2018年中考數學考點總動員系列 專題40 與圓有關的位置關系（含解析）

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1、 考點四十：與圓有關的位置關系 聚焦考點☆溫習理解 一、點和圓的位置關系 設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有： dr點P在⊙O外。 二、直線與圓的位置關系 直線和圓有三種位置關系，具體如下： （1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點； （2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線， （3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。 如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么： 直線l與⊙O相交 ＜====＞ d<

2、r； 直線l與⊙O相切 ＜====＞ d=r； 直線l與⊙O相離 ＜====＞ d>r； 切線的判定和性質 ： （1）、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 （2）、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。如右圖中，OD垂直于切線。 切線長定理 ： （1）、切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點 到圓的切線長。 （2）、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點 的連線平分兩條切線的夾角。 （3）、圓內接四邊形性質（四點共圓的判定條件）圓內接四邊形對角互補。 (

3、4)、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。如圖圓O是△A＇B＇C＇的內切圓。三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。 三、圓和圓的位置關系 1、圓和圓的位置關系 如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。 如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內切兩種。 如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。 2、圓心距 兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。 3、圓和圓位置關系的性質與判定 設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么 兩圓外離d>R+r 兩圓外切d=R

4、+r 兩圓相交R-rr） 兩圓內含dr） 4、兩圓相切、相交的重要性質 如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。 名師點睛☆典例分類 考點典例一、直線與圓的位置關系 【例1】（2017廣西百色第11題）以坐標原點為圓心，作半徑為2的圓，若直線與相交，則的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 則若直線y=﹣x+b與⊙O相交，則b的取值范圍是﹣2＜b＜2．

5、故選D 考點：1.直線與圓的位置關系；2.一次函數圖象與系數的關系． 【點睛】考查了直線與圓的位置關系和一次函數的圖象與性質，解題的關鍵是了解直線與圓的位置關系與d與r的數量關系． 【舉一反三】 在平面直角坐標系中，直線經過點A（－3，0），點B（0，），點P的坐標為（1，0），與軸相切于點O，若將⊙P沿軸向左平移，平移后得到（點P的對應點為點P′），當⊙P′與直線相交時，橫坐標為整數的點P′共有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 【答案】C． 【解析】 考點典例二、切線的性質及判定 【例2

6、】（2017廣西貴港第24題）如圖，在菱形中，點在對角線上，且，是的外接圓. （1）求證：是的切線； （2）若求的半徑. 【答案】(1)證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析：（1）連結OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據菱形的性質得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切； （2）連結BD，交AC于點F，根據菱形的性質得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC=，得到DF=

7、2，根據勾股定理得到AD==2，求得AE=，設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，根據勾股定理列方程即可得到結論． 試題解析：（1）連結OP、OA，OP交AD于E，如圖， ∵PA=PD， ∴弧AP=弧DP， ∴OP⊥AD，AE=DE， ∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB， ∴直線AB與⊙O相切； （2）連結BD，交AC于點F，如圖， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴DB與AC互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC=

8、， ∴AF=4，tan∠DAC==， ∴DF=2， ∴AD==2， ∴AE=， 在Rt△PAE中，tan∠1==， ∴PE=， 設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R， 在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2， ∴R2=（R﹣）2+（）2， ∴R=， 即⊙O的半徑為． 考點：切線的判定與性質；菱形的性質；解直角三角形． 【點晴】本題考查了圓的有關性質的綜合應用，靈活運用知識解決問題是本題的解題關鍵． 【舉一反三】 （2017江蘇徐州第16題）如圖，與⊙相切于點，線段與弦垂直，垂足為，則 ． 【答案】60°． 【解析】 試題解析

9、：∵OA⊥BC，BC=2， ∴根據垂徑定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=． ∴∠A=30°． ∵AB與⊙O相切于點B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 考點：切線的性質. 考點典例三、圓和圓的位置關系 【例3】如圖，當半徑分別是5和r的兩圓⊙O1和⊙O2外切時，它們的圓心距O1O2=8，則⊙O2的半徑r為（　?。? 　 A． 12 B． 8 C． 5 D． 3 【答案】D． 【解析】 試題分析：根據兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和，得該圓的半徑是8-5=3． 故選D． 考點：圓與圓的

