2020年中考數(shù)學一輪復習 基礎考點及題型 專題24 相似形（含解析）

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1、專題24 相似形 考點總結 【思維導圖】 【知識要點】 知識點一 相似圖形及比例線段 相似圖形：在數(shù)學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形. 相似多邊形：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。 特征：對應角相等，對應邊成比例。 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段． 【基礎題型】 1．（2019·上海中考模擬）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中項，那么b：c等于（　?。? A．4：3 B．3：4 C．2：

2、3 D．3：2 【答案】D 【詳解】 解：∵a：b=3：2，b是a和c的比例中項， 即a：b=b：c， ∴b：c=3：2． 故選：D． 2．（2019·上海中考模擬）下列四條線段能成比例線段的是（　?。? A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5 【答案】C 【解析】 A選項中，因為1：1≠2：3，所以A中的四條線段不是成比例線段； B選項中，因為1：2≠3：4，所以B中的四條線段不是成比例線段； C選項中，因為2：2=3：3，所以C中的四條線段是成比例線段； D選項中，因為2：3≠3：4，所以D中的四條線段不是成比例線段. 故

3、選C. 3．（2018·安徽中考模擬）若xx+y=35，則xy等于 （ ） A．32 B．38 C．23 D．85 【答案】A 【詳解】根據(jù)比例的基本性質得： 5x=3（x+y），即2x=3y， 即得xy=32， 故選A． 4．（2019·河北中考模擬）下列圖案中花邊的內外邊緣（每個圖形邊緣等寬）所圍成的圖形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 A、兩個不等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合要求； B、兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求； C、兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故C選

4、項不符合要求； D、兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故D選項符合要求， 故選D． 5．（2019·四川中考真題）若a:b=3:4，且a+b=14，則2a-b的值是（　?。? A．4 B．2 C．20 D．14 【答案】A 【詳解】 解：由a：b＝3：4a:b=3:4知， 所以． 所以由a+b=14得到：， 解得a=6． 所以b=8． 所以． 故選：A． 【考查題型匯總】 考查題型一 利用平行線分線段成比例定理求線段長度 1．（2019·上海中考模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式

5、中正確的是(　　) A．AFDF=DEBC B．DFDB=AFDF C．EFCD=DEBC D．AFBD=ADAB 【答案】C 【詳解】 A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AFDF=AEEC，AEAC=DEBC，∵CE≠AC，∴AFDF≠DEBC，故本選項錯誤； B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AFDF=AEEC，AEEC=ADBD，∴AFDF=ADBD，∵AD≠DF，∴DFDB≠AFDF，故本選項錯誤； C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴DEBC=AEAC，EFCD=AEAC，∴EFCD=DEBC，故本選項正確； D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴ADAB=AEAC，AFAD=A

6、EAC，∴AFAD=ADAB，∵AD≠DF，∴AFBD≠ADAB，故本選項錯誤. 故選C. 2．（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定DE∥BC的是（　?。? A．ADAB=DEBC B．ADBD=AEAC C．BDAB=CEAE D．ADAE=ABAC 【答案】D 【詳解】 A．由ADAB=DEBC，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； B．由ADBD=AEAC，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； C．由BDAB=CEAE，不能得到DE∥BC，故本選項不合題意； D．由ADAE=ABAC，能得到DE∥BC，故本選項

7、符合題意； 故選D． 3．（2019·河北中考模擬）在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列條件能夠判定DE∥BC的是( ) A．DEBC＝23 B．DEBC＝25 C．AEAC＝23 D．AEAC＝25 【答案】D 【詳解】 解：當ADDB=AEEC或ADAB=AEAC時,?DE∥BD, 即AEEC=23或AEAC=25. 所以D選項是正確的. 4．（2017·重慶中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( ) A．5

8、∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 【答案】A 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴AEEC=ADDB=35，AEEC=BFFC， ∴BFFC=35， ∴CFBF=53， ∴CFBF+CF=53+5，即CFBC=58. 故選A. 5．（2018·浙江省寧波市鄞州實驗中學中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是 A．4.5 B．8 C. 10.5 D．14 【答案】B。 【解析】∵DE∥BC，∴AEEC=ADDB。 又∵AE=

