MATLAB語言課件第7講控制系統(tǒng)分析.ppt

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5.2.1控制系統(tǒng)時間響應分析,5.2控制系統(tǒng)分析,1、階躍響應,格式1：給定系統(tǒng)模型num、den（或a、b、c、d）,求系統(tǒng)階躍響應并作圖，時間t由系統(tǒng)自動設定。格式2：同上，只是時間t由人工給定（等間隔）。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x的值，不作圖。格式4：返回的變量中包括或者不包括t，不作圖。,例：求下面系統(tǒng)的單位階躍響應num=4;den=1,1,4;step(num,den)計算峰值max(y)計算峰值時間y,x,t=step(num,den);tp=spline(y,t,max(y),例：求如下系統(tǒng)的單位階躍響應a=0,1;-6,-5;b=0;1;c=1,0;d=0;y,x=step(a,b,c,d)plot(t,x);holdonplot(y),解：1、假設將自然頻率固定為n1，0,0.1,0.2,0.3,1,2,3,5。wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;t=0:0.1:12;holdonfori=1:length(zetas)Gc=tf(wn2,1,2*zetas(i)*wn,wn2);step(Gc,t)endholdoff,或者：wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;t=0:0.1:12holdonforzet=zetasnum=wn.2;den=1,2*zet*wn,wn.2;step(num,den,t)endholdoff,2、將阻尼比的值固定在0.55，則可以繪制出在各個自然頻率n下的階躍響應曲線，wn=0.1:0.1:1;z=0.55;t=0:0.1:12;holdonfori=1:length(wn)Gc=tf(wn(i)2,1,2*z*wn(i),wn(i)2);step(Gc,t)endholdoff,2、脈沖響應,以上各函數(shù)的功能為給定系統(tǒng)數(shù)學模型，求系統(tǒng)的單位脈沖響應。各種格式同6.1.1中的階躍響應。,例：求下面系統(tǒng)的單位脈沖響應：num=4;den=1,1,4;impulse(num,den),G=tf(4,1,2,3,4);Gc=tf(1,3,1,3);H=tf(1,0.01,1);Go=Gc*G;Gc=feedback(Go,H);impulse(Go);figure,impulse(Gc);,3、零輸入響應,格式1：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣a、b、c、d和初始條件x0,求系統(tǒng)的零輸入響應，并作圖。時間t由系統(tǒng)自動產生。格式2：同格式1，時間t由用戶給定。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x及時間t值，不作圖。,例：已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)的零輸入響應和脈沖響應。a=0,1;-10,-2;b=0;1;c=1,0;d=0;x0=1,0;subplot(1,2,1);initial(a,b,c,d)subplot(1,2,2);impulse(a,b,c,d),4、一般響應,給定系統(tǒng)數(shù)學模型，求任意輸入信號時，系統(tǒng)時間響應。格式1：給定系統(tǒng)模型參數(shù)、控制輸入信號u和等時間間隔t，求系統(tǒng)的時間響應，并作圖。格式2：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型時，計算帶初始條件x0的時間響應，并作圖。格式3：返回輸出變量y和狀態(tài)變量x，不作圖。,例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：輸入正弦信號時，觀察輸出信號的相位差。num=1;den=1,1;t=0:0.01:10;u=sin(2*t);holdonplot(t,u,:)lsim(num,den,u,t),例：有一二階系統(tǒng)，求出周期為4秒的方波的輸出響應,num=251;den=123;t=(0:.1:10);period=4;u=(rem(t,period)=period./2);%看rem函數(shù)功能lsim(num,den,u,t);,在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項式的根時遇到的困難，在實踐中提出了一種圖解求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當系統(tǒng)的某一個（或幾個）參數(shù)從到時，閉環(huán)特征方程的根在復平面上描繪的一些曲線。應用這些曲線，可以根據(jù)某個參數(shù)確定相應的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K作為可變參數(shù)。由于根軌跡是以K為可變參數(shù)，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的零極點畫出來的，因而它能反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點與閉環(huán)系統(tǒng)極點（特征根）之間的關系,5.2.2線性系統(tǒng)的根軌跡,1pzmap功能：繪制系統(tǒng)的零極點圖。