個特征值，則,證明存在，使得，令，，于是為對稱矩陣。,因為,所以的特征值與的特征值相同，即為故而,（3）（柯西——許瓦茲不等式）若，則,附：,證明只須對和都是非零向量情況進行證明。,