高考數(shù)學試題分類匯編：數(shù)列含詳解.doc

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2010 年高考數(shù)學試題分類匯編 數(shù)列 含詳解 2010 上海文數(shù) 21 本題滿分 14 分 本題共有 2 個小題 第一個小題滿分 6 分 第 2 個小題滿分 8 分 已知數(shù)列 na的前 項和為 nS 且 58na N 1 證明 1 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 nS的通項公式 并求出使得 1nS 成立的最小正整數(shù) n 解析 1 當 n 1 時 a1 14 當 n 2 時 an Sn Sn 1 5an 5an 1 1 所以5 6nna 又 a1 1 15 0 所以數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列 2 由 1 知 156n 得 156nn 從而157906nS n N 由 Sn 1 Sn 得 125n 562log14 9 最小正整數(shù) n 15 2010 湖南文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 給出下面的數(shù)表序列 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 個數(shù)是 1 3 5 2n 1 從第 2 行起 每行 中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和 I 寫出表 4 驗證表 4 各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列 并將結(jié)論推 廣到表 n n 3 不要求證明 II 每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù) 它們構(gòu)成數(shù)列 1 4 12 記此數(shù)列為 nb 求和 324121nb 2010 全國卷 2 理數(shù) 18 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 na的前 項和 2 3nnS A 求 limn 證明 1223naa 命題意圖 本試題主要考查數(shù)列基本公式 1 2nnsa 的運用 數(shù)列極限和數(shù) 列不等式的證明 考查考生運用所學知識解決問題的能力 參考答案 點評 2010 年高考數(shù)學全國 I 這兩套試卷都將數(shù)列題前置 一改往年的將數(shù)列結(jié)合不 等式放縮法問題作為押軸題的命題模式 具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識 基 本方法基本技能 重視兩綱的導向作用 也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用 心 估計以后的高考 對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式 基本性質(zhì) 遞推數(shù)列 數(shù)列求 和 數(shù)列極限 簡單的數(shù)列不等式證明等 這種考查方式還要持續(xù) 2010 陜西文數(shù) 16 本小題滿分 12 分 已知 an 是公差不為零的等差數(shù)列 a1 1 且 a1 a3 a9 成等比數(shù)列 求數(shù)列 an 的通項 求數(shù)列 2 an 的前 n 項和 Sn 解 由題設知公差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9 成等比數(shù)列得 12d 8 解得 d 1 d 0 舍去 故 an 的通項 an 1 n 1 1 n 由 知 2ma 2n 由等比數(shù)列前 n 項和公式得 Sm 2 22 23 2n 1 2n 1 2 2010 全國卷 2 文數(shù) 18 本小題滿分 12 分 已知 na是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 且1212 34534516 aa 求 n的通項公式 設 2 nnba 求數(shù)列 nb的前 項和 nT 解析 本題考查了數(shù)列通項 前 項和及方程與方程組的基礎知識 1 設出公比根據(jù)條件列出關(guān)于 1a與 d的方程求得 1a與 d 可求得數(shù)列的通項公式 2 由 1 中求得數(shù)列通項公式 可求出 BN 的通項公式 由其通項公式化可知其和可 分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得 2010 江西理數(shù) 22 本小題滿分 14 分 證明以下命題 1 對任一正整 a 都存在整數(shù) b c b c 使得 22abc 成等差數(shù)列 2 存在無窮多個互不相似的三角形 n 其邊長 nn 為正整數(shù)且 22nnabc 成等差數(shù)列 解析 作為壓軸題 考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力 1 考慮到結(jié)構(gòu)要證 22acb 類似勾股數(shù)進行拼湊 證明 考慮到結(jié)構(gòu)特征 取特值 1 57滿足等差數(shù)列 只需取 b 5a c 7a 對一切正 整數(shù) a 均能成立 結(jié)合第一問的特征 將等差數(shù)列分解 