2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題33 圖形的相似（含解析）

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1、 考點(diǎn)三十三：圖形的相似 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 1、比和比例的有關(guān)概念： （1）表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例式，簡(jiǎn)稱比例. （2）第四比例項(xiàng)：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例項(xiàng). （3）比例中項(xiàng)：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中項(xiàng). （4）黃金分割：把一條線段（AB）分割成兩條線段，使其中較長(zhǎng)線段（AC）是原線段AB與較短線段（BC）的比例線段，就叫作把這條線段黃金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè). 2.比例的基本性質(zhì)及定理 （1） （2） （3） 3.平行線分線段成比例定理 (1)三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)

2、線段成比例. (2)平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例； (3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊； (4)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例． 4.相似三角形. 相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形 相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做兩個(gè)相似三角形的相似比． 5．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似； (

3、2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； (3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似； (4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似； (5)兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似． 6．相似三角形性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方． 7．相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例． (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方． 8．位似圖形 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不

4、僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形．這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心． (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比． 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、比例的基本性質(zhì)、黃金分割 【例1】已知，則的值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題分析：先設(shè)出b=5k，得出a=13k，再把a(bǔ)，b的值代入即可求出答案． 試題解析：令a，b分別等于13k和5k， ∴； 故選D． 考點(diǎn)：比例的性質(zhì)． 【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形． 【舉一反三】 （安徽省宣城市第六

5、中學(xué)等三校2017屆九年級(jí)下學(xué)期第一次聯(lián)考）寬與長(zhǎng)的比是（約為0．618）的矩形叫做黃金矩形。我們可以用這樣的方法畫(huà)出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF；以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G；作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則圖中下列矩形是黃金矩形的是（ ） A. 矩形ABFE B. 矩形DCGH C. 矩形EFGH D. 矩形EFCD 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則CD=2，CF=1，在Rt△CDF中，DF== ，∴FG=，∴CG=-1，∴= ，∴矩形DCGH為黃金矩形，故選B. 考點(diǎn)典例二、三角形相似的性質(zhì)

6、及判定 【例2】（江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣射陽(yáng)湖鎮(zhèn)天平初級(jí)中學(xué)2016屆九年級(jí)下學(xué)期二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求證：△ABD∽△DCB； （2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）10. 【解析】試題分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因?yàn)椤螦=∠BDC，所以可以證明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得： ，將已知線段長(zhǎng)度代入即可求出BD. 試題解析： 解：（1）∵AD//BC， ∴∠ADB=∠DBC， 又∵∠A=∠BDC， ∴ △ABD∽△D

7、CB； （2）由（1）得△ABD∽△DCB， ∴， 即 ， ∴BD=10. 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力． 【舉一反三】 （2017哈爾濱第9題）如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)． 考點(diǎn)典例三、相似三角形綜合問(wèn)題 【例3】（2017遼寧大連第25題）如圖1，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，，. （1）填空：與的數(shù)量關(guān)系為

8、 ； （2）求的值； （3）將沿翻折，得到（如圖2），連接，與相交于點(diǎn).若，求的長(zhǎng). 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1. 【解析】 試題分析：（1）在△ABD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論：∠BAD+∠ACB=180°； （2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，設(shè)AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解決問(wèn)題； （3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．想辦法證明△PA′D∽△PBC，

9、可得，可得，即，由此即可解決問(wèn)題； 試題解析：（1）如圖1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案為∠BAD+∠ACB=180°． （3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴P

10、C=1． 考點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)；解一元二次方程；三角形的內(nèi)角和定理. 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程；三角形的內(nèi)角和定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用． 【舉一反三】 （2017湖南株洲第25題）如圖示AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點(diǎn)D． ①求證：CE∥BF； ②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知OC⊥AB）． 【答案】①證明見(jiàn)解析；②△BCD的面積為：2． 【解析】 試題分析：①連接AC，BE，由等腰三角形的性質(zhì)

11、和三角形的外角性質(zhì)得出∠F=∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結(jié)論； ②證明△ADE∽△CBE，得出，證明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面積． 試題解析：①證明：連接AC，BE，作直線OC，如圖所示： ∵BE=EF， ∴∠F=∠EBF； ∵∠AEB=∠EBF+∠F， ∴∠F=∠AEB， ∵C是的中點(diǎn)，∴， ∴∠AEC=∠BEC， ∵∠AEB=∠AEC+∠BEC， ∴∠AEC=∠AEB， ∴∠AEC=∠F，