格式：p,z=pzmap(A,B,C,D)p,z=pzmap(num,den)pzmap(p,z)說明：對SISO系統(tǒng)，pzmap函數(shù)可繪制出傳遞函數(shù)的零極點；對MIMO系統(tǒng)，pzmap函數(shù)可繪制系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點。當不帶輸出變量引用時，pzmap函數(shù)可在當前圖形窗口中繪制系統(tǒng)的零極點圖，其中極點用“”表示，零點用“o”表示。P為極點的列向量，z為零點的列向量。,num=0.05,0.045;den=conv(1,-1.8,0.9,1,5,6);pzmap(num,den);title(Pole-ZeroMap),2rlocus功能：求系統(tǒng)根軌跡。格式：R,K=rlocus(num,den)R,K=rlocus(num,den,k)R,K=rlocus(A,B,C,D)R,K=rlocus(A,B,C,D,k)說明：rlocus函數(shù)可計算SISO開環(huán)模型的Evans根軌跡，根軌跡以反饋增益的函數(shù)形式給出了閉環(huán)極點的軌跡（假定為負反饋）。,3rlocfind功能：計算給定一組根的根軌跡增益。格式：K,poles=rlocfind(A,B,C,D)K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P)K,poles=rlocfind(num,den)K,poles=rlocfind(num,den,P)說明：函數(shù)rlocfind可計算出與根軌跡上極點相對應根軌跡增益。rlocfind既適用連續(xù)系統(tǒng),也適用離散時間系統(tǒng)K,poles=rlocfind(A,B,C,D)可在圖形窗口根軌跡圖中顯示十字光標，當用戶選擇其中一點時，其對應的增益由K記錄，與增益有關的所有極點記錄在poles中。,解：先繪制根軌跡圖，然后用rlocfind函數(shù)在圖中選擇極點位置，得到反饋增益。G=tf(0.05,0.045,conv(1,-1.8,0.9,1,5,6)rlocus(G),K=rlocfind(G),例：已知開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析其穩(wěn)定性,num=12;den1=143;den=conv(den1,den1);figure(1)rlocus(num,den)k,p=rlocfind(num,den),figure(2)k=55;num1=k*12;den=143;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulseresponse(k=55)figure(3)k=56;num1=k*12;den=143;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulseresponse(k=56),5.2.3控制系統(tǒng)頻域分析,頻率特性的定義：設某穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦函數(shù)，其振幅與輸入正弦信號的振幅之比A(w)稱為幅頻特性，其相位與輸入正弦信號的之差稱為相頻特性。系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)之間具有以下重要關系：,反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開環(huán)系統(tǒng)有P個極點在右半平面，相應于頻率從-+變化時，開環(huán)頻率特性G(j)H(j)曲線逆時針方向環(huán)繞（1，j0）點的次數(shù)N等于右半根平面內的開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù)P，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。1、控制系統(tǒng)頻域Bode圖,系統(tǒng)對數(shù)頻率曲線，又稱為伯德(bode)圖。這種方法用兩條曲線分別表示幅頻特性和相頻特性。橫坐標為w，按對數(shù)log(w)分度。對數(shù)相頻特性的縱坐標表示，單位為“度”。而對數(shù)幅頻特性的縱坐標為：L(w)=20log(w)，單位為dB。,功能：對數(shù)頻率作圖函數(shù)，即伯德圖作圖。格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學模型作bode圖，頻率w由系統(tǒng)自動給出。當系統(tǒng)模型以狀態(tài)空間模型給出時，需指定第幾個輸入iu，SISO時iu省缺。格式2：給定系統(tǒng)的數(shù)學模型作bode圖，頻率w的范圍由人工給出，w的單位為rad/s，可以由函數(shù)logspace得到對數(shù)等分的w值。格式3：返回變量的值，不作圖。其中m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性的幅角，w為頻率變化范圍。