高考數(shù)學試題分類匯編.doc

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歷年高考數(shù)學試題分類匯編 概率與統(tǒng)計 一． 選擇題： 1.（安徽卷10）．設兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示。則有（ A ） A． B． C． D． 2.（山東卷7）在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為B （A）　　　　　　　　　　　　　　　?。˙） （C）　　　　　　　　　　　　　　?。―） 3.（山東卷8)右圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計年整2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字，從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為 （A）304.6　　　　　　　　　?。˙）303.6 (C)302.6 (D)301.6 4.（江西卷11）電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59的每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率為C A． B． C． D． 5.（湖南卷4）設隨機變量服從正態(tài)分布,若,則c= ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.（重慶卷5)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(3,a2),則P(＝D (A) (B) (C) (D) 7.（福建卷5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是B A. B. C. D. 8.（廣東卷2）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ D ） A．16 B．24 C．36 D．48 9.（遼寧卷7）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ C ） A． B． C． D． 二． 填空題： 1.（天津卷11）一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工________________人．10 2.（上海卷7）在平面直角坐標系中，從六個點：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三個，這三點能構成三角形的概率是 （結果用分數(shù)表示） 3.（上海卷9）已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是 10.5和10.5; 4.（江蘇卷2）一個骰子連續(xù)投2 次，點數(shù)和為4 的概率 ． 5.（江蘇卷6）在平面直角坐標系中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2 的點構成的區(qū)域， E是到原點的距離不大于1 的點構成的區(qū)域，向D 中隨機投一點，則落入E 中的概率 ． 6.（湖南卷15）對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體和 (m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 . ,6 三． 解答題： 1.（全國一20）．（本小題滿分12分） （注意：在試題卷上作答無效） 已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗方法： 方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止． 方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗． （Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求的期望． 解：（Ⅰ）對于甲： 次數(shù) 1 2 3 4 5 概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 對于乙： 次數(shù) 2 3 4 概率 0.4 0.4 0.2 ． （Ⅱ）表示依方案乙所需化驗次數(shù)，的期望為． 2.（全國二18）．（本小題滿分12分） 購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為． （Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率； （Ⅱ）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）． 解： 各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為， 則． （Ⅰ）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當且僅當， 2分 ， 又， 故． 5分 （Ⅱ）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望為 ， 9分 由知，， ． （元）． 故每位投保人應交納的最低保費為15元． 12分 3.（北京卷17）．（本小題共13分） 甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率； （Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； （Ⅲ）設隨機變量為這五名志愿者中參加崗位服務的人數(shù)，求的分布列． 解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時參加崗位服務為事件，那么， 即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是． （Ⅱ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件，那么， 所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是． （Ⅲ）隨機變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時參加崗位服務， 則． 所以，的分布列是 1 3 4.（四川卷18）．（本小題滿分12分） 設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。 （Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （Ⅲ）記表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。 【解】：記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品， 記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品， 記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種， 記表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種， （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ），故的分布列 所以 5.（天津卷18）（本小題滿分12分） 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為． （Ⅰ）求乙投球的命中率； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率； （Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率． 解：本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分． （Ⅰ）解法一：設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B． 由題意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率為． 解法二：設設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B． 由題意得，于是或（舍去），故． 所以乙投球的命中率為． （Ⅱ）解法一：由題設和（Ⅰ）知． 故甲投球2次至少命中1次的概率為 解法二： 由題設和（Ⅰ）知 故甲投球2次至少命中1次的概率為 （Ⅲ）由題設和（Ⅰ）知， 甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為 ， ， 所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為． 6.（安徽卷19)．（本小題滿分12分） 為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望，標準差為。 （Ⅰ）求n,p的值并寫出的分布列； （Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率 解：(1)由得, 從而 的分布列為 0 1 2 3 4 5 6 (2)記”需要補種沙柳”為事件A, 則 得 或 7.（山東卷18）（本小題滿分12分） 甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分， 答錯得零分。假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊的總得分. （Ⅰ）求隨機變量ε分布列和數(shù)學期望； (Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB). (Ⅰ)解法一：由題意知，ε的可能取值為0，1，2，3,且 所以ε的分布列為 ε 0 1 2 3 P ε的數(shù)學期望為 　　　　　Eε= 解法二：根據(jù)題設可知 因此ε的分布列為 （Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“已隊得k分”這一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1為互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). = 8.（江西卷18）．（本小題滿分12分） 某柑桔基地因冰雪災害，使得果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預計當年可以使柑桔產(chǎn)量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實施方案二，預計當年可以使柑桔產(chǎn)量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6. 實施每種方案，第二年與第一年相互獨立。令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災前產(chǎn)量的倍數(shù)． （1）．寫出的分布列； （2）．實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量的概率更大？ （3）．不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到災前產(chǎn)量，預計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災前產(chǎn)量，預計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量，預計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？ 解：（1）的所有取值為 的所有取值為, 、的分布列分別為： 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （2）令A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量這一事件， , 可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量的概率更大 （3）令表示方案所帶來的效益，則 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 可見，方案一所帶來的平均效益更大。 9.（湖北卷17）.（本小題滿分12分） 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標號. （Ⅰ）求的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若, ,,試求a,b的值. 解：本小題主要考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運算能力.（滿分12分） 解：（Ⅰ）的分布列為： 0 1 2 3 4 P ∴ （Ⅱ）由，得a22.75＝11，即又所以 當a=2時，由1＝21.5+b,得b=-2; 當a=-2時，由1＝-21.5+b，得b=4. ∴或即為所求. 10.（湖南卷16）.（本小題滿分12分） 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試 合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求： （Ⅰ）至少有1人面試合格的概率; （Ⅱ）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學期望. 解: 用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立， 且P（A）＝P（B）＝P（C）＝. （Ⅰ）至少有1人面試合格的概率是 （Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3. ＝ ＝ = = 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 的期望 11.（陜西卷18）．（本小題滿分12分） 某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標即終止射擊，第次擊中目標得分，3次均未擊中目標得0分．已知某射手每次擊中目標的概率為0.8，其各次射擊結果互不影響． （Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率； （Ⅱ）該射手的得分記為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望． 解：（Ⅰ）設該射手第次擊中目標的事件為，則， ． （Ⅱ）可能取的值為0，1，2，3． 的分布列為 0 1 2 3 0.008 0.032 0.16 0.8 . 12.（重慶卷18）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.） 甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立.求： （Ⅰ） 打滿3局比賽還未停止的概率； （Ⅱ）比賽停止時已打局數(shù)的分別列與期望E. 解：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝. 　　　?。á瘢┯瑟毩⑹录瑫r發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比 賽還未停止的概率為 　　　　　　　 　　　?。á颍┑乃锌赡苤禐?，3，4，5，6，且 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　故有分布列 2 3 4 5 6 P 　　　　　　　 　　　　　　　從而（局）. 13.（福建卷20）（本小題滿分12分） 　　　某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科 　　　目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證 　　　書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試 　　　成績合格的概率均為.假設各次考試成績合格與否均互不影響. 　?。á瘢┣笏恍枰a考就可獲得證書的概率； 　?。á颍┰谶@項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學期望E. 本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學知識分析問題/解愉問題的能力.滿分12分. 解:設“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B. (Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1B1,注意到A1與B1相互獨立， 則. 答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為. (Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得 故 答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學期望為. 14.（廣東卷17）．（本小題滿分13分） 隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為． （1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學期望）； （3）經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， 故的分布列為： 6 2 1 -2 0.63 0.25 0.1 0.02 （2） （3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為 依題意，，即，解得 所以三等品率最多為 15.（浙江卷19）（本題14分）一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是。 （Ⅰ）若袋中共有10個球， （i）求白球的個數(shù)； （ii）從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望。 （Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。 本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，同時考查學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．滿分14分． （Ⅰ）解：（i）記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，設袋中白球的個數(shù)為，則， 得到． 故白球有5個． （ii）隨機變量的取值為0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 的數(shù)學期望 ． （Ⅱ）證明：設袋中有個球，其中個黑球，由題意得， 所以，，故． 記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則 ． 所以白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于，紅球的個數(shù)少于． 故袋中紅球個數(shù)最少． 16.（遼寧卷18）．（本小題滿分12分） 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 （Ⅰ）根據(jù)上面統(tǒng)計結果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率； （Ⅱ）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）．若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求的分布列和數(shù)學期望． 解：本小題主要考查頻率、概率、數(shù)學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分． 解：（Ⅰ）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3． 3分 （Ⅱ）的可能值為8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.22=0.04， P（=10）=20.20.5=0.2， P（=12）=0.52+20.20.3=0.37， P（=14）=20.50.3=0.3， P（=16）=0.32=0.09． 的分布列為 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9分 =80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元） 12分