高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第八章 平面向量講義

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1、 第八章 平面向量 一、基礎(chǔ)知識(shí) 定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來(lái)表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a. |a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。 定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。 定理1 向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。 定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)

2、數(shù)0，使得a=f 定理3 平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。 定義3 向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標(biāo)。 定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。 定理4 平

3、面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c， 3．a(chǎn)·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0. 定義5 若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，則 定義6 設(shè)F是

4、坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個(gè)單位得到圖形，這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn)，平移到上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。 定理5 對(duì)于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【證明】 因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均

5、可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡(jiǎn)即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡(jiǎn)即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2）對(duì)于任意n個(gè)向量，a1, a2, …,a

6、n，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、方向與例題 1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。 例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證： 【證明】 記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以 例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是 【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AD至P，使DP=GD，則 又因?yàn)锽C與GP互相平分， 所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以 所以 充分性。若，延長(zhǎng)AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則因?yàn)?，則，所以GBCP，所以AG

7、平分BC。 同理BG平分CA。 所以G為重心。 例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。 因?yàn)椋? 所以 =· = ① 又因?yàn)? 同理 ， ② ， ③ 由①，②，③可得 。得證。 2．證利用定理2證明共線。 例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。 【證明】 首先 = 其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE 又AHBC，所以AH//CE。 又EA

8、AB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。 所以 所以， 所以， 所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。 所以O(shè)G：GH=1：2。 3．利用數(shù)量積證明垂直。 例5 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab. 【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab. 例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OECD。 【證明】 設(shè)， 則， 又， 所以 a·(b-c). （因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因?yàn)锳B=A

9、C，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。 所以a·(b-c)=0. 所以O(shè)ECD。 4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。 例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。 【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則=(x, y-1), ，因?yàn)?，所?x-(y-1)=0. 又因?yàn)?，所以x2+y2=2. 由①，②解得 所以 設(shè)，則。由和共線得 所以，即F， 所以=4+，所以AF=AE。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．

10、以下命題中正確的是__________. ①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影為-4。 2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①；②；③ ；④與，相等的有__________. 3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________. 4．設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若|sa

11、+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________. 5．已知a, b不共線，=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________條件. 6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________. 7．已知不共線，點(diǎn)C分所成的比為2，，則__________. 8．已知=b, a·b=|a-b|=2，當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為__________. 9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1, -1), 若，c·b=4，則b的坐標(biāo)為______

12、____. 10．將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為__________. 11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問(wèn)與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。 12．在四邊形ABCD中，，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________心。 2．在△ABC中，，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________. 3．非零向量，若點(diǎn)B關(guān)于所在直線對(duì)

13、稱的點(diǎn)為B1，則=__________. 4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且，則△ABC 的形狀為__________. 5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC 內(nèi)部，且，則△AOB與△AOC的面積比為__________. 6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC 的__________心. 7．已知，則||的取值范圍是__________. 8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________. 9．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則的最小值為__________. 10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3

14、, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________. 11．設(shè)G為△ABO的重心，過(guò)G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T， （1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。 12．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。 （1）試問(wèn)點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 為與的夾角，求tan. 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p, q滿足

15、時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為___________. 2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a, b, c. O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=___________（用a, b, c, x, y, z表示）. 3．已知平面上三個(gè)向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________. 4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有___________個(gè). 5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點(diǎn)，則取值的集合是_______

16、____. 6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinB·+sinC·，則點(diǎn)O為△ABC 的___________心. 7．對(duì)于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________條件. 8．在△ABC 中，，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC 三邊長(zhǎng)之比|a|：|b|：|c|=____________. 9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，CP交AB于D，求證： 10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2

17、）H為△O1O2O3的外心。 11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個(gè)單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定， （1）對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y； （2）對(duì)于V的任意向量x，計(jì)算T[T(x)]-x； （3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a. 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)，為另一定比，試問(wèn)M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。 2．已

18、知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r. 3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。 4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。 5．是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？ 6．已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這

19、里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個(gè)不是銳角。 7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N，求證：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。 8．平面上兩個(gè)正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過(guò)平面上一點(diǎn)O作，求證△ABC為正三角形。 9．在平面上給出和為的向量a, b, c, d，任何兩個(gè)不共線，求證： |a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|. 高考資源網(wǎng)() 來(lái)源：高考資源網(wǎng) 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )