高中數(shù)學競賽教材講義 第六章 三角函數(shù)講義

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1、 第六章 三角函數(shù) 一、基礎知識 定義1 角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。 定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|α|=,其中r是圓的半徑。 定義3 三角函數(shù)，在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦

2、函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=，余切函數(shù)cotα=，正割函數(shù)secα=,余割函數(shù)cscα= 定理1 同角三角函數(shù)的基本關系式，倒數(shù)關系：tanα=,sinα=，cosα=；商數(shù)關系：tanα=；乘積關系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 誘導公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=

3、-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇變偶不變，符號看象限）。 定理3 正弦函數(shù)的性質，根據(jù)圖象可得y=sinx（x∈R）的性質如下。單調區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù). 有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時, y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.

4、 定理4 余弦函數(shù)的性質，根據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質。單調區(qū)間：在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π]上單調遞減，在區(qū)間[2kπ-π, 2kπ]上單調遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2kπ時，y取最大值1；當且僅當x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z. 定理5 正切函數(shù)的性質：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xkπ+)在開區(qū)間(kπ-, kπ+)上為增函數(shù), 最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。 定理6 兩角和與差的基本關系式：c

5、os(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 定理7 和差化積與積化和差公式: sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos, cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 定理8 倍角公式:sin2α=2sinαc

6、osα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 定理9 半角公式:sin=,cos=, tan== 定理10 萬能公式: , , 定理11 輔助角公式：如果a, b是實數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a, b)的一個角為β，則sinβ=,cosβ=，對任意的角α. asinα+bcosα=sin(α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中

7、a,b,c分別是角A，B，C的對邊。 定理14 圖象之間的關系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。 定義4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsin

8、x(x∈[-1, 1])，函數(shù)y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k

9、∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 定理16 若，則sinx-1，所以cos， 所以sin(cosx) ≤0,又00，

10、 所以cos(sinx)>sin(cosx). 若，則因為sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<， 所以0cos(-cosx)=sin(cosx). 綜上，當x∈(0,π)時，總有cos(sinx)0，求證： 【證明】 若α+β>，則x>0，由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1， 所以 若α+β<，則x<0，由0<α<-β<得cosα

11、>cos(-β)=sinβ>0, 所以>1。又01， 所以，得證。 注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。 3．最小正周期的確定。 例4 求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函數(shù)的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當且僅當x=kπ+時，y=0（因為|2cosx|≤2<π）, 所以若最小正周期為T0，則T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。 4．三角最值問題

12、。 例5 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。 【解法一】 令sinx=, 則有y= 因為，所以， 所以≤1， 所以當，即x=2kπ-(k∈Z)時，ymin=0， 當，即x=2kπ+(k∈Z)時，ymax=2. 【解法二】 因為y=sinx+, =2（因為(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2， 所以當=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時, ymax=2， 當=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)時, ymin=0。 例6 設0<<π，求sin的最大值。 【解】因為0<<π，所以，所以sin>0,

13、cos>0. 所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤= 當且僅當2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。 例7 若A，B，C為△ABC三個內角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因為sinA+sinB=2sincos, ① sinC+sin, ② 又因為，③ 由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin, 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=, 當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=. 注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤1、

14、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調性等是解三角最值的常用手段。 5．換元法的使用。 例8 求的值域。 【解】 設t=sinx+cosx= 因為 所以 又因為t2=1+2sinxcosx, 所以sinxcosx=，所以， 所以 因為t-1，所以，所以y-1. 所以函數(shù)值域為 例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求證：an>. 【證明】 由題設an>0，令an=tanan, an∈，則 an= 因為，an∈，所以an=，所以an= 又因為a0=tana1=1，所以a0=，所以·。 又因為當0

15、>x，所以 注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。 另外當x∈時，有tanx>x>sinx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數(shù)后，證明是很容易的。 6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A, , >0). 由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。 例10 例10 已知f(x)=si