,例：作如下系統(tǒng)的bode圖：n=1,1;d=1,4,11,7;bode(n,d),解：1、n為固定值，變化時，wn=1;zet=0:0.1:1,2,3,5;holdonfori=1:length(zet)num=wn2;den=1,2*zet(i)*wn,wn2;bode(num,den);endholdoff,2、為固定值，n變化時，wn=0.1:0.1:1;zet=0.707;holdonfori=1:length(wn)num=wn(i)2;den=1,2*zet*wn(i),wn(i)2;bode(num,den);endholdoff,例：系統(tǒng)傳函如下，求有理傳函的頻率響應，然后在同一張圖上繪出以四階伯德近似表示的系統(tǒng)頻率響應,um=1;den=conv(12,conv(12,12);w=logspace(-1,2);t=0.5;m1,p1=bode(num,den,2);p1=p1-t*w*180/pi;n2,d2=pade(t,4);numt=conv(n2,num);dent=(conv(den,d2);m2,p2=bode(numt,dent,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),g-);gridon;title(bodeplot);xlabel(frequency);ylabel(gain);subplot(2,1,2);semilogx(w,p1,w,p2,g-);gridon;xlabel(frequency);ylabel(phase);,2、計算控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學模型，作bode圖，并在圖上標注幅值裕度Gm和對應的頻率wg，相角裕度Pm和對應的頻率wp。格式2：返回對應變量的值，不作圖。格式3：給定頻率特性參數(shù)：幅值m、相位p和頻率w，由插值法來計算幅值裕度Gm和對應的頻率wg，相角裕度Pm和對應的頻率wp。,n=3.5;d=1232;Gclose=cloop(n,d,1);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(n,d)step(Gclose)從運行結果可知，系統(tǒng)的幅值裕量很接近穩(wěn)定的邊界點1，且相位裕量只有7.1578，所以盡管閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但其性能不會太好。同時可以看出在閉環(huán)系統(tǒng)的響應中有較強的振蕩。如果系統(tǒng)的相角裕量45，則稱該系統(tǒng)有較好的相角裕量，然而這樣的數(shù)值不是很絕對。,G=tf(100*conv(1,5,1,5),conv(1,1,1,1,9);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)G_close=feedback(G,1);step(G_close)從運行結果可以看出，該系統(tǒng)有無窮大的幅值裕量，且相位裕量高達85.4365，所以系統(tǒng)的閉環(huán)響應是較理想的。,3、控制系統(tǒng)nyquist曲線,幅相頻特性曲線，又稱為奈奎斯特(Nyquist)曲線或極坐標圖。它以w為參變量，以復平面上的矢量表示G(jw)的一種方法。,格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學模型，作極坐標圖。頻率的范圍由系統(tǒng)自動給定。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學模型，作極坐標圖。頻率的范圍由用戶給定。格式3：返回極坐標圖參數(shù)，不作圖。其中re為復變函數(shù)G(jw)的實部，im為復變函數(shù)G(jw)的虛部，w為頻率，單位為：rad/sec,例：二階系統(tǒng)為：令wn=1,分別作出z=2,1,0.707,0.5時的nyquist曲線。n=1;d1=1,4,1;d2=1,2,1;d3=1,0.707,1；d4=1,1,1;nyquist(n,d1);holdonnyquist(n,d2);nyquist(n,d3);nyquist(n,d4);,G=tf(1000,conv(1,3,2,1,5);nyquist(G);axis(square)該圖中（1，j0）點附近Nyquist圖的情況不是很清楚，（選擇圖形窗口中的放大按鈕），從局部放大的圖形可以看出，Nyquist圖逆時針包圍（1，j0）點2次，而原開環(huán)系統(tǒng)中沒有不穩(wěn)定極點，從而可以得出結論，閉環(huán)系統(tǒng)有2個不穩(wěn)定極點。這也可以由下面的MATLAB語句來進一步驗證。G_close=feedback(G,1);roots(G_close.den1)由運行結果可知，系統(tǒng)有三個根，其中有兩個根位于右半s平面，由此可見該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,例：分別由w的自動變量和人工變量作下列系統(tǒng)的nyquist曲線：n=1;d=1,1,0;nyquist(n,d);w=0.5:0.1:3;nyquist(n,d,w);,例：一多環(huán)系統(tǒng)，其結構圖如下，使用Nyquist頻率曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,k1=16.7/0.0125;z1=0;p1=-1.25-4-16;num1,den1=zp2tf(z1,p1,k1);num,den=cloop(num1,den1);z,p,k=tf2zp(num,den);pfigure(1)nyquist(num,den)figure(2)num2,den2=cloop(num,den);impulse(num2,den2);,4、控制系統(tǒng)nichols曲線,用開環(huán)頻率特性求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性時，需要畫出系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。繪制曲線一般比較麻煩，因此希望通過開環(huán)對數(shù)頻率特性來求閉環(huán)頻率特性。下面介紹的尼柯爾斯圖線就是為滿足這個要求而提出的。對數(shù)幅相頻率特性曲線，又稱為尼柯爾斯(Nichols)曲線。該方法是以w為參變量，為橫坐標，L(w)=20log(w)為縱坐標。