《初識(shí)微分方程建?!稰PT課件.ppt
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微分方程建模(動(dòng)態(tài)模型),背景及問(wèn)題特點(diǎn):,動(dòng)態(tài)模型目的,描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程,分析對(duì)象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài),研究控制對(duì)象特征的手段,微分方程建模,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程,當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間(或空間)而演變的過(guò)程,并分析它的變化規(guī)律,預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)時(shí),通常要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型,一、簡(jiǎn)單的一階微分方程,1、簡(jiǎn)單的微分方程應(yīng)用題,例1一個(gè)星期天,某人駕車(chē)在正午時(shí)分離開(kāi)A處,下午3點(diǎn)20分到達(dá)B處。如速度計(jì)所指示的那樣,他從靜止開(kāi)始,均勻地加速,當(dāng)他到達(dá)B處時(shí),速度為60mi/h,從A到B有多遠(yuǎn)?,解:由速度計(jì)均勻加速可知,速度是時(shí)間的線性函數(shù)。又因?yàn)樗俣仁蔷嚯x關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)所以立即可得,兩邊積分得,再由題中條件可知,解得b=0,c=0,a=18,A到B的距離s=100mi,這是個(gè)簡(jiǎn)單的例子,但由此可以了解到微分方程建模的思路,一、簡(jiǎn)單的一階微分方程,例2細(xì)菌的增長(zhǎng)率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長(zhǎng)為400,那么,前12h后總數(shù)是多少?,解:第一句話說(shuō)的是任何瞬間都成立的事實(shí);第二句話給出的是特定瞬間的信息。如果我們用y(t)表示總數(shù),第一句話告訴我們,A,K這兩個(gè)常數(shù)可以由第二句話提供的信息計(jì)算出來(lái),它的通解為,解得,故,接下來(lái)介紹建立微分方程的若干準(zhǔn)則,二、若干準(zhǔn)則,1、以上兩個(gè)例子遵循如下模式,對(duì)于涉及一個(gè)依賴(lài)于時(shí)間t的量y的情況,建立一個(gè)給出dy/dt,y與t之間關(guān)系的方程,它在任何特定時(shí)刻t都成立,對(duì)這個(gè)方程積分,便得到一個(gè)只含y,t而不含dy/dt得新方程。這個(gè)新方程中含有積分常數(shù),并且對(duì)任何特定的t仍然成立。問(wèn)題中給出的僅在一些特定時(shí)刻成立的信息將用來(lái)計(jì)算這些積分常數(shù)以及任何其它參數(shù)。最后,我們得到一個(gè)函數(shù)y(t),對(duì)任何其它的t值,可立刻算出y(t)。,2、若干準(zhǔn)則,1)轉(zhuǎn)化,在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中,有許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞,如速率,增長(zhǎng),衰變,以及邊際等?!案淖儭薄ⅰ白兓薄霸黾印?、“減少”,這些詞就是信號(hào),注意什么在變。,二、若干準(zhǔn)則,想想你考慮的問(wèn)題是否遵循什么原則或物理定律,是應(yīng)用已知定律?還是推導(dǎo)問(wèn)題的合適結(jié)果?這些問(wèn)題的回答將直接引導(dǎo)你如何處理問(wèn)題。不少問(wèn)題遵循以下模式:,凈變化率=輸入率-輸出率,2)微分方程,微分方程是一個(gè)在任何時(shí)刻都必須正確的瞬時(shí)表達(dá)式。如果看到了表示導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵詞,你就尋找y,dy/dt,t之間的關(guān)系,可以先由文字公式入手:凈變化率=輸入率-輸出率,再變?yōu)榉匠獭?3)單位,一旦認(rèn)定那些項(xiàng)應(yīng)該列入方程,那就要注意這些項(xiàng)的單位一致。并且有些系數(shù)的單位不是自動(dòng)生成的,4)給定的條件,這是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻的信息,由這些條件可以確定方程中有關(guān)參數(shù)。,三、舉例,例3將室內(nèi)一支讀數(shù)為60的溫度計(jì)放到室外,10min后溫度計(jì)的讀數(shù)為70,又過(guò)了10min,讀數(shù)為76,利用牛頓冷卻定律計(jì)算室外溫度。