點(diǎn)積叉積課件

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1、點(diǎn)積叉積PPT課件五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222xyz),(zyxr 設(shè)r ),(111zyxA得兩點(diǎn)間的距離公式得兩點(diǎn)間的距離公式:212121(,)xx yy zz212212212)()()(zzyyxx對兩點(diǎn)對兩點(diǎn)與與, ),(222zyxBBABAAB 例例6. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))5,0,4(A和和, )3, 1 ,7(B求求114)2,1,3(142,141,143.BABABABA=點(diǎn)積叉積PPT課件oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn)

2、任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ba,的夾角的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作記作),(ba點(diǎn)積叉積PPT課件oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì)方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos思考：思考：若若

3、, , 是向量是向量與三坐標(biāo)與三坐標(biāo)面面的夾角，的夾角，222coscoscos?3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影(7.2中簡單介紹中簡單介紹)點(diǎn)積叉積PPT課件例例7. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM點(diǎn)積叉積PPT課件例例8. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知已知作業(yè)作業(yè) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 1

4、9角依次為角依次為,43求點(diǎn)求點(diǎn) A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,43則則222coscos1cos41因點(diǎn)因點(diǎn) A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn)故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO點(diǎn)積叉積PPT課件一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積8.2 數(shù)量積 向量積 *混合積 第七七章 簡單介紹定義簡單介紹定義及計(jì)算及計(jì)算.點(diǎn)積叉積PPT課件1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積W1. 定義定義 設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,

5、稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點(diǎn)積點(diǎn)積) .在物理學(xué)中在物理學(xué)中, FcossF2Mbacosba的與為baba,sFs點(diǎn)積叉積PPT課件,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作記作故故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零向量為兩個(gè)非零向量,則有則有baj rPcosbbabaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba|cosa bPrjaababxxabyyabzzab=xxyyzza ba ba b點(diǎn)積叉積PPT課件記作記作2. 性質(zhì)性質(zhì)(1)Prjxacosaaxa向量在數(shù)軸上的投影向量在數(shù)軸上的投影(簡介簡介)x同理可定義向量在y, z軸上的投

6、影軸上的投影P()xrj abPPxxrj arj b(2)P()xrjaPxrj a點(diǎn)積叉積PPT課件3. 點(diǎn)積的運(yùn)算律點(diǎn)積的運(yùn)算律(1) 交換律交換律(2) 結(jié)合律結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事實(shí)上事實(shí)上, 當(dāng)當(dāng)0c時(shí)時(shí), 顯然成立顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac點(diǎn)積叉積PPT課件ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則則co

7、s2222abbac如圖如圖 . 設(shè)設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,點(diǎn)積叉積PPT課件4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示!設(shè)設(shè)則則, 10zzyyxxbababa當(dāng)當(dāng)為非零向量時(shí)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得得點(diǎn)積叉積PPT課件)(MB, )(MA BM例例2. 已知三點(diǎn)

8、已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則則AMBcos10022213AMB求求MBMAMA MB故故點(diǎn)積叉積PPT課件為為 ) .求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度流體密度例例3. 設(shè)均勻流速為設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為的流體流過一個(gè)面積為 A 的平的平面域面域 ,與該平面域的單位垂直向量與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積單位時(shí)間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為的夾角為且且vvncosvcosvnv vnn為單位向量為單位向量平

9、面域平面域曲面域曲面域且曲面上每一點(diǎn)處的流速是且曲面上每一點(diǎn)處的流速是非均勻的非均勻的(大小方向均變化大小方向均變化)?在第在第10章我們也能解決章我們也能解決,這就是數(shù)學(xué)的魅力這就是數(shù)學(xué)的魅力.點(diǎn)積叉積PPT課件二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) , 有一個(gè)與杠桿夾角為有一個(gè)與杠桿夾角為OLP符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則FsinOPOPFMOPM M矩是一個(gè)向量矩是一個(gè)向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點(diǎn)上點(diǎn)上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM Q點(diǎn)積叉積PPT課件1. 定義定義定義定義向量向量方

10、向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,ac bc csinabbac稱稱c的與為向量babacba引例中的力矩引例中的力矩FOPM右圖三角形面積右圖三角形面積abba21S點(diǎn)積叉積PPT課件2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 則則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律(證明略證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:(交換律不成立交換律不成立!)xxbayyabzzab點(diǎn)積叉

11、積PPT課件)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式!設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk點(diǎn)積叉積PPT課件向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxk

12、bjbibbzyx( 行列式計(jì)算見附錄行列式計(jì)算見附錄1 P339) 點(diǎn)積叉積PPT課件例例4. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積 解解: 如圖所示如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三點(diǎn)積叉積PPT課件*三、向量的混合積三、向量的混合積(簡介簡介)1. 定義定義 已知三向量已知三向量稱數(shù)量稱數(shù)量混合積混合積 .記作記作cba)(cba,cba的為cba,xyzxyzxyzaaabbbccc點(diǎn)積叉積PPT課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1.

13、 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba點(diǎn)積叉積PPT課件混合積混合積:2. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa()0abca b c0ba點(diǎn)積叉積PPT課件思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦 .)3,

14、1, 1 (1cos,| |2 3a bab |11sin12| |a bab 答案答案:ba,1baba,2jibkjia,baba及|6,|2ab點(diǎn)積叉積PPT課件 作業(yè)作業(yè) P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)7.5點(diǎn)積叉積PPT課件22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量已知向量的夾角的夾角且且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba點(diǎn)積叉積PPT課件2 P337 題題1 (4)(5)為單位向量為單位向量,且且解解(4), ,a b c

15、 0abc則則a bb cc a ()0abcaa ab ac a ()0abcba bb bc b ()0abcca cb cc c 三式相加得三式相加得:a bb cc a 3.2 (4)向量向量3,4,5.abc0a b c 則則abbcca (5)已知已知且且()0abcab aca (5)=( ).=( ).caa bb ca b 同理同理則原式則原式=33sina ba b 3 3 4 1 =36.3236點(diǎn)積叉積PPT課件3. 證證:,PBa 在線段在線段AB的一側(cè)有一動(dòng)點(diǎn)的一側(cè)有一動(dòng)點(diǎn)P,以以PB,PA為邊向外做正方為邊向外做正方形形PBCD和和PAEF,M為為D,E的中點(diǎn)的中

16、點(diǎn)(如圖如圖).證明證明:(1) PMAB;(2) PM= AB.12ABCDPEFM設(shè)設(shè).APb 垂直屏幕向外的單位向量為垂直屏幕向外的單位向量為. i,PDia .PEib 12PMPDPE 12iaib 12()iab12iAB 所以所以PMAB;且且PM= AB.12點(diǎn)積叉積PPT課件備用題備用題. 證明證明(1)任意任意三角形三角形ABC的三條中線可構(gòu)成的三條中線可構(gòu)成 1 ;BCA0abcBE 證證: :(1)設(shè)設(shè)ABC三邊的中點(diǎn)分別為三邊的中點(diǎn)分別為D,E,F(D,E,F(如圖如圖) )FD DE(2) (2) 1 的三條中線構(gòu)成的的三條中線構(gòu)成的 三角形三角形2與與 ABC 相

17、似相似, 并求相似比并求相似比記記,BCa ,CAb.ABc 則則三條中線三條中線a 12CFbc b 12ADca c 0abc 所以三條中線可構(gòu)成三角形所以三條中線可構(gòu)成三角形,記為記為1 bac12ab點(diǎn)積叉積PPT課件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12aab (2) (2) 1 的三條中線構(gòu)成的的三條中線構(gòu)成的 三角形三角形2與與 ABC 相似相似, 并求相似比并求相似比(2)1三條中線三條中線12bbc 12cca 111222()()abbc111222()()bcca111222()()caab14abc34c 14bca34a 14c ab 34b所以所以2與與 ABC 相似相似, 且相似比為且相似比為 12aab12bbc12cca 34