通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三 角形 再證明互不相似 且無窮 證明 當 22nnbc 成等差數(shù)列 則 22nnbacb 分解得 na 選取關(guān)于 n 的一個多項式 241做兩種途徑的分解2 241 24 1 對比目標式 構(gòu)造 2 1nbnc 由第一問結(jié)論得 等差數(shù)列成立 考察三角形邊長關(guān)系 可構(gòu)成三角形的三邊 下證互不相似 任取正整數(shù) m n 若 m n相似 則三邊對應成比例22211n 由比例的性質(zhì)得 nn 與約定不同的值矛盾 故互不相似 2010 安徽文數(shù) 21 本小題滿分 13 分 設 12 nC 是坐標平面上的一列圓 它們的圓心都在 x軸的正半軸上 且都與直線3yx 相切 對每一個正整數(shù) n 圓 C都與圓 1n 相 互外切 以 nr表示 的半徑 已知 nr為遞增數(shù)列 證明 為等比數(shù)列 設 1r 求數(shù)列 nr的前 項和 命題意圖 本題考查等比列的基本知識 利用錯位相減法求和等基本方法 考察抽象概 括能力以及推理論證能力 解題指導 1 求直線傾斜角的正弦 設 nC的圓心為 0 n 得 2nr 同理得12nr 結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系 得兩圓半徑之間的關(guān)系 即 n中 與 的關(guān)系 證明 nr為等比數(shù)列 2 利用 1 的結(jié)論求 nr的通項公式 代入 數(shù)列 nr 然后用錯位相減法求和 nnn n 1 1n 1n n11nn n 12331 si 2r1r22rr3qrr3 3r rxC 解 將 直 線 y 的 傾 斜 角 記 為 則 有 ta 設 的 圓 心 為 0 則 由 題 意 得 知 得 同 理 從 而 將 代 入 解 得故 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 由 于 故 從 而 記 S21n1121n 11 r 3 3 3 3 93923 424nnnnnn nnnS 則 有 得2S 方法技巧 對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題 通常利用幾何知識 并結(jié)合圖形 得出 關(guān)于數(shù)列相鄰項 na與 1 之間的關(guān)系 然后根據(jù)這個遞推關(guān)系 結(jié)合所求內(nèi)容變形 得出 通項公式或其他所求結(jié)論 對于數(shù)列求和問題 若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu) 成的數(shù)列時 通常是利用前 n 項和 nS乘以公比 然后錯位相減解決 2010 重慶文數(shù) 16 本小題滿分 13 分 小問 6 分 小問 7 分 已知 na是首項為 19 公差為 2 的等差數(shù)列 nS為 a的前 項和 求通項 及 nS 設 nb 是首項為 1 公比為 3 的等比數(shù)列 求數(shù)列 nb的通項公式及其前n 項和 T 2010 浙江文數(shù) 19 本題滿分 14 分 設 a1 d 為實數(shù) 首項為 a1 公差為 d 的等 差數(shù)列 a n 的前 n 項和為 Sn 滿足 56 15 0 若 5S 5 求 6及 a1 求 d 的取值范圍 2010 重慶理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 I 小問 5 分 II 小問 7 分 在數(shù)列 na中 1 1 112 nnacN 其中實數(shù) 0c I 求 的通項公式 II 若對一切 kN 有 21kz 求 c 的取值范圍 2010 山東文數(shù) 18 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 na滿足 37 5726a na的前 n 項和為 nS 求 及 S 令 21nba nN 求數(shù)列 nb的前 n 項和 nT 2010 北京文數(shù) 16 本小題共 13 分 已知 na為等差數(shù)列 且 36a 0 求 的通項公式 若等差數(shù)列 nb滿足 18 2123ba 求 nb的前 n 項和公式 解 設等差數(shù)列 a的公差 d 因為 36 0 所以 125ad 解得 10 2ad 所以 0 nn 設等比數(shù)列 b的公比為 q 因為 21234 8ab 所以 8q 即 3 所以 nb的前 項和公式為 1 4 3 nnnqS 2010 北京理數(shù) 20 本小題共 13 分 已知集合 121 0 2 n nSXxxin 對于12 Aa BbS 定義 A 與 B 的差為12 nBa A 與 B 之間的距離為 1 idAab 證明 nnCSBS 有 且 dACBdA 證明 d三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) 設 P n P 中有 m m 2 個元素 記 P 中所有兩元素間距離的平均值為 d P 證明 d P 2 1 m 考生務必將答案答在答題卡上 在試卷上作答無效 證明 I 設 12 nAa 12 nBb 12 nCc S 因為 i 0ib 所以 0i i 從而 12 nnBaS 又 1 niiidACcb 由題意知 ia ib i 0 2 in 當 0ic 時 iiicab 當 1i時 1 ii iiiab 所以 1 niidACBabdAB II 設 12 na 2 n 12 nCc S dk dl