2018年中考數(shù)學考點總動員系列 專題28 直角三角形（含解析）

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1、 考點二十八：直角三角形 聚焦考點☆溫習理解 一、直角三角形 1.定義 有一個角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性質(zhì) （1）直角三角形兩銳角互余. （2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； （3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半. 3.判定 （1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 二、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三

2、條邊a、b、c有關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形. 三、直角三角形全等的判定： 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）： 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”） 四、解直角三角形 解直角三角形的常用關系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，則： (1)三邊關系：a2＋b2＝c2； (2)兩銳角關系：∠A＋∠B＝90°； (3)邊與角關系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝； (4)sin2A＋cos2A＝1 名師點睛☆典例分類

3、考點典例一、直角三角形的判定 【例1】（2017-2018學年山東省諸城市桃林鎮(zhèn)桃林初中期末模擬）下列條件不能判定一個三角形為直角三角形的是（ ） A. 三個內(nèi)角之比為1：2：3 B. 一邊上的中線等于該邊的一半 C. 三邊為 、 、 D. 三邊長為m2+n2、m2﹣n2、2mn（m≠0，n≠0） 【答案】C 【舉一反三】 （2017年廣西防城港市防城區(qū)扶隆中學中考數(shù)學模擬）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有 （多選、錯選不得分）． ①∠A+∠B=90°

4、 ②AB2=AC2+BC2 ③ ④CD2=AD?BD． 【答案】①②④． 【解析】試題解析：①∵三角形內(nèi)角和是180°，由①知∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形．故選項①正確． ②AB，AC，BC分別為△ABC三個邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確． ③題目所給的比例線段不是△ACB和△CDB的對應邊，且夾角不相等，無法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯誤； ④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，

5、 又∵CD2=AD?BD，（即 ） ∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90° △ABC是直角三角形 ∴故選項④正確； 故答案為：①②④． 考點典例二、直角三角形的性質(zhì) 【例2】（2017江蘇無錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（　?。? A．2 B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3， ∴BC==5，

6、 ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB=， ∵?BC?AH=?AB?AC， ∴AH=， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形， ∵?AD?BO=?BD?AH， ∴OB=， ∴BE=2OB=， 在Rt△BCE中，EC= . 故選D． 考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理． 【舉一反三】 （2017湖南株洲第11題）如圖示在△ABC中∠B=　?。? 【答案】25°. 【解析】 試題分析：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°； 故答案為：25°． 考點：直角三角

7、形的性質(zhì)． 考點典例三、直角三角形斜邊上的中線 【例3】（2017遼寧大連第8題）如圖，在中，，，垂足為，點是的中點，，則的長為（ ） A． B． C. D． 【答案】B. 考點：直角三角形斜邊上的中線. 【點睛】本題主要考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 【舉一反三】 （2016四川達州第9題）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（　?。? A．2 B．3 C．4

8、 D．5 【答案】B. 考點：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 考點典例四、解直角三角形 【例4】（2017浙江嘉興第15題）如圖，把個邊長為1的正方形拼接成一排，求得，，，計算 ，……按此規(guī)律，寫出 （用含的代數(shù)式表示）． 【答案】，. 【解析】 試題解析：作CH⊥BA4于H， 由勾股定理得，BA4=，A4C=， △BA4C的面積=4-2-=， ∴××CH=， 解得，CH=， 則A4H==， ∴tan∠BA4C==， 1=12-1+1， 3=22-2+1， 7=32-3+1， ∴tan

9、∠BAnC=. 考點：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì)． 【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性質(zhì).． 【舉一反三】 （廣東省廣州市越秀區(qū)2016年中考數(shù)學一模）如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE，若BE=5，BC=6，則sinC=___． 【答案】 【解析】∵DE是BC的垂直平分線，∴CE=BE=5，CD=BD=3，∠CDE=90°， ∴DE==4，∴sinC==， 故答案為： ． 課時作業(yè)☆能力提升 一、選擇題 1. （重慶市秀山縣2017-2018學年八年級上學期八校聯(lián)考）如圖， 中， ，則AB長

10、為 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4， 故選C． 2. （浙江省金華市第五中學2017-2018學年八年級上冊期末模擬）在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,則BD的長為（ ）. A. 3 B. 4 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì),結合已知∠ACB=90°,∠A=30°，得∠ABC=60°,BC=2,；再由含30°角的直角三角形可得BD是BC的一半為1. 故選：C. 3

11、. （浙江省寧波市李興貴中學2017-2018學年八年級上冊期末模擬）直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上高為h，則下列各式總能成立的是（ ） A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 【答案】D 【解析】根據(jù)直角三角形的面積可以導出：斜邊c=． 再結合勾股定理：a2+b2=c2． 進行等量代換，得a2+b2=，兩邊同除以a2b2， 得． 故選D． 4. （華師大版九年級數(shù)學下冊：2018年中考模擬）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由