10、位置關系． 【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系.注意：兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和. 【舉一反三】 如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，則∠ACO2的度數為（ ） A．60° B．45° C．30° D．20° 【答案】C． 【解析】 試題分析：如答圖，連接O1O2，AO2， ∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C， ∴AO1=AO2=O1O2. ∴△AO1O2是等邊三角形. ∴∠AO1O2=

11、60°. ∴∠ACO2的度數為30°． 故選C． 課時作業(yè)☆能力提升 一．選擇題 1．（2016湖南湘西州第18題）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以點C為圓心，以2.5cm為半徑畫圓，則⊙C與直線AB的位置關系是（　?。? A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定　 【答案】A． 考點：直線與圓的位置關系． 2. （2017浙江寧波第9題）如圖，在中，，，以的中點為圓心分別與，相切于，兩點，則的長為( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題解析：如圖，連接OD，OE ∵AC

12、，AB是圓O的切線 ∴OE⊥AC，OD⊥AB ∵O是BC的中點 ∴點E，點D分別是AC，AB的中點 ∴OE=AB，OD= AC ∵OE=OD ∴AC=AB ∵BC=2 由勾股定理得AB=2 ∴OE=1 的弧長==. 故選B. 3. （2017貴州如故經9題）如圖，⊙O的直徑AB=4，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，OC=5，則AD的長為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題解析：連接BD． ∵AB是直徑，∴∠ADB=90°． ∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC． ∵BC切⊙O于點B，∴OB⊥

13、BC， ∴cos∠BOC=， ∴cos∠A=cos∠BOC=． 又∵cos∠A=，AB=4， ∴AD=． 故選B． 4. （2017江蘇無錫第9題）如圖，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，則⊙O的半徑長等于（　　） A．5 B．6 C．2 D．3 【答案】C. 【解析】 試題解析：如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E． ∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320， ∴AB?DH=32O， ∴DH=16， 在Rt△ADH中，AH==12， ∴HB=AB﹣AH=8， 在R

14、t△BDH中，BD=， 設⊙O與AB相切于F，連接AF． ∵AD=AB，OA平分∠DAB， ∴AE⊥BD， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°， ∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°， ∴△AOF∽△DBH， ∴， ∴， ∴OF=2． 故選C． 考點：1.切線的性質；2.菱形的性質． 5.已知兩圓半徑分別為3、5，圓心距為8，則這兩圓的位置關系為（ ） A. 外離 B. 內含 C. 相交 D. 外切 【答案】D. 【解析】 考點：圓與圓的位置關系． 6. （2017四川自貢第10題

15、）AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C；連接BC，若∠P=40°，則∠B等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】B. 【解析】 試題解析：∵PA切⊙O于點A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=40°， ∴∠POA=90°﹣40°=50°， ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO=25°， 故選B． 考點：切線的性質. 7. （2016貴州遵義第12題）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內切圓，則PQ的長是（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

16、【答案】B． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD為矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半徑相等． 在Rt△BC中，AB=4，BC=3，∴AC==5，∴⊙P的半徑r===1． 連接點P、Q，過點Q作QE∥BC，過點P作PE∥AB交QE于點E，則∠QEP=90°，如圖所示． 在Rt△QEP中，QE=BC﹣2r=3﹣2=1，EP=AB﹣2r=4﹣2=2，∴PQ===．故選B． 考點：三角形的內切圓與內心；矩形的性質． 二．填空題 8. （2016湖南永州第20題）如圖，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d．我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個

17、數記為m．如d=0時，l為經過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知： （1）當d=3時，m=　　　　　??； （2）當m=2時，d的取值范圍是　　　　　?。? 【答案】（1）1；（2）0＜d＜3． 【解析】 試題分析：（1）當d=3時，因3＞2，即d＞r，直線與圓相離，則m=1，；（2）當m=2時，則圓上到直線l的距離等于1的點的個數記為2，可得直線與圓相交或相切或相離，所以0＜d＜3，即d的取值范圍是0＜d＜3. 考點：直線與圓的位置關系． 9. （2017浙江衢州第15題）如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（-1，0），半徑為1

18、，點P為直線上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是__________ 【答案】． 【解析】 試題解析：連接AP，PQ， 當AP最小時，PQ最小， ∴當AP⊥直線y=﹣x+3時，PQ最小， ∵A的坐標為（﹣1，0），y=﹣x+3可化為3x+4y﹣12=0， ∴AP==3， ∴PQ=． 考點：1.切線的性質；2.一次函數的性質. 10. （2017黑龍江齊齊哈爾第15題）如圖，是的切線，切點為，是的直徑，交于點，連接，若，則的度數為 ． 【答案】80° 【解析】 試題分析：∵AC是⊙O的切線，∴∠C=90°，∵∠A=

19、50°，∴∠B=40°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=40°， ∴∠COD=2×40°=80° 考點：切線的性質． 11. （2017上海第17題）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以點A、B為圓心畫圓．如果點C在⊙A內，點B在⊙A外，且⊙B與⊙A內切，那么⊙B的半徑長r的取值范圍是　 ?。? 【答案】8＜r＜10 【解析】 試題分析：如圖1，當C在⊙A上，⊙B與⊙A內切時， ⊙A的半徑為：AC=AD=4， ⊙B的半徑為：r=AB+AD=5+3=8； 如圖2，當B在⊙A上，⊙B與⊙A內切時， ⊙A的半徑為：AB=AD=5， ⊙B的半徑

20、為：r=2AB=10； ∴⊙B的半徑長r的取值范圍是：8＜r＜10． 故答案為：8＜r＜10． 考點：1.圓與圓的位置關系；2.點與圓的位置關系；3.勾股定理. 三、解答題 12. （2017浙江衢州第19題）如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D。連結OD，作BE⊥CD于點E，交半圓O于點F。已知CE=12，BE=9 （1）求證：△COD∽△CBE； （2）求半圓O的半徑的長 【答案】（1）證明見解析；（2） 【解析】 試題分析： 試題解析： （1）∵CD切半圓O于點D， ∴CD⊥OD， ∴∠CDO=90°， ∵BE⊥CD， ∴

21、∠E=90°=∠CDO， 又∵∠C=∠C， ∴△COD∽△CBE． 考點：1. 切線的性質；2.相似三角形的判定與性質. 13. （2017山東德州第20題）如圖，已知RtΔABC,∠C=90°，D為BC的中點.以AC為直徑的圓O交AB于點E. （1）求證：DE是圓O的切線. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的長. 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】： 試題分析：利用思路：知（連）半徑，證垂直，證明DE是圓O的切線；利用射影定理或相似三角形證明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的長. 試題解析：(1)如圖所示，連接OE，CE ∵AC

22、是圓O的直徑 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中點 ∴ED＝BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圓O上的一點 ∴DE是圓O的切線. （2）由（1）知∠BEC=90° 在RtΔBEC與RtΔBCA中，∠B為公共角， ∴ΔBEC∽ΔBCA ∴ 即BC2=BE×BA ∵AE:EB=1：2，設AE=x，則BE＝2x，BA=3x. 又∵BC=6 ∴62=2x×3x ∴x=,即AE=. 考點：圓切線判定定理及相似三角形 14

23、. （2017甘肅慶陽第27題）如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點C． （1）若點A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求點B的坐標； （2）若D為線段NB的中點，求證：直線CD是⊙M的切線． 【答案】(1) B（，2）．(2)證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解決問題； （2）連接MC，NC．只要證明∠MCD=90°即可 試題解析：（1）∵A的坐標為（0，6），N（0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB=， ∴B（，2）．

24、 ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD． ∴直線CD是⊙M的切線． 考點：切線的判定；坐標與圖形性質． 15. （2017江蘇鹽城第25題）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G． （1）求證：BC是⊙F的切線； （2）若點A、D的坐標分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑； （3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論． 【答案】（1）證明見解析；（2）⊙F的半徑為；（3）AG=AD+2CD．證明見解析. 試題解析：（1）連接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切線； （2）連接FD， 設⊙F的半徑為r， 則r2=（r-1）2+22， 解得，r=，即⊙F的半徑為； 考點：圓的綜合題． 23