,格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由系統(tǒng)自動給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網格。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由用戶給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網格。格式3：返回對應變量值，不作圖。m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性G(jw)的相位，w為頻率。,例：已知系統(tǒng)為：作該系統(tǒng)的nichols曲線。n=1;d=1,1,0;ngrid(new);nichols(n,d);,例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：K=2、k=10時，分別作nichols曲線。n1=2;n2=10;d=1,3,2,0;ngridnichols(n1,d);nichols(n2,d);nichols(n1,d);holdonnichols(n2,d);,num=1;den=conv(conv(10,11),0.51);subplot(1,2,1);nichols(num,den);grid;subplot(1,2,2);g=tf(num,den);bode(feedback(g,1,-1);grid;由圖可見，開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與的等幅值圖線相切，切點的頻率為。所以，閉環(huán)對數(shù)幅頻特性將出現(xiàn)諧振峰值,諧振頻率，,李雅普諾夫第一方法求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點，并觀察是否含有實部大于零的極點(不穩(wěn)定極點)。如果有這樣的極點，則系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若穩(wěn)定系統(tǒng)中存在實部等于0的極點，則系統(tǒng)稱為為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。,5.2.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,可以用三種方法直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性a.求傳遞函數(shù)分母多項式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應具有負實部。root(den)b.求系統(tǒng)矩陣的特征多項式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應具有負實部。p=eig(a)c.求系統(tǒng)極點，或利用下列函數(shù)顯示系統(tǒng)零極點在s平面上的位置，可以圖形方式顯示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。pzmap(num,den)pzmap(a,b,c,d),例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：分別確定k=2和k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。d1=1,3,2,0;n1=2;nc1,dc1=cloop(n1,d,-1);roots(dc1)d2=d1;n2=10;nc2,dc2=cloop(n2,d2);roots(dc2),例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a=-4,-3,0;1,0,0;0,1,0;b=1;0;0;c=0,1,2;d=0;eig(a)rank(ctra(a,b)系統(tǒng)可控性判別矩陣的秩為3，滿秩。系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋配置極點使得系統(tǒng)穩(wěn)定。,李雅普諾夫第二方法P=lyap(A,Q)求解李雅普諾夫矩陣方程。李雅普諾夫矩陣方程為：AP+PA=-QA為系統(tǒng)矩陣，Q為任意給定實對稱矩陣，P為李雅普諾夫矩陣方程解的矩（陣實對稱矩陣）。李雅普諾夫第二方法為：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定對稱正定矩陣Q，如果存在一個實對稱正定矩陣P滿足李雅普諾夫矩陣方程，則系統(tǒng)在平衡點Xe=0處是大范圍漸進穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例：系統(tǒng)為：試由李雅普諾夫第二方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。a=1,-3.5,4.5;2,-4.5,4.5;-1,1.5,-2.5;q=eye(3);p=lyap(a,q)det(p(1,1)det(p(1:2;1:2)det(p),作業(yè),1、求下列系統(tǒng)的單位階躍響應、脈沖響應、零輸入響應。,2、求下列系統(tǒng)的單位斜坡響應。u(t)y(t),G1(s),G2(s),3、繪制如下系統(tǒng)的伯德(bode)圖:,4、繪制如下系統(tǒng)的奈奎斯特(Nyquist)曲線:5、繪制如下系統(tǒng)的尼柯爾斯(Nichols)曲線:K=2、5、10,6.求系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度,