dh 記 0 nOS 由 I 可知 dABAdOBk CCl h 所以 1 2 iban 中 1 的個數(shù)為 k 1 2 ican 的 1 的 個數(shù)為 l 設 t是使 iic 成立的 i的個數(shù) 則 hlkt 由此可知 klh三個數(shù)不可能都是奇數(shù) 即 dAB C d三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) III 2 1 ABPm 其中 ABP 表示 中所有兩個元素間距離的總和 設 種所有元素的第 i個位置的數(shù)字中共有 it個 1 imt 個 0 則 ABPd 1 niit 由于 it im 2 4i 所以 ABPd 2n 從而 22 1 4 1 ABPmmnCC 2010 四川理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 an 滿足 a1 0 a2 2 且對任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2 am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 設 bn a2n 1 a2n 1 n N 證明 bn 是等差數(shù)列 設 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求數(shù)列 cn 的前 n 項和 Sn 本小題主要考查數(shù)列的基礎知識和化歸 分類整合等數(shù)學思想 以及推理論證 分析與解 決問題的能力 解 1 由題意 零 m 2 n 1 可得 a3 2 a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2 a3 a1 8 20 2 分 2 當 n N 時 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2 a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差為 8 的等差數(shù)列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首項為 b1 a3 a1 6 公差為 8 的等差數(shù)列 則 bn 8n 2 即 a2n 1 a2n 1 8 n 2 另由已知 令 m 1 可得 an 21 n 1 2 那么 an 1 an 1 2 n 1 8 2 n 1 2 n 于是 cn 2 nqn 1 當 q 1 時 Sn 2 4 6 2 n n n 1 當 q 1 時 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2 n qn 1 兩邊同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2 n qn 上述兩式相減得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2 nqn 2 1 n 2 nqn 2 1 nq 所以 Sn 2 12 nnq 綜上所述 Sn 12 1 nnq A 12 分 2010 天津文數(shù) 22 本小題滿分 14 分 在數(shù)列 na中 1 0 且對任意 k N 2k12k 1a 成等差數(shù)列 其公差為 2k 證明 456 成等比數(shù)列 求數(shù)列 n的通項公式 記 223nnTaa A 證明 n3T2 解析 本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前 n 項和公式 等比數(shù)列的定義 數(shù)列求和等 基礎知識 考查運算能力 推理論證能力 綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想 方法 滿分 14 分 I 證明 由題設可知 21a 324a 348a 541a 68 從而 65432a 所以 4a 5 6成等比數(shù)列 II 解 由題設可得 12 kkN 所以 21212331 k kaaaa 4 4 kN 由 10a 得 21k 從而 221kak 所以數(shù)列 n的通項公式為 2 n 為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) 或?qū)憺?214nna N III 證明 由 II 可知 21ka 2ka 以下分兩種情況進行討論 1 當 n 為偶數(shù)時 設 n 2m mN 若 m 則 2nka 若 2 則 22221 121 144nmmkkkkkkaa 2 114 12mk kk 132mn 所以 23nka 從而 2 46 8 ka 2 當 n 為奇數(shù)時 設 1 nmN 2 2221 134nmkkmmaa 422n 所以 231 nka 從而 23 35 7 nka 綜合 1 和 2 可知 對任意 N 有 2 nT 2010 天津理數(shù) 22 本小題滿分 14 分 在數(shù)列 na中 10 且對任意 kN 21ka k 21 成等差數(shù)列 其公差為 kd 若 kd 2 證明 2ka 1 成等比數(shù)列 N 若對任意 N k 2k 成等比數(shù)列 其公比為 kq 解析 本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式 前 n 項和公式 等比數(shù)列的定義 數(shù)列求和等基礎知識 考查運算能力 推理論證能力 綜合分析和解決問題的能力及分類 討論的思想方法 滿分 14 分 