烏魯木齊高級中學培訓題.doc

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烏魯木齊市高級中學數(shù)學競賽培訓題51、設無窮數(shù)列 的各項都是正數(shù), 是它的前 項之和, 對于任意正整數(shù) , 與 2 的等差中項等于 與 2 的等比中項, 則該數(shù)列的通項公式為 2、已知平面上兩個點集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是 3、設，若，則實數(shù)的取值范圍為 4、方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為 5、設，其中為實數(shù)，若，則 . 6、設適合等式則的值域是 。7、設是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足 ，則= 8、對有n(n4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體和 (m是給定的正整數(shù)，且2mn-2),再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則= ; 所有 (1ij的和等于 .9、的三條邊長為，證明.10、 若 N*) 個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2005, 求 的最小值, 并說明理由；11、已知點 是 的中線 上的一點, 直線 交邊 于點, 且 是 的外接圓的切線, 設 , 試求 (用 表示).12、已知整數(shù)滿足及，求的最大值.烏魯木齊市高級中學數(shù)學競賽培訓題5參考答案1、解：由題意知 ， 即 . 由 得 , 從而 . 又由 式得 , 于是有 ,整理得 . 因 , 故 所以數(shù)列 是以 為首項、 為公差的等差數(shù)列，其通項公式為 ，即 . 故填 N*)2、解：由題意知 是以原點為焦點、直線 為準線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖)考察 時, 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，當 時, 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當 時, 因此, 綜合 與 可知，當 ，即 時, 故填 .3、因有兩個實根， ，故等價于且，即且，解之得4、若，則解得或若，則由得 由得 將代入得 由得，代入化簡得.易知無有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或5、由題意知，由得，因此，因此6、解：由將換為，有,兩式消去得.7、解法一： 由題設條件知 ，因此有，故解法二：令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以8、08湖南理科15題 第二空可分:當 時, ;當 時, ;當時, ;所以9、證明：由于只要證：注意：故由，只要證，取等號當且僅當此時為正三角形，即10、解： (1) 因為 , ，故 .因為 ，所以存在 ， 使 若 ，因 , 則最大的正方體邊長只能為 或 ，計算，而 與 均不是完全立方數(shù), 所以 不可能是 的最小值. 若 ，設此三個正方體中最大一個的棱長為 , 由 , 知最大的正方體棱長只能為 、 或 . 由于 , , , 所以 .由于 , , , , 所以 .由于 , , , 所以 .由于 , , 所以 . 因此 不可能是 的最小值.綜上所述， 才是 的最小值. 11、證明：在 中，由Menelaus定理得因為 ，所以 6分由 ，知 ，則所以， 即 因此， 又 ， 故 12、解： 若，則，若，由，得.因為 ，于是，若滿足條件；則也滿足條件.由于，可從出發(fā)，并降得到（1，1），反之亦成立，即由（1，1）出發(fā)，利用可得到滿足的全部解.即（1,1）（1，2）（2，3）（3，5）（5，8）（8，13）（13，21）（21，34）（34，55）（55，89）（89，144）（144，233）（233，377）（377，610）（987，1597）因此，所求的最大值為9872+15972=3524578