12、圖獲得（單位：尺），則井深為（ ） A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺 【答案】B 【解析】依題意有△ABF∽△ADE， ∴AB:AD=BF:DE， 即5:AD=0.4:5， 解得AD=62.5， BD=AD?AB=62.5?5=57.5尺。 故選：B. 5. （2017廣西百色第10題）如圖，在距離鐵軌200米處的處，觀察由南寧開往百色的“和諧號”動車，當動車車頭在處時，恰好位于處的北偏東方向上，10秒鐘后，動車車頭到達處，恰好位于處西北方向上，則這時段動車的平均速度是（ ）米/秒. A．

13、 B． C. 200 D．300 【答案】A 【解析】 考點：1.解直角三角形的應用﹣方向角問題；2.勾股定理的應用． 二、填空題 6. （2017湖南常德第14題）如圖，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是線段AE上的一動點，過D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，則CD長度的取值范圍是 ． 【答案】0≤CD≤5． 【解析】 試題分析：當點D與點E重合時，CD=0，當點D與點A重合時，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=C

14、B，∴CD=BE=5，∴0≤CD≤5，故答案為：0≤CD≤5． 考點：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線． 7. （山東省平邑縣陽光中學2018屆九年級一輪復習）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，則CF=______． 【答案】 【解析】試題解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴ 又∵AB∥DC， ∴ . 又∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 . 又∵ ∠ B=∠D，所以 ， . 由題，AF=4，AE=6， 則根據(jù)勾股定理，易得 ， ， ∴ . 所以本題的正確答案為 . 8.

15、在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，則BC= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案為：． 考點：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理． 9.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點B落在AC邊上的點B′處，則BE的長為 ． 【答案】． 【解析】 考點：1. 折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應用. 10. （2017江蘇無錫第18題）在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都

16、是相同的正方形，A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于　 　． 【答案】3. 【解析】 試題解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如圖所示， 則∠BO′D′=∠BOD， ∴tan∠BOD=tan∠BO′D′， 設每個小正方形的邊長為a， 則O′B=，O′D′=，BD′=3a， 作BE⊥O′D′于點E， 則BE=， ∴O′E=， ∴tanBO′E=， ∴tan∠BOD=3. 考點：解直角三角形． 11. （2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長為2 的等腰直角三角形各邊中點得到第1個小三角形，再順次連接所得的小三角形

17、各邊中點得到第2個小三角形，如此操作下去，則第個小三角形的面積為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：記原來三角形的面積為s，第一個小三角形的面積為s1，第二個小三角形的面積為s2，…， ∵s1= ?s= ?s， s2=?s=?s， s3=?s， …… ∴sn=?s=??2?2=. 考點：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形． 三、解答題 12. （2017黑龍江齊齊哈爾第23題）如圖，在中，于，，，，分別是，的中點． （1）求證：，； （2）連接，若，求的長．　 【答案】（1）證明見解析；（2）EF=5 ． 【解析】 試題分析：（1

18、）證明△BDG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明； （2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出DE、DF，根據(jù)勾股定理計算即可． 試題解析：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中， ， ∴△BDG≌△ADC，∴BG=AC，∠BGD=∠C， ∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點，∴DE=BG=EG，DF=AC=AF， ∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，∴∠EDG+∠FDA=90°，∴DE⊥DF； （2）∵AC=10，∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF= =5 ． 考點：1.全等三角形的判定與性

19、質(zhì)；2.勾股定理． 13. （2017遼寧大連第24題）如圖，在中，，，點分別在上（點與點不重合），且.將繞點逆時針旋轉得到.當?shù)男边叀⒅苯沁吪c分別相交于點（點與點不重合）時，設. （1）求證：； （2）求關于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明； （2）分兩種情形①如圖1中，當C′E′與AB相交于Q時，即時，過P作MN∥DC′，設∠B=α．②當DC′交AB于Q時，即時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可； 試題解析：（1）證明：如圖1中，

20、 ∵∠EDE′=∠C=90°，∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠ADP=∠DEC． （2）解：如圖1中，當C′E′與AB相交于Q時，即時，過P作MN∥DC′，設∠B=α ∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形， ∴PM=PQ?cosα=y，PN=×（3﹣x）， ∴（3﹣x）+y=x，∴， 當DC′交AB于Q時，即時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形， ∴PN=DM， ∵DM=（3﹣x），PN=PQ?sinα=y， ∴（3﹣x）=y，∴． 綜上所述， 考點：旋轉的性質(zhì)；函數(shù)關系式；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形. 14.如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F. （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長. 【答案】（1）30°；（2）4. 【解析】 考點：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3.含30度角的直角三角形的性質(zhì)． 17