9、6，ADDB=34，∴6EC=34?EC=8。故選B。 考查題型二 作平行線構造成比例線段的方法 1．（2018·浙江中考模擬）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點A、B、C，直線n分別交直線a、b、c于點D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，則BECF的值應該（　?。? A．等于13 B．大于13 C．小于13 D．不能確定 【答案】B 【解析】 作AH∥n分別交b、c于G、H，如圖， 易得四邊形AGED、四邊形AHFD為平行四邊形， ∴HF=GE=AD=4， ∵直線a∥b∥c， ∴ABAC=BGCH，即BGCH=22+4=13， ∴BECF

10、=BG+2CH+2=13CH+2CH+2=13（CH+2）+43CH+2=13+43CH+2， ∴BECF＞13． 故選：B． 2．（2018·廣西中考真題）如圖，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，則 AE：EC 的值是（ ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【答案】D 【詳解】 如圖，過點 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE ∴DFCE=BDBC， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴DFCE=25，則 CE=52DF， ∵DF∥AE， ∴DFAE=DGAG， ∵AG：GD=4：1， ∴DFAE=14，則

11、 AE=4DF， ∴AECE=4DF52DF=85， 故選D． 3．（2019·山西中考模擬）如圖，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延長 CA 至點 D，使 AD＝AC，點 E 是 BC 的中點，連接 DE 交 AB 于點 F，則 AF：FB 的值為( ) A．12 B．23 C．22 D．223 【答案】A 【詳解】 解：過點AD作AG∥BC，與DE交于點G． ∴ADDC=AGEC，AGBE=AFFB， ∵BE=CE， ∴AFFB=ADDC ∵ AC=AD， ∴ AF：FB=1:2. 故選：A. 知識點二 相似三角形 相似圖形

12、的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。 相似圖形的概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。 相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.　 判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似. 判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似. 判定方法（

13、五）：斜邊和任意一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似。 相似三角形的性質： 1.相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等； 2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比. 3.相似三角形的面積比等于相似比的平方． 相似三角形與實際應用： 關鍵：巧妙利用相似三角形性質，構建相似三角形求解。 【考查題型匯總】 考查題型三 相似三角形的判定方法 1．（2019·上海中考模擬）如圖，在△ABC中，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，如果添加下列某個條件，不一定能使△ADE與△ABC相似，那么添加的這個條件是(?? )

14、 A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．ADAC=AEAB D．ADAB=DEBC 【答案】D 【詳解】 解： A，當∠AED＝∠B時，△ADE∽△ABC(AAA)；故本選項不符合題意；? B，當∠ADE＝∠C時，△ADE∽△ABC(AAA)；故本選項不符合題意；? C, 當ADAC＝AEAB時，△ADE∽△ABC(SAS)；故本選項不符合題意；? D，當ADAB＝DEBC時，公共角不是夾角，不能推斷△ADE∽△ABC；故本選項符合題意， 故選D. 2．（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且DE與BC不平行．下列條件中，能判定△A

15、DE與△ACB相似的是（　　） A．ADAC=AEAB B．ADAE=ABAC C．DEBC=AEAB D．DEBC=ADAC 【答案】A 【詳解】 解:在△ADE與△ACB中， ∵ADAC=AEAB，且∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 故選:A． 3．（2019·浙江中考模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，則（　?。? A．ADAB=12 B．AEEC=12 C．ADEC=12 D．DEBC=12 【答案】B 【解析】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ADAB=AEAC=DEBC， ∵BD=2A

16、D， ∴ADAB=13，DEBC=13，AEEC=12， 故選A． 4．（2019·四川中考模擬）以下各圖放置的小正方形的邊長都相同，分別以小正方形的頂點為頂點畫三角形，則與△ABC相似的三角形圖形為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 設每個小正方形的邊長為1,則△ABC的各邊長分別為：2, 2,10，同理求得： A中三角形的各邊長為：2,1, 5，與△ABC的各邊對應成比例，所以兩三角形相似； 故選A. 5．（2019·廣西中考真題）如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（ ） A．3對 B．5對 C