,牛頓冷卻定律:將溫度為T(mén)的物體放入處于常溫m的介質(zhì)中T的變化速率正比與T與周?chē)橘|(zhì)的溫度差。,解:由牛頓冷卻定律可知:dT/dt與T-m成比例,即,結(jié)合給定的三個(gè)條件,方程的解為:T=Aekt+m,計(jì)算出A,K,m,習(xí)題,2、結(jié)合例3,如果空氣的溫度是20且沸騰的水在20min內(nèi)冷卻到60,水溫降到30要多少時(shí)間?,3、現(xiàn)有整整4000ml10的化學(xué)溶液,一位攝影師將一只盛有40ml90的水的塑料杯浮在溶液上,試將溶液的溫度表示為時(shí)間的函數(shù),并與例3比較,習(xí)題解答,2、解,3、解這不是周?chē)橘|(zhì)保持常溫的情況,因此需要對(duì)例3做修改此時(shí)介質(zhì)的體積是要考慮的,因?yàn)轶w積小者變涼或熱比體積大者變涼或熱要快或明顯。物理定律:具有有限體積和不同溫度的物體相遇,熱流守恒。即,本題中V1=1oz,V2=100oz,代入上式中解得,這是一個(gè)微分方程組,三、舉例,例4某人的食量是2500cal/天,其中1200cal用于基本新陳代謝在健身訓(xùn)練中,他所消耗的大約是16cal/kg/天乘以他的體重。假設(shè)以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量100%有用,而1kg脂肪含10000cal的熱量,求出這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的。(大家先思考),解:?jiǎn)栴}中沒(méi)有“導(dǎo)數(shù)”這樣十分關(guān)鍵的詞出現(xiàn),但我們可以把注意力集中在最后的問(wèn)題,它指出了體重(w)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。,問(wèn)題涉及的時(shí)間是每天,首先列出文字公式,每天重量的變化=輸入-輸出;,輸入是指:除去新陳代謝的凈重量吸收,輸出是指:訓(xùn)練中的消耗WPE,三、舉例,結(jié)合以上分析可得:每天體重的變化=凈吸收量-WPE,每天的凈吸收量=2500cal-1200cal=1300cal,每天的凈輸出=16*wcal/天,每天體重的變化:dw/dt(kg/天),由于此時(shí)單位不一致,需要將單位化為一致。,這就用到了題中最后一句話,由此可得,Kg/天=凈cal/天除以10000cal/kg,將數(shù)據(jù)代入可得,dw/dt=(1300-16w)/10000,假設(shè)初始時(shí)刻t=0,w=w0可得方程的解,三、舉例,題目中提出的問(wèn)題我們就回答了,現(xiàn)在我們?cè)倏紤]一個(gè)可能附加的問(wèn)題:“這個(gè)人體重會(huì)達(dá)到平衡嗎?”,由我們建立的微分方程我們便可以回答這個(gè)問(wèn)題:,當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí),上式第二項(xiàng)趨于0,所以w趨于1300/16,例5在一個(gè)巴基斯坦洞穴里,發(fā)現(xiàn)古人的人骨碎片,科學(xué)家將其帶回做碳14年代測(cè)定,分析表明碳14和碳12的比例僅僅是活體組織內(nèi)的6.24%,確定此人生活在多少年前?,(碳14年代測(cè)定:活體中的碳有一小部分是放射性同位素碳14這種放射性碳由與宇宙射線在高層大氣中撞擊引起,經(jīng)過(guò)一系列交換過(guò)程進(jìn)入活組織中,直到在體內(nèi)達(dá)到平衡,在活體中碳14和穩(wěn)定的碳12的數(shù)量成定比。死亡后交換停止,碳14以每年8千分之一的速度減少。),三、舉例,例5求解:我們問(wèn)題實(shí)際上是:“這個(gè)人死了多久?”。設(shè)t為死后年數(shù),y(t)=C14/C12,則上文最后一句話給出了我們的微分方程(單位:mgC14/mgC12/yr),dy/dt=y/8000,放射性衰變的這種性質(zhì)還可以描述為“放射性物質(zhì)在任意時(shí)刻的衰變速度都與該物質(zhì)現(xiàn)存的數(shù)量成比例.C14的比例數(shù)為每年1/8000,積分后解只帶一個(gè)常數(shù),設(shè)t=0時(shí),y=y0即活體中C14的比例,微分方程的通解為:,題中要我們求出:,時(shí)的t,將y代入上式解得t=22400yr,三、舉例,習(xí)題結(jié)合例5,計(jì)算C14的半衰期是多少?(數(shù)量衰減到一半的時(shí)間),解由例5可知,三、舉例,例6一只裝滿水的圓柱型桶,底面半徑為10ft,高為20ft底部有一個(gè)直徑為1ft的孔,問(wèn)桶流空要多少時(shí)間?,對(duì)孔的流速加一個(gè)假設(shè):假設(shè)時(shí)刻t的流速依賴(lài)與此刻桶內(nèi)水的高度h(t),顯然裝滿水時(shí)要比快流空時(shí)要快,進(jìn)一步的假設(shè)無(wú)能量損失,那么當(dāng)少量水流出時(shí),頂部減少的勢(shì)能須等于等量的水流出小孔時(shí)的動(dòng)能。