12、∴CE∥BF； ②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴，即， ∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， ∴，即， ∴CB=2， ∴AD=6， ∴AB=8， ∵點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)， ∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4， ∴CG==2， ∴△BCD的面積=BD?CG=×2×2=2． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)；勾股定理. 考點(diǎn)典例四、相似多邊形與位似圖形 【例4】（2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點(diǎn)是，，則 . 【答案

13、】 【解析】 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 考點(diǎn)：位似變換． 【點(diǎn)睛】本題考查了位似的作圖，熟練掌握位似作圖的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017黑龍江綏化第6題）如圖， 是在點(diǎn)為位似中心經(jīng)過(guò)位似變換得到的，若的面積與的面積比是，則為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 考點(diǎn)：位似變換． 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 1. （2017重慶A卷第8題）若△ABC～△DEF，相似比為3：2，則對(duì)應(yīng)高的比為（　?。? A

14、．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9 【答案】A． 【解析】 試題解析：∵△ABC～△DEF，相似比為3：2， ∴對(duì)應(yīng)高的比為：3：2． 故選A． 考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì). 2. （2016山東東營(yíng)第8題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（―3，6）、B（―9，一3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( ) A．（―1，2）　　　　　　　　　　 B．（―9，18）　　　 C．（―9，18）或（9，―18）　　　　D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D. 【解析】 試題分析：方法一：∵△ABO和△A′B

15、′O關(guān)于原點(diǎn)位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵點(diǎn)A（―3，6）且相似比為，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（―3×，6×），∴A′（－1,2）. ∵點(diǎn)A′′和點(diǎn)A′（－1,2）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴A′′（1,―2）. 故答案選D. 考點(diǎn)：位似變換. 3. （2017年海南省定安縣中考數(shù)學(xué)仿真）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的長(zhǎng)是（　?。? A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 2.8 【答案】

16、C 4. （湖南省邵陽(yáng)縣黃亭市鎮(zhèn)中學(xué)2017~2018學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）期末）如圖，∠1=∠2=∠3，則下列結(jié)論不正確的是（　?。? A. △DEC∽△ABC B. △ADE∽△BEA C. △ACE∽△BEA D. △ACE∽△BCA 【答案】C 5. （2017年甘肅省蘭州市七里河區(qū)楊家橋?qū)W校中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為（　?。? A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】由題意得

17、：DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∵∠C=∠DEA， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB, ∴=, ∵A′為CE的中點(diǎn)， ∴C A′=E A′， ∴C A′=E A′=AE， ∴==， ∴DE=1. 故選D. 6. （陜西省西安鐵一中2017屆九年級(jí)下學(xué)期模擬）如圖所示，在平行四邊形中， 與相交于點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵為的中點(diǎn)， ∴DE=OD， ∵平行四邊形， ∴OD=BD， ∴DE=BD，即. ∴. ∵DF∥AB， ∴, ∵，

18、∴=. 故選． 7. （2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測(cè)量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階等高的臺(tái)階(米，三點(diǎn)共線)，把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)處，測(cè)得米，然后沿直線后退到點(diǎn)處，這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹?，測(cè)得米，小明身高米，則涼亭的高度約為( ) A.米 B.米 C.米 D.10米 【答案】A. 【解析】 試題解析：由題意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°， ∴△ACG∽△FEG， ∴ ∴ ∴AC=8， ∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米． 故選A． 點(diǎn)：相

19、似三角形的應(yīng)用． 8. （2017山東東營(yíng)）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正確的是（　 ?。? A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】試題分析：∵△BPC是等邊三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DC

20、F=30°， ∴BE=2AE；故①正確； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正確； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD與△PDB不會(huì)相似；故③錯(cuò)誤； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PHPC，故④正確； 故選C． 考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)，2

21、、等邊三角形的性質(zhì)，3、相似三角形的判定和性質(zhì) 9. （2016遼寧沈陽(yáng)第16題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN，ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．若△OMN是直角三角形，則DO的長(zhǎng)是　　　　　　． 【答案】或． 考點(diǎn)：三角形綜合題. 10. .（2017貴州六盤水）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F，若CD=5，BC=8，AE=2，則AF=____________________. 【答