16、n(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點對稱，且在區(qū)間上是單調函數(shù)，求和的值。 【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。 又0≤≤π，解得=， 因為f(x)圖象關于對稱，所以=0。 取x=0，得=0，所以sin 所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z). 又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)； 取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)； 取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調函數(shù)

17、， 綜上，=或2。 7．三角公式的應用。 例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。 【解】 因為α-β∈，所以cos(α-β)=- 又因為α+β∈，所以cos(α+β)= 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=, cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例12 已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值。 【解】 因為A=12

18、00-C，所以cos=cos(600-C)， 又由于 =， 所以=0。 解得或。 又>0，所以。 例13 求證：tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 三、基礎訓練題 1．已知銳角x的終邊上一點A的坐標為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為___________。 2．適合-2cscx的角的集合為___________。 3．給出下列命題：（1）若αβ，則sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,則αβ；（3）若sinα>0，則α為第一或第二象限角；（4）若α為第一或第二象限角，則sinα>0. 上

19、述四個命題中，正確的命題有__________個。 4．已知sinx+cosx=(x∈(0, π))，則cotx=___________。 5．簡諧振動x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動是x=___________。 6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第________象限角。 7．滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個。 8．已知，則=___________。 9．=___________。 10．cot15cos25cot

20、35cot85=___________。 11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求cosβ的值。 12．已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調遞減，試求實數(shù)m的取值范圍。 四、高考水平訓練題 1．已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當扇形面積最大時，a=__________. 2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調遞減區(qū)間是__________. 3. 函數(shù)的值域為__________. 4. 方程=0的實根個數(shù)為__________. 5. 若sina+cosa=tana, a，則__________a（填大

21、小關系）. 6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. 7. 若0

22、)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的單調區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當x在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、聯(lián)賽一試水平訓練題（一） 1．若x, y∈R，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是____________. 2．已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數(shù)k的取值范圍是____________. 3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為____________. 4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩

23、實根α，β，則α+β=____________. 5．函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調遞增區(qū)間是____________. 6．設sina>0>cosa, 且sin>cos，則的取值范圍是____________. 7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________個解. 8．若x, y∈R, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________. 9．若0<<, m∈N+, 比較大?。?2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1. 10．cot70+4cos70=____________.

24、11. 在方程組中消去x, y，求出關于a, b, c的關系式。 12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 13．關于x, y的方程組有唯一一組解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。 14．求滿足等式sinxy=sinx+siny的所有實數(shù)對（x, y）, x, y. 聯(lián)賽一試水平訓練題（二） 1．在平面直角坐標系中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________. 2．若，則y

25、=tan-tan+cos的最大值是__________. 3．在△ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，則=__________. 4．設f(x)=x2-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 將f(α), f(β), f(γ), f(δ)從小到大排列為__________. 5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為__________. 6．在銳角△ABC中，cosA=cosαs

26、inβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，則tanα·tanβ·tanγ=__________. 7．已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(0<<π)，且對任何x∈R, f(x)=sin·x2+·x+cos≥0，則此矩形面積的取值范圍是__________. 8．在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________. 9．已知當x∈[0, 1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，則的取值范圍是__________. 10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+

27、 cos2y+ cos2z=__________. 11．已知a1, a2, …,an是n個實常數(shù)，考慮關于x的函數(shù)：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +…+cos(an+x)。求證：若實數(shù)x1, x2滿足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù)m，使得x2-x1=mπ. 12．在△ABC中，已知，求證：此三角形中有一個內角為。 13．求證：對任意自然數(shù)n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求證：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+s

28、iny>0①（w∈R）. 2. 已知a為銳角，n≥2, n∈N+，求證：≥2n-2+1. 3. 設x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…滿足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證：2m，求證：對一切x都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|. 7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 8．求的有的實數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一項均為負數(shù)。 9．已知i，tan1tan2…tann=2, n∈N+, 若對任意一組滿足上述條件的 1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。 高考資源網(wǎng)() 來源：高考資源網(wǎng) 版權所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )