【高考前三個月復習數(shù)學理科 選講】專題9 第42練

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第42練　坐標系與參數(shù)方程 [題型分析高考展望]　高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識． 常考題型精析 題型一　極坐標與直角坐標的互化 例1　在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長． 　 點評　(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一． (2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性． 變式訓練1　(2014廣東改編)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2交點的直角坐標． 　 題型二　參數(shù)方程與普通方程的互化 例2　(2015福建)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 點評　(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?，加減消參法，平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標出x、y的取值范圍． 變式訓練2　(2014福建)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 　　 題型三　極坐標、參數(shù)方程及其應用 例3　(2015課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求AB的最大值． 　 　 點評　(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義． (2) 解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或將參數(shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉化與化歸思想的應用． (3) 變式訓練3　(2015陜西)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標方程； (2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．　 　 　 　高考題型精練 1．(2015江蘇)已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 　 2．(2014安徽改編)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長． 　　 3．(2015課標全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 　 4．(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求MAMB的值． 　 5．(2014遼寧)將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 　 　 　 6．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以O為原點，Ox軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cos θ， (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l和曲線C相切，求實數(shù)k的值． 　 　 　 7．(2014課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，θ∈[0，]． (1)求C的參數(shù)方程； (2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標． 　　 8．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求PA＋PB. 　 　答案精析 第42練　坐標系與參數(shù)方程 ?？碱}型精析 例1　解　∵ρcos(θ＋)＝ρcos θcos －ρsin θsin ＝ρcos θ－ρsin θ ＝3， ∴直線l對應的直角坐標方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ. ∴曲線C對應的直角坐標方程是y2＝8x. 解方程組， 得或， 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 即線段AB的長為16. 變式訓練1　解　因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲線C1的普通方程為y2＝x.由ρsin θ＝1，得曲線C2的普通方程為y＝1.由得故曲線C1與曲線C2交點的直角坐標為(1,1)． 例2　解　(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m， 得ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2， 解得m＝－32. 變式訓練2　解　(1)直線l的普通方程為 2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4，解得－2≤a≤2. 例3　解　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α)． 所以AB＝|2sin α－2cos α| ＝4. 當α＝時，AB取得最大值，最大值為4. 變式訓練3　解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，從而有x2＋y2＝2y， 所以x2＋(y－)2＝3. (2)設P，又C(0，)， 則PC＝ ＝， 故當t＝0時，PC取得最小值， 此時，P點的直角坐標為(3,0)． 高考題型精練 1．解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy.圓C的極坐標方程為 ρ2＋2ρ－4＝0，化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為. 2．解　直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是y＝x－4，圓C的極坐標方程ρ＝4cos θ化為直角坐標方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝＝.又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長為2＝2. 3．解　(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即MN＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形， 所以△C2MN的面積為. 4．解　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將 代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，MAMB＝|t1t2|＝18. 5．解　(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得 由x21＋y＝1得x2＋()2＝1， 即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)由 解得或 不妨設P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為(，1)，所求直線斜率為k＝， 于是所求直線方程為y－1＝(x－)， 化為極坐標方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝. 6．解　(1)由， 得直線l的普通方程為y＝kx＋1， 由ρsin2θ＝4cos θ得ρ2sin2θ＝4ρcos θ，y2＝4x，曲線C的直角坐標方程為y2＝4x. (2)把y＝kx＋1代入y2＝4x， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0， 當直線l與曲線C相切時， 由Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，得k＝1. 經檢驗k＝1適合題意，∴所求實數(shù)k＝1. 7．解　(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)設D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓，因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐標為(1＋cos ，sin )， 即(，)． 8．解　方法一　(1)由ρ＝2sin θ， 得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5. (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得(3－t)2＋(t)2＝5， 即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(－3)2－44＝2>0， 故可設t1，t2是上述方程的兩實根， 所以 又直線l過點P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得 PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 方法二　(1)同方法一． (2)因為圓C的圓心為點(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 由得x2－3x＋2＝0. 解得或 不妨設A(1,2＋)，B(2,1＋)， 又點P的坐標為(3，)， 故PA＋PB＝＋＝3.