即mgh=1/2mv2,則可得:v=(2gh)1/2,這是物理中的托利拆里定律,模型這樣假設(shè)看起來(lái)過(guò)于簡(jiǎn)單但至少速度依賴(lài)與高度看來(lái)是合理的,接下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,解:隨著水從小孔流出,桶內(nèi)水的體積不斷的減少,設(shè)A為桶的水平面積,B為孔的水平面積。,則在任意時(shí)間間隔dt內(nèi),-Adh=Bds,ds為孔dt時(shí)間內(nèi)水流的距離,問(wèn)題是t=?時(shí)h=0。所以要求出h(t)。此時(shí)可通過(guò)上面的方程求出,三、舉例,將上面的方程改寫(xiě)為:dh=-(B/A)ds,A,B可以算出但ds?,根據(jù)前面物理上的分析,將ds改為:ds=(ds/dt)dt=vdt,從而dh=-(B/A)vdt,計(jì)算出A=pi(10)2,B=pi(1/2)2,v=(2(32)h)1/2=8h1/2,解得2h1/2=-8(1/2)2t/100+k,由于t=0時(shí),h=20,得k=2(20)1/2,故可以求出h=0時(shí),t18h,習(xí)題8、一只底部開(kāi)口面積為0.5cm2的圓錐型漏斗高為10cm,頂角為60,其內(nèi)裝滿水,水流完要多少時(shí)間?,習(xí)題解答,8、解同例6水面的改變量=洞口的流量,四、習(xí)題,4、一滴球形雨滴,以與它表面積成比例的速度蒸發(fā),求其體積關(guān)于時(shí)間的函數(shù),解:體積有r3決定,表面積有r2決定,V=k1r3,S=k2r2=kV2/3由題意可得:dv/dt=-cv2/3,負(fù)號(hào)說(shuō)明V減少分離變量得到V=(-ct+Q)/3)3,t=0時(shí),V=V0.Q=V01/3,5、一只100升的水箱,盛滿了水和20g的鹽,將淡水以2升/min的速度抽入箱內(nèi),連續(xù)的攪拌混合液,并使箱內(nèi)溶液保持在100升,問(wèn)1h后鹽的濃度稀釋了多少?,解:設(shè)鹽的數(shù)量=S,S單位時(shí)間的減少量=抽入-排出。ds/dt=(0g/L)(2L/min)-(S/100)g/min)(2L/min)=-S/50解得S=ke(-1/50)t,t=0時(shí),S=20,解得k=20。,四、習(xí)題,6、一只水桶,內(nèi)盛有10L溶解了5g鹽的鹽水,將每升含2g鹽的鹽水以3L/min的速度灌入桶中,并攪拌均勻以同樣的速度流出a)8min后流出桶的鹽水中鹽的濃度是多少?b)足夠長(zhǎng)時(shí)間后,桶內(nèi)鹽有多少?,解:記S=鹽的數(shù)量則ds/dt=流入-流出=(2g/L)(3L/min)-(s/10)g/L)(3L/min)=6-(3s/10)解得S=20(1-ce(-3t/10),由初始條件S(0)=5,得c=3/4,四、習(xí)題,7、污染物質(zhì)的含量為2g/L的水以500L/min的速度流過(guò)處理箱。在箱內(nèi)每分鐘處理掉2%的污染物,且水被徹底搖勻。處理箱可容納10000L的水,在處理場(chǎng)開(kāi)張時(shí),箱內(nèi)裝滿純凈水,求流出的水中污染物濃度的函數(shù)?,解設(shè)p(t)=箱內(nèi)污染物的數(shù)量dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min)-(p(t)g/10000L)(500L/min)-0.02p(t)g/min解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t)由t=0時(shí),p=0,得c=1,習(xí)題解答,9、試建立在做了葡萄糖輸液后,人體內(nèi)葡萄糖濃度的模型。當(dāng)葡萄糖輸入時(shí),自由葡萄糖的濃度勢(shì)必下降(由于與磷化為結(jié)合所致)濃度下降的速度與葡萄糖的數(shù)量成正比。用G表示葡萄糖的濃度,A表示輸入速度(mg/min),B表示體內(nèi)液體的體積。尋求體內(nèi)的葡萄糖濃度是否以及怎樣達(dá)到平衡?,解:G(t)為葡萄糖濃度,A為葡萄糖注入速度:?jiǎn)挝籱g/min速度=輸入-輸出dG/dt=(A/V)-KG平衡狀態(tài)下G(t)不做大的變化,即dG/dt=0,此時(shí)G=A/KV。當(dāng)GA/KV時(shí),dG/dt0.此時(shí)可求出二階導(dǎo)數(shù),并畫(huà)出G(t)得圖像。,G(t)的解析解為:,習(xí)題解答,10、上題中有不足之處,它假設(shè)體內(nèi)液體的體積為常數(shù),然而,由于體內(nèi)含大約4600ml的血液,輸入500ml的葡萄糖后,體積的變化是不容忽視的,如何修改上述模型?,解合理的可變體積模型:V不再是常量,記S為每分鐘注入的溶液的體積:V=V0+St在S與A之間存在一種關(guān)系:在注入的溶液中葡萄糖的濃度為常數(shù)即:A/S=常數(shù)C,此時(shí)沒(méi)有平衡狀態(tài),此時(shí)方程變?yōu)?- 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