22、案】 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG//AB， ∵平行四邊形中， ∴AB=CD=5，BC=AD=8，BO=DO， ∵OG//AB， ∴△ODG∽△BDA且相似比為1:2，△OFG∽△EFA， ∴OG=AB=2.5，AG=AD=4， ∴AF:FG=AE:OG=4：5， ∴AF=AG=， 故答案為： . 11. （2017黑龍江齊齊哈爾第17題）經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，，則的度數(shù)為

23、 ． 【答案】113°或92°． 【解析】 試題分析：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°， ∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD， ①當(dāng)AC=AD時(shí)，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°， ②當(dāng)DA=DC時(shí)，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°， 故答案為113°或92°． 考點(diǎn)：1.相似三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)． 12. （2017四川自貢第14題）在△ABC中，MN∥BC 分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，則M

24、N的長(zhǎng)為　?。? 【答案】1. 【解析】 試題解析：∵M(jìn)N∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴MN=1. 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì). 13. （2017山東煙臺(tái)第16題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1.與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 【答案】（﹣2，） 【解析】 試題解析：由題意得：△A′OB′與△AOB的相似比為2：3， 又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐標(biāo)是[3×，﹣2×]，即B′的坐標(biāo)是（﹣2，） 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 14. （2017年重慶市合川中學(xué)中

25、考數(shù)學(xué)模擬）如圖，?ABCD中，M、N是BD的三等分點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接EN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，以下結(jié)論： ①E為AB的中點(diǎn)； ②FC=4DF； ③S△ECF=； ④當(dāng)CE⊥BD時(shí)，△DFN是等腰三角形． 其中一定正確的是_____． 【答案】①③④ 【解析】M、N是BD的三等分點(diǎn), 由題意可得DN=NM=MB，△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME， ∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2, 又∵AB=DC, ∴可得DF：AB=1：4． ②錯(cuò)誤. , E為AB的中點(diǎn), ①正確. S△BEM= S△NEM =，S△FEC:

26、 S△BCE=3：2， S△ECF=, ③正確. 垂直平分線性質(zhì)有EB=EN,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)有∠ENB=∠EBN, 所以∠CDN=∠DNF, △DFN是等腰三角形. ④正確. 15.（江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣射陽(yáng)湖鎮(zhèn)天平初級(jí)中學(xué)2018屆九年級(jí)上學(xué)期第二次月考）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE∥CD交CA延長(zhǎng)線于E 求證： （1）；（2） 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析. 【解析】試題分析: (1)通過(guò)AD∥BC可得. (2)根據(jù)BE∥CD可得，從而可證得答案． 試題解析: (1) ∵BC∥AD ∴△AOD∽△C

27、OB ∴ (2) ∵BE∥CD ∴△BOE∽△DOC ∴ ∴ ∴ 16. （2017湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF． ①求證：△DAE≌△DCF； ②求證：△ABG∽△CFG． 【答案】①.證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)直角相等，利用SAS即可得證；②由第一問(wèn)的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到∠BAG=∠BCF，再由對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證． ②延長(zhǎng)BA到M

28、，交ED于點(diǎn)M， ∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF， ∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF， ∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG． 考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 17．（2017湖南常德第26題）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F． （1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE； （2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD

29、于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析． 試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵BA=BD，BE=BE，∴△ABE≌△DBE； （2）①過(guò)G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC； ②過(guò)C作CN⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=A

30、G，∴，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；和差倍分． 18.（2017青海西寧第26題）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn). （1）求證：； （2）若，求的長(zhǎng). 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BF=. 【解析】 試題分析：（1）連接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中點(diǎn)，由O是AB中點(diǎn)知OD∥AC，根據(jù)OD⊥DE可得； （2）證△ODF∽△AEF，根據(jù)相似的性質(zhì)即可得答案． 試題解析： （1）連接OD、AD， ∵DE切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥DE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴D是BC的中點(diǎn)， 又∵O是AB中點(diǎn)，∴OD∥AC，∴DE⊥AC； 考點(diǎn)： 1.切線的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)． 24