2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.3 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用練習(xí) 理 北師大版

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1、5.3 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用核心考點精準(zhǔn)研析考點一平面向量的數(shù)量積的根本概念及運算1.(2021全國卷II)向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,那么a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】選B.因為|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.2.(2021皖南八校聯(lián)考)|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45,那么(a+2b)a=.【解析】因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos 45=1+.答案:1+【一題多解】坐標(biāo)法解T2,因為|a|=|b|=1,向量a與b的

2、夾角為45,可設(shè)a=,b=(1,0),那么a+2b=,(a+2b)a=+=1+.答案:1+3.(2021合肥模擬) 平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,那么a在b方向上的射影等于.【解析】因為|a|=1,|b|=2,|a+b|=,所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=5+2ab=3,所以ab=-1,所以a在b方向上的射影為=-.答案:-平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當(dāng)向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos .(2)當(dāng)向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即假設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=x1x2+y1y2.(3)對于數(shù)量積與

3、線性運算的綜合問題,可先運用數(shù)量積的運算律,幾何意義等化簡,再運算.考點二平面向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用【典例】1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.假設(shè)=2,=-(R),且=-4,那么的值為.2.O,N,P在ABC所在平面內(nèi),且|=|=|,+=0,且=,那么點O,N,P依次是ABC的()A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心(注:三角形的三條高線交于一點,此點為三角形的垂心)【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1看到“=-4,想到和分別用,來表示2看到三個題設(shè)條件,想到ABC的“三心【解析】1.=32cos 60=3,=+,那么=(-)=3+4-9-3=-4=.答案:2

4、.選C.由|=|=|知,O為ABC的外心;由+=0知,N為ABC的重心;因為=,所以(-)=0,所以=0,所以,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P為ABC的垂心.1.平面向量中數(shù)量積的三種求法(1)利用定義求解.(2)利用向量的坐標(biāo)運算求解.(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.2.向量的數(shù)量積在平面幾何應(yīng)用中的解題策略(1)利用運算律結(jié)合圖形先化簡再運算.(2)注意向量的夾角與平面幾何中的角的關(guān)系(相等還是互補).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,點O為平面內(nèi)一點,假設(shè)滿足:(1)+=0,那么點O為三角形的重心.(2)|=|=|,那么點O為三角形的外心.(3)=,那么點O為

5、三角形的垂心.(4)|+|+|=0,那么點O為三角形的內(nèi)心.1.(2021濟寧模擬)平面四邊形ABCD中,+=0,(-)=0,那么四邊形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】選C.因為+=0,所以=-=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又(-)=0,所以四邊形對角線互相垂直,所以四邊形ABCD是菱形.2.A,B,C是平面上不共線的三點,O為坐標(biāo)原點,動點P滿足=(1-)+(1-)+(1+2),R,那么點P的軌跡一定經(jīng)過()A.ABC的內(nèi)心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB邊的中點【解析】選C.取AB的中點D,那么2=+,因為=(1-)+(1-)+(1+2),所以=2(1

6、-)+(1+2)=+,又+=1,所以P,C,D三點共線,所以點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心.考點三 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用命題精解讀1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夾角,平行、垂直問題;(2)考查數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:與平面向量根本定理,坐標(biāo)運算,平面幾何結(jié)合考查求模,夾角,夾角余弦值,參數(shù)等等.學(xué)霸好方法1.在求向量的模時,一定要注意公式|a|= 的應(yīng)用,即將向量的長度(或模)轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積.2.求兩個向量的夾角,常常利用兩個向量夾角的余弦公式,求其夾角的余弦,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求角.3.解決關(guān)于平面向量的平行與垂直問題,其關(guān)鍵是

7、充分利用平行與垂直的充要條件,得出一個等式,然后求解. 平面向量的模【典例】1.(2021全國卷)=(2,3), =(3,t),|=1,那么= ()A.-3B.-2C.2D.3【解析】選C.因為=-=(1,t-3),又因為|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以=2.2.直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,那么|+3|的最小值為.【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖,那么A(2,0),設(shè)P(0,y),C(0,b),那么B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),當(dāng)

8、y=b時,|+3|取得最小值5.答案:5 1.求向量的模有哪些方法?提示:(1)公式法,利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算.(2)幾何法,利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)有哪些方法?提示:(1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解. 平面向量的夾角【典例】1.(2021全國卷)a,b為單位向量,且ab=0,假設(shè)c=2a-b,那么cos=_.【解析】因為c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9,所以|c|=3,因為ac=a

9、(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos=.答案: 2.(2021運城模擬)平面向量a,b滿足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,那么向量a與b的夾角的正弦值為_.【解析】因為a(a+b)=a2+ab=22+21cos=4+2cos=3,所以cos=-,又0,所以sin=.答案: 1.向量夾角問題如何求解?提示:假設(shè)題目給出向量的坐標(biāo)表示,可直接運用公式cos = 求解.沒有坐標(biāo)時可用公式cos =.研究向量夾角應(yīng)注意“共起點,注意取值范圍是0,.2.對于兩個不共線的向量,數(shù)量積的符號與夾角有何關(guān)系?提示:當(dāng)數(shù)量積大于0時,夾角為銳角;當(dāng)數(shù)量積等于0時,夾角為直角;當(dāng)數(shù)量積小于0時,

10、夾角為鈍角.平行、垂直問題【典例】1.(2021天津模擬)向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),假設(shè)(2a+b)c,那么x=()A.-1 B.-2C.-3 D.-4【解析】選C.因為a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因為c=(x,3),(2a+b)c,所以-13-x=0,所以x=-3.2.(2021全國卷)非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,那么a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】選B.設(shè)夾角為,因為(a-b)b,所以(a-b)b

11、=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a與b的夾角為.兩個非零向量垂直的充要條件有哪些?提示:abab=0x1x2+y1y2=0|a-b|=|a+b|.注意:數(shù)量積的運算ab=0ab中,是對非零向量而言的,假設(shè)a=0,雖然有ab=0,但不能說ab.1.向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,那么|a +2b|= .【解析】=(a+2b)2=22+222+22=4+4+4=12,所以=2.答案:22.假設(shè)非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,那么a與b的夾角余弦值為.【解析】因為|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4ab+4|b|2,所以ab=

12、-|b|2,令夾角為,所以cos =答案:-3.(2021北京高考)向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,那么m=.【解析】因為ab,所以ab=-46+3m=0,所以m=8.答案:81.(2021天津高考)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,那么=.【解析】如圖,過點B作AE的平行線交AD于F,因為ADBC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因為AE=BE,故四邊形AEBF為菱形.因為BAD=30,AB=2,所以AF=2,即=.因為=-=-,所以=(-)=-=25-12-10=-1.答案:-1【一題多解】解答此題還可以用如下

13、方法解決:建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系,那么B(2,0),D.因為ADBC,BAD=30,所以ABE=30,因為AE=BE,所以BAE=30,所以直線BE的斜率為,其方程為y=(x-2),直線AE的斜率為-,其方程為y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以=(,-1)=-1.答案:-12.(2021武漢模擬)a,b,e是平面向量,e是單位向量,假設(shè)非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4eb+3=0,那么|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-【解析】選A.設(shè)e=(1,0),b=(x,y),那么b2-4eb+3=0x2+y2-4x+3=0(x-2)2+y2=1.如下圖,a=,b=(其中A為射線OA上動點,B為圓C上動點,AOx=).所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CDOA).- 9 -