證明 由題設 可得 4 21akNk 所以 1 31 2 2a aak 4 4 2k k 1 由 1a 0 得 222 1 1 21kakakk 從 而 于是 2 ak 所 以 所以 212kdkNak 時 對 任 意 成等比數(shù)列 證法一 i 證明 由 成等差數(shù)列 及 212akk 成等比數(shù)列 得 121 kakq 當 1q 1 時 可知 kq 1 k N 從而 111 1 2 2 kqk kk 即 所以 1q 是等差數(shù)列 公差為 1 證明 10a 2 可得 34a 從而 12 q 1 1 由 有 1 kkqNq 得 所以 2 221 1aakkNk 從 而 因此 222 2 1 2 14 2 kaak kkakNk 以下分兩種情況進行討論 1 當 n 為偶數(shù)時 設 n 2m mN 若 m 1 則 2ka 若 m 2 則222211 1 4nmmkkkkkaa 2 211 144112 3 mmmk k kkkn 所以 2 231 46 8 n nk kaa 從 而 2 當 n 為奇數(shù)時 設 n 2m 1 mN 222 21 31 4mkkaa 142 2n 所以 231 nka 從而 23 35 7nka 綜合 1 2 可知 對任意 2n N 有 2nk 證法二 i 證明 由題設 可得 2122 1 k kkdaqaq 2121 kkkkkdaqa 所以 1d 3211 22k kkkk kq qa 由 1 可知 1 kN 可得 1 1kkkq 所以 kq 是等差數(shù)列 公差為 1 ii 證明 因為 120 a 所以 121da 所以 3214d 從而 312q 1q 于是 由 i 可知所以 1kq 是 公差為 1 的等差數(shù)列 由等差數(shù)列的通項公式可得 k 1 故 k 從而 1kdq 所以 121212 1kkdkk 由 12d 可得kd 于是 由 i 可知 221 kkaaN 以下同證法一 2010 全國卷 1 理數(shù) 22 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 已知數(shù)列 na中 11 nnac 設 5 2ncb 求數(shù)列 nb的通項公式 求使不等式 13na 成立的 c的取值范圍 2010 四川文數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 na的前 3 項和為 6 前 8 項和為 4 求數(shù)列 的通項公式 設 1 4 0 nnbaqN 求數(shù)列 nb的前 n 項和 nS 2010 山東理數(shù) 18 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 na滿足 37 5726a na的前 n 項和為 nS 求 及 S 令 bn 21a n N 求數(shù)列 nb的前 n 項和 nT 解析 設等差數(shù)列 n的公差為 d 因為 37a 5726 所以有12706da 解得 13 2a 所以 3 n n nS 1 2 n 由 知 21na 所以 bn 2a 2 1 4n 1 4n 所以 T 11 23n 1 4n 4 1 即數(shù)列 nb的前 n 項和 nT 4 命題意圖 本題考查等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式的應用 裂項法求數(shù)列的和 熟練數(shù)列的基礎知識是解答好本類題目的關(guān)鍵 2010 湖南理數(shù) 21 本小題滿分 13 分 數(shù)列 naN 中 是函數(shù) 3221 3nnnfxaxa 的 極小值點 當 a 0 時 求通項 na 是否存在 a 使數(shù)列 是等比數(shù)列 若存在 求 a 的取值范圍 若不存在 請說明理由 2010 湖北理數(shù) 1nln232 證 明 1 2 2010 安徽理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設數(shù)列 12 na 中的每一項都不為 0 證明 n為等差數(shù)列的充分必要條件是 對任何 n N 都有12311nnaa 2010 江蘇卷 19 本小題滿分 16 分 設各項均為正數(shù)的數(shù)列 na的前 n 項和為 nS 已知 312a 數(shù)列 nS是公差為d 的等差數(shù)列 1 求數(shù)列 n的通項公式 用 d 表示 2 設 c為實數(shù) 對滿足 nmk 且3的任意正整數(shù) knm 不等式knmS 都成立 求證 c的最大值為 29 解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項 求和以及基本不等式等有關(guān)知識 考查探索 分 析及論證的能力 滿分 16 分 1 由題意知 0d 11 nSdand 21323213 aaSS 22111 adad 化簡 得 210 dad 2 nnSd 當 2 時 221 1 1 naSnd 適合 1n 情形 故所求 2 2 方法一 2222mnkScdnckdmnck 2mnk 恒成立 又 且3 2229 9 故 92c 即 的最大值為 9 方法二 由 1ad及 1 nSad 得 0 2nSd 于是 對滿足題設的 km 有2222 9 mn kSddS 所以 c的最大值 max9 另一方面 任取實數(shù) 2 設 k為偶數(shù) 令 31 2mkn 則 knm 符合條 件 且 23 1 94 mnSdd 于是 只要 2294ka 即當 29ka 時 2mnkSaS 所以滿足條件的 c 從而 maxc 因此 的最大值為 2