17、．6對 D．8對 【答案】C 【詳解】 圖中三角形有：ΔAEG，ΔADC，ΔCFG，ΔCBA， ∵AB∥EF∥DC，AD∥BC ∴ΔAEG∽ΔADC∽ΔCFG∽ΔCBA 共有6個組合分別為：∴ΔAEG∽ΔADC，ΔAEG∽ΔCFG，ΔAEG∽ΔCBA，ΔADC∽ΔCFG，ΔADC∽ΔCBA，ΔCFG∽ΔCBA 故選：C． 6．（2013·浙江中考真題）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2， 對于上述的

18、兩個判斷，下列說法正確的是（　?。? A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①，②都錯誤 D．①，②都正確 【答案】D 【解析】 ①∵A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，且△A1B1C1與△A2B2C2的周長相等， ∴B1C1=B2C2?！唷鰽1B1C1≌△A2B2C2（SSS）。故①正確。 ②∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2。 ∴B1C1B2C2=ΔA1B1C1的周長ΔA2B2C2的周長=1?！郆1C1=B2C2。∴△A1B1C1≌△A2B2C2（ASA）。故②正確。 綜上所述，①，②都正確。故選D。 考查題型四

19、利用相似三角形的性質進行計算 1．（2018·甘肅中考模擬）有一塊直角邊AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（　?。? A．67 B．3037 C．127 D．6037 【答案】D 【解析】 試題解析：如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q． ∵S△ABC=12AB?BC=12AC?BP， ∴BP=AB·BCAC=3×45=125． ∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴DEAC=BQBP． 設DE=x，則有：x5=125-x125，

20、 解得x=6037， 故選D． 2．（2019·上海中考模擬）如圖，已知?ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFE：S四邊形FCDE為( ) A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【答案】C 【詳解】 解：連接CE，∵AE∥BC，E為AD中點， ∴AEBC=AFFC=12 ． ∴△FEC面積是△AEF面積的2倍． 設△AEF面積為x，則△AEC面積為3x， ∵E為AD中點， ∴△DEC面積=△AEC面積=3x． ∴四邊形FCDE面積為5x， 所以S△AFE：S四邊形FCDE為1：5． 故選：C． 3．（2019·四

21、川中考真題）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使，連結EF交DC于點G，則＝（ ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】D 【詳解】 解：設， ∵， ∴， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，， ∵點F是BC的中點， ∴， ∵， ∴， ∴， 故選：D． 4．（2019·山東中考真題）如圖，在ΔABC中，AC=2，，D為BC邊上的一點，且∠CAD=∠B．若ΔADC的面積為a，則ΔABD的面積為（　?。? A．2a B．52a C．3a D．72a 【答案】C 【詳解】 ∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA， ∴ΔA

22、CD～ΔBCA， ∴SΔACDSΔBCA=ACAB2，即aSΔBCA=14， 解得，ΔBCA的面積為4a， ∴ΔABD的面積為：4a-a=3a， 故選：C． 5．（2019·江蘇中考真題）若ΔABC～ΔA'B'C'，相似比為1:2，則ΔABC與ΔA'B'C'的周長的比為（　?。? A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4 【答案】B 【詳解】 ∵ΔABC～ΔA'B'C'，相似比為1:2， ∴ΔABC與A'B'C'的周長的比為1:2． 故選：B． 6．（2018·黑龍江中考真題）兩個相似三角形的最短邊分別是5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么小三角形的周長為

23、（ ）． A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm 【答案】C 【解析】 由題可得，兩個相似三角形的周長比等于相似比，也就是兩個最短邊的比為5:3，設兩三角形周長分別為5xcm，3xcm，則，解得x=6，所以，即小三角形周長為18cm．故選C． 7．（2019·云南中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【答案】B 【詳解】 ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA，

24、 ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故選B． 8．（2011·浙江中考真題）（11·臺州）若兩個相似三角形的面積之比為1∶4，則它們的周長之比為（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)相似三角形的性質，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，利用面積之比是1:4，求出相似比，然后再根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，即可求出它們的相似比. ∵兩個相似三角形的面積之比是1:4， ∴兩個相似三角形的相似比是1:2. ∴兩個相似三角

25、形的周長之比是1:2. 故選擇A. 考查題型五 ；利用相似三角形的判定和性質求線段或角度 1．（2019·湖南中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G． (1)求證：BF=CF； (2)若BC=6，DG=4，求FG的長． 【答案】(1)證明見解析；(2)FG=2. 【詳解】 (1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CD，AD=BC， ∴ΔEBF∽ΔEAD， ∴BFAD=BEEA， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ∴BFAD=12， ∴BF=12AD=12BC， ∴BF=CF；

26、(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CD， ∴ΔFGC∽ΔDGA， ∴FGDG=FCAD，即FG4=12， 解得，F(xiàn)G=2． 2．（2016·山東中考模擬）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N． （1）求證：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的長． 【答案】（1）見解析；（2）4.9 【詳解】 （1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE，

27、 ∴△ABM∽△EFA； （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中點， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴BMAF=AMAE， 即56.5=13AE， ∴AE=16.9， ∴DE=AE-AD=4.9． 3．（2019·遼寧中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B． (1)求證：△ADF∽△DEC (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的長. 【答案】（1）見解析（2）AF=23 【詳解】 （1）證明：∵四邊形

28、ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=(33)2+32=6 ∵△ADF∽△DEC ∴ADDE=AFCD∴336=AF4 ∴AF=23 4．（2017·江蘇中考模擬）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且． （1）求證：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小

29、． 【答案】（1）證明見試題解析；（2）90°． 【解析】 （1）∵CD是邊AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵． ∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 5．（2013·山東中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點， （1）求證：AC2=AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）

30、見解析 （2）見解析 （3）ACAF=74． 【詳解】 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ADAC=ACAB 即AC2=AB?AD． （2）證明：∵E為AB的中點 ∴CE=12AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴ADCE=AFCF． ∵CE=12AB ∴CE=12×6=3． ∵AD=4 ∴43=AFCF ∴ACAF=74． 考查題型六 利用相似三角形測量河寬 1

31、．（2019·吉林中考模擬）如圖，一位測量人員，要測量池塘的寬度 AB 的長，他過 A、B 兩點畫兩條相交于點 O 的射線，在射線上取兩點 D、E ，使 ODOB=OEOA=13 ，若測得 DE=37.2 米，他能求出 A、B 之間的距離嗎？若能，請你幫他算出來；若不能，請你幫他設計一個可行方案． 【答案】可以求出A、B之間的距離為111.6米. 【詳解】 解：∵ODOB=OEOA，∠AOB=∠EOD（對頂角相等）， ∴△AOB∽△EOD， ∴DEAB=OEOA=13， ∴37.2AB=13， 解得AB=111.6米． 所以，可以求出A、B之間的距離為111.6米 2．（

32、2018·陜西中考真題）周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關測量信息，求河寬AB． 【答案】河寬為17米． 【詳解】∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴?ABC∽?ADE， ∴ADAB=DEBC， 又∵A

33、D=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴AB+8.5AB=1.51， ∴AB＝17， 即河寬為17米． 3．（2019·安徽中考模擬）為了估計河的寬度，勘測人員在河的對岸選定一個目標點A，在近岸分別取點B、D、E、C，使點A、B、D在一條直線上，且AD⊥DE，點A、C、E也在一條直線上，且DE//BC.經(jīng)測量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的寬度AB為多少米？ 【答案】河的寬度為18米． 【詳解】 解：設寬度AB為x米， ∵DE//BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴ABAD=BCDE， 又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得 ∴

34、xx+12=2440， 解得x=18， 答：河的寬度為18米． 考查題型七 利用相似三角形測量物高 1．（2018·陜西省西安高新第一中學初中校區(qū)中考模擬）太原雙塔寺又名永祚寺，是國家級文物保護單位，由于雙塔（舍利塔、文峰塔）聳立，被人們稱為“文筆雙塔”，是太原的標志性建筑之一，某校社會實踐小組為了測量舍利塔的高度，在地面上的C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝4米，將標桿CD向后平移到點C處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一

35、直線上），這時測得FG＝6米，GC＝53米． 請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算舍利塔的高度AB． 【答案】55米 【詳解】 ∵△EDC∽△EBA，△FHC∽△FBA, ∴GHAB=FGFA,DCBA=ECEA， 又∵DC=HG， ∴FGFA=ECEA， 即659+AC=44+AC， ∴AC=106米， 又 DCAB=ECEA， ∴2AB=44+106， ∴AB=55米. 答：舍利塔的高度AB為55米． 2．（2019·蕪湖市第二十九中學中考模擬）如圖是小明設計利用光線來測量某古城墻CD高度的示意圖，如果鏡子P與古城墻的距離PD＝12米，鏡子P與小明的距離BP＝1.5米，小

36、明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么該古城墻的高度是？ 【答案】9.6米 【詳解】 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP ∴＝， 即：＝， 解得：PD＝9.6（米）． 答：該古城墻的高度是9.6m． 3．（2019·廣東中考模擬）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高． 【答案】樹高為 5.5 米

37、 【詳解】 ∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB ∴ DEDC=EFCB， ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， ∴0.48=0.2CB， ∴CB＝4（m）， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米） 答：樹高為 5.5 米. 4．（2019·西安交通大學附屬中學中考模擬）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小亮在點D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向從D后退4米到G處，測得自己的影長GH＝5，如果小亮的身高為1.7m，求路燈桿AB的高度． 【答案】路燈桿AB高5.1m． 【詳解】 ∵CD⊥BF，AB⊥BF

38、， ∴CD∥AB， ∴△CDF∽△ABF， ∴CDAB＝DFBF， 同理可得EGAB＝GHBH， ∴DFBF＝GHBH， ∴3BD+3＝59+BD， 解得BD＝6， ∴1.7AB＝33+6， 解得AB＝5.1． 答：路燈桿AB高5.1m． 5．（2018·廣西柳州八中中考模擬）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25 m，已知李明直立時的身高為1.75 m，求路燈的高CD的長．

39、(結果精確到0.1 m) 【答案】路燈的高CD的長約為6.1 m. 【解析】 設路燈的高CD為xm， ∵CD⊥EC，BN⊥EC， ∴CD∥BN， ∴△ABN∽△ACD，∴BNCD=ABAC， 同理，△EAM∽△ECD， 又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm， ∴1.75x=1.25x-1.75，解得x＝6.125≈6.1． ∴路燈的高CD約為6.1m． 6．（2018·陜西西北工業(yè)大學附屬中學中考模擬）數(shù)學活動小組的小穎、小明和小華利用皮尺和自制的兩個直角三角板測量學校旗桿MN的高度，如示意圖，△ABC和△A′B′C′是他們自制的直角三角板，且△ABC≌△A′B′C′，

40、小穎和小明分別站在旗桿的左右兩側，小穎將△ABC的直角邊AC平行于地面，眼睛通過斜邊AB觀察，一邊觀察一邊走動，使得A、B、M共線，此時，小華測量小穎距離旗桿的距離DN=19米，小明將△A′B′C′的直角邊B′C′平行于地面，眼睛通過斜邊B′A′觀察，一邊觀察一邊走動，使得B′、A′、M共線，此時，小華測量小明距離旗桿的距離EN=5米，經(jīng)測量，小穎和小明的眼睛與地面的距離AD=1米，B′E=1.5米，（他們的眼睛與直角三角板頂點A，B′的距離均忽略不計），且AD、MN、B′E均與地面垂直，請你根據(jù)測量的數(shù)據(jù)，計算旗桿MN的高度. 【答案】11米 【詳解】 解：過點C作CE⊥MN于E，

41、過點C′作C′F⊥MN于F， 則EF＝B′E?AD＝1.5?1＝0.5（m），AE＝DN＝19，B′F＝EN＝5， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠MAE＝∠B′MF， ∵∠AEM＝∠B′FM＝90°， ∴△AMF∽△MB′F， ∴AEMF=MEB'F ， ∴19MF=MF+0.55 ∴MF＝192 ， ∵NF=B'E=1.5, MN=MF+NF, ∴MN=MF+B'E=192+1.5=11 答：旗桿MN的高度約為11米． 考查題型八 利用相似三角形解決盲區(qū)問題 1．（2018·陜西省西安高新逸翠園學校中考模擬）如圖，兩棵樹的高度分別為AB=6m，CD

42、=8m，兩樹的根部間的距離AC=4m，小強正在距樹AB的20m的點P處從左向右前進，如果小強的眼睛與地面的距離為1.6m，當小強前進多少米時，就恰好不能看到CD的樹頂D? 【答案】前進11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D. 【解析】 設FG=x米．那么FH=x+GH=x+AC=x+4（米）． ∵AB=6m，CD=8m，小強的眼睛與地面的距離為1.6m， ∴BG=4.4m，DH=6.4m． ∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD， ∴FG：FH=BG：DH，即FG?DH=FH?BG， ∴x×6.4=（x+4）×4.4， 解得：x=8.8（米），20﹣8.8=11.2米．

43、 因此前進11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D． 考查題型九 利用相似三角形解決其它實際問題 1．（2018·河北中考模擬）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝12 cm，高AD＝8 cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且矩形的長與寬的比為3∶2，求這個矩形零件的邊長． 【答案】個矩形零件的長為6 cm，寬為4 cm或長為7213cm，寬為4813cm. 【解析】 ∵四邊形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴PQBC=AHAD， 由于矩形長與寬的比為3：2， ∴分兩種情況： ①若PQ為

44、長，PN為寬， 設PQ=3k，PN=2k， 則3k12=8-2k8， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN為6，PQ為寬， 設PN=3k，PQ=2k， 則2k12=8-3k8， 解得：k=2413， ∴PN=7213cm，PQ=4813cm； 綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為7213cm，寬為4813cm． 2．（2018·陜西初三期末）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4D=80mm, .把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上. (1)求證：ΔAEF~ΔABC;

45、 (2)求這個正方形零件的邊長; 【答案】（1）見解析；（2）正方形零件的邊長為48mm 【詳解】 (1)證明：∵四邊形EGFH為正方形， ∴ BC// EF, ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C ∴△AEF～△ABC; (2)解：設正方形零件的邊長為xmm，則KD=EF=xmm, AK= (80-x) mm， ∵EF// BC, ∴△AEF～△ABC, ∵AD⊥BC, ∴ ∴ 解得x=48. 答：正方形零件的邊長為48mm. 考查題型十 利用相似三角形解決動態(tài)幾何問題 1．（2017·天津中考模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．

46、現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設運動的時間為t秒． （1）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S； （2）當t＝3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？ （3）當t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？ 【答案】1 S=（20t-4t2）cm2；210cm；3 t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似． 【詳解】 （1）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4

47、t，因此Rt△CPQ的面積為S=12CP×CQ=12×（20-4t）×2t=20t-4t2（0≤t≤5）； （2）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，當t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm． 在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm； （3）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t． 分兩種情況討論： ①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得：t=3秒； ②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得：t=4011

48、秒． 因此t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似． 知識點三 位似 位似圖形定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心． 注意： 1.位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。 2.位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應邊互相平行或者共線。 位似中心的位置：形內、形外、形上。 畫位似圖形的步驟： 1.確定位似中心. 2.確定原圖形的關鍵點. 3.確定位似比. 4.根據(jù)對應點所在直線經(jīng)過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關鍵點的對應點，

49、再按照原圖的順序連接各點 ( 對應點都在位似中心同側，或兩側 ) . 在直角坐標系中的位似圖形坐標關系：在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky). 平移、軸對稱、旋轉、位似的區(qū)別： 1.平移：和原圖形一模一樣 （和原圖形全等且能與原圖形重合） 2.軸對稱：面積和原圖形一樣 也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們全等） 3.旋轉：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的

50、圖形，而旋轉可以旋轉出無數(shù)個。 4.位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等 邊就不一定相等了。 【考查題型匯總】 考查題型十一 識別位似圖形和位似中心 1．（2018·四川中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，且頂點都在格點上，則點P的坐標為（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4） 【答案】A 【詳解】 如圖，點P的坐標為（-4，-3）． 故選A． 2．（2018·河北中考模擬）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點F與點C是一對對應點，點F的坐標是（1，

51、1），點C的坐標是（4，2），則它們的位似中心的坐標是（ ） A．（0，0） B．（－1，0） C．（－2，0） D．（－3，0） 【答案】C 【解析】 ∵點F與點C是一對對應點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點， 設直線CF解析式為y=kx+b， 將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入， 得， 解得， 即y=x+， 令y=0得x=﹣2， ∴O′坐標是（﹣2，0）； 故選C． 3．（2015·四川中考真題）如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），則點C的坐標為（

52、 ） A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1） 【答案】B 【詳解】 ∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，點B的坐標為(1，0)， ∴BO=1，則AO=AB=22， ∴A(12，12)， ∵等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1:2， ∴點C的坐標為：(1，1). 故選B. 4．（2018·河北中考模擬）如圖，△A'B'C'是△ABC以點O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若△A'B'C'的面積與△ABC的面積比是4：9，則OB'：OB為(　　) A．

53、2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9 【答案】A 【解析】 由位似變換的性質可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'與△ABC的面積的比4：9， ∴△A'B'C'與△ABC的相似比為2：3， ∴OB'：OB=2：3. 故選：A． 5．（2019·甘肅中考模擬） 如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A（1，3）、B（3，0），以原點為位似中心，將線段AB放大得到線段CD，若點C的坐標為（6，0），則點D的坐標為（　　） A．（3，6） B．（2，4.5） C．（2，6） D．（1.5，4.5） 【答案】C 【詳解】

54、由題意得，△OAB與△ODC為位似圖形， ∴△OAB∽△ODC， 由題意得，OB＝3，OC＝6， ∴△OAB與△ODC的相似比為1：2， ∴點D的坐標為（1×2，3×2），即（2，6）， 故選C． 6．（2019·陜西中考模擬）如圖，在平面直角坐標中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標為（?。? A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【答案】A 【詳解】 ∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13， ∴AD

55、BG=13， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=13， ∴OA2+OA=13， 解得：OA=1，∴OB=3， ∴C點坐標為：（3，2）， 故選A． 7．（2018·廣西中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【詳解】 試題分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O關于原點位似，∴△ AB

56、O∽△A′B′O且OA'OA＝13 .∴＝＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵點A（―3，6）且相似比為13，∴點A的對應點A′的坐標是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）. ∵點A′′和點A′（－1,2）關于原點O對稱，∴A′′（1,―2）. 故答案選D. 考查題型十二 位似圖形的應用 1．（2013·浙江中考模擬）如圖，△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（ ） A．1:2 B．1:4 C．1:5

57、D．1:6 【答案】B 【解析】 由題意可知△DEF與△ABC的位似比為1︰2，∴其面積比是1︰4，故選B． 2．（2019·河北中考模擬）如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為（　?。? A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 【答案】D 【解析】 解：∵OB=3OB′， ∴OB′：OB=1：3， ∵以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3， ∴SΔA'B'C'SΔABC=(13)2=19. 故

58、選D 3．（2016·天津中考模擬）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為（　　） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】C 【解析】 由平行四邊形的性質可證明△DEF∽△BAF，可得DFBF=EFAF=25，由此求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關系S△DEFS△ABF=425，S△DEFS△ADF=25， 設S△DEF=S，則S△ABF=254S，S△ADF=52S，所以S△ABD=S△ADF+S△ABF=254S+52S=354S，

59、再由四邊形ABCD為平行四邊形，可得S△ABD=S△DBC=354S， 因此可得S四邊形EFBC=S△BDC﹣S△DEF=354S﹣S=314S，所以S△DEF：S四邊形EFBC=4：31． 故選C． 4．（2012·廣東中考模擬）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，AD=1，BC=3，則S△AOD：S△BOC等于（　?。? A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：9 【答案】D 【解析】 ∵ＡＤ∥ＢＣ, ∴Ｓ△ＡＯＤ與Ｓ△ＢＯＣ相似， ∵ＡＤ＝１，ＢＣ＝３ ∴Ｓ△ＡＯＤ︰Ｓ△ＢＯＣ=１︰９ 5．（2017·四川中考真題）如圖，四邊

60、形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ） A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． 【答案】A 【解析】 根據(jù)位似變換的性質，可知，然后根據(jù)相似圖形的面積比等于相似比的平方，可知其面積比為4:9. 故選：A. 6．（2019·廣西中考真題）如圖，ΔABC與ΔA'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A2,2???,???B3,4，C6,1?，B'6,8則ΔA'B'C'的面積為__． 【答案】18． 【詳解】 ∵ΔABC與ΔA'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形， 若點??B3,4，B'6,8， ∴位似比為：36=12， ∵A2,2???，C6,1?， ∴A'4,4???,???C'12,2， ∴ΔA'B'C'的面積為：6×8-12×2×4-12×6×6-12×2×8=18， 故答案為：18． 40