2017《-整式乘除與因式分解》知識點歸納總結

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1、《整式乘除與因式分解》知識點歸納總結 一、冪的運算： 1、同底數冪的乘法法則： a m a n a m n （ m, n 都是正整數） 同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。 如： (a b) 2 (a b) 3 (a b)5 2、冪的乘方法則： (a m )n a mn （ m, n 都是正整數） 冪的乘方，底數不變，指數相乘。如： ( 35 ) 2 310 冪的乘方法則可以逆用：即 a mn (a m ) n (a n ) m 如： 46 (4 2 ) 3 (43 ) 2 3、積的乘

2、方法則： (ab) n a nb n （ n 是正整數）。積的乘方，等于各因數乘方的積。 如：（  2x 3 y 2 z)5 =( 2)5  (x3 )5  ( y 2 ) 5  z5  32x15 y10z5 4、同底數冪的除法法則： a m  an  a m n （ a  0, m, n 都是正整數，且 m  n) 同底數冪相除，底數不變，指數相減。 如： (ab) 4 ( ab) (ab )3 a 3b 3 5、零指數； a 0 1，即

3、任何不等于零的數的零次方等于 1。 二、單項式、多項式的乘法運算： 6、單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含 有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。如： 2x 2 y 3 z 3xy 。 7、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加， 即 m(a b c) ma mb mc ( m, a, b, c 都 是 單 項 式 ) 。 如 ： 2x(2x 3y) 3y( x y)

4、 = 。 8、多項式與多項式相乘，用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積 相加。 9、平方差公式： (a b)( a b) a 2 b 2 注意平方差公式展開只有兩項 公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互 為相反數。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。 如：( x y z)( x y z) = 10、完全平方公式：( a b) 2 a 2 2ab b2 完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾 2 倍中間放，符號和前一個樣。 公式的變形使用：（ 1）a 2 b2

5、 (a b) 2 2ab (a b) 2 2 ab ；(a b) 2 (a b)2 4ab ( a b) 2 [ ( a b)] 2 (a b) 2 ；( a b) 2 [ (a b)] 2 (a b) 2 （2）三項式的完全平方公式： (a b c)2 a 2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 11、單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于 只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 注意：首先確定結果的系數（即系數相除），然后同底數冪相除，如

6、果只在被除式里含有 的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 如： 7a2 b4 m 49a 2 b 12、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單 項式，在把所的的商相加。即： ( am bm cm) m am m bm m cm m a b c 三、因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）會找多項式中的公因式；公因式的構成一般情況下有三部分：①系數一各項系數的最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數； （2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二

7、步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項． （3）注意點： ①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”； ②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的系數是正的． 2、公式法 運用公式法分解因式的實質是：把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式： 2 2 ①平方差公式： a －b ＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a 2－2ab＋b2＝（a－b）2 3、十字相乘法 . （一）二次

8、項系數為 1 的二次三項式 直接利用公式—— x2 ( p q) x pq ( x p)( x q) 進行分解。 特點：（ 1）二次項系數是 1； （2）常數項是兩個數的乘積； （3）一次項系數是常數項的兩因數的和。 思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？ 例 1. 已知 0＜ a ≤5，且 a 為整數，若 2x2 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符 合條件的 a . 解析：凡是能十字相乘的二次三項 一個完全平方數。 于是 9 8a 為完全平方數， a 1  式 ax2+bx+c，都要求 

9、 b2  4ac  >0  而且是 例 2、分解因式： x 2 5x 6 分析：將 6 分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于 5。 由于 6=2× 3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現只有 2×3 的分 解適合，即 2+3=5。 1 2 解： x2 5x 6 = x2 ( 2 3) x 2 3 1 3 = ( x 2)( x 3) 1× 2+1×3=5 用此方法進行分解

10、的關鍵： 將常數項分解成兩個因數的積， 且這兩個因數的代數和要等于一次項的系數。 例 3、分解因式： x 2 7x 6 解：原式 = x 2 [( 1) ( 6)]x ( 1)( 6) 1 -1 = ( x 1)( x 6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7 練習 1、分解因式 (1) x 2 14 x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x 2 4x 5 （二）二次項系數不為 1 的二次三項式—— ax 2 bx c 條件：（

11、1） a a1a2 a1 c1 （2） c c1c2 a2 c2 （3） b a1c2 a2 c1 b a1c2 a2 c1 分解結果： ax 2 bx c = (a1 x c1 )( a2 x c2 ) 例 4、分解因式： 3x 2 11x 10 分析： 1 -2 3 -5 （ -6）+（-5）= -11 解： 3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5) 練習 3、分解因式：（ 1） 5x2 7x 6 （2） 3x 2 7x 2 （三）

12、二次項系數為 1 的齊次多項式 例 5、分解因式： a 2 8ab 128b2 分析：將 b 看成常數，把原多項式看成關于 a 的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： a2 8ab 128b2 = a2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b) = (a 8b)(a 16b) 練習 4、分解因式 (1) x 2 3xy 2y 2 (2) m2 6mn 8n2 (3) a 2 ab 6b2 （四）二次項系數不為 1 的齊次多項式 例 9、

13、 2x 2 7xy 6 y2 例 10、 x 2 y 2 3xy 2 1 -2y 把 xy 看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 = (x 2 y)(2x 3 y) 解：原式 = ( xy 1)( xy 2) 練習 9、分解因式：（ 1）15x 2 7xy 4 y2 （2） a 2 x 2 6ax 8 綜合練習 5、（ 1） 8x6 7x 3 1 （ ）12 x2 11xy 15 y 2

14、 2 （3） ( x y) 2 3( x y) 10 （ ） (a b) 2 4a 4b 3 4 （5） x2 y 2 5x 2 y 6x 2 （6） m2 4mn 4n 2 3m 6n 2 （7） x2 4xy 4 y 2 2x 4y 3 （ ） 5(a b)2 23( a 2 b2 ) 10( a b)2 8 3 、在數學學習過程中，學會利用整體思考問題的數學思想方法和實際運用意識。如：對于任意自然數 n，(n 7

15、) 2 (n 5) 2 都能被動 24 整除。 1．若 2am 2 n b7 a5b n 2m 2 的運算結果是 3a5 b7 ，則 m n 的值是（ ） A ．-2 B．2C．-3 D ．3 2．若 a 為整數，則 a 2 a 一定能被（ ）整除 A ．2 B ．3 C ．4 D．5 3．若 x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則 m 的值等于 ( ) A.3 B.-5 C.7. D.7 或-1 4．如圖，矩形花園 ABCD 中，AB= a

16、 ，AD= b ，花園中建有一條矩形道路 LMQP 及一條 平行四邊形道路 RSTK，若 LM=RS= c ， 則花園中可綠化部 分的面積為（ ） A． bc ab ac b2 B． a 2 ab bc ac C． ab bc ac c2 D． b2 bc a 2 ab 5．分解因式： a2 1 b 2 2ab __________________________. 6．下表為楊輝三角系數表的一部分，它的作用是指導讀者按規(guī)律寫出形如 a b n （ n 為正整數）展開式的系數，請你仔細觀察下表中的規(guī)律，填出 a b n 展開式中所缺的系數。

17、 a b a b a b  a b 2 2 2ab b2 a 3 3a 2b 3ab2 b 3 a3 則 a b 4 a 4 ____ a3 b ____ a2 b 2 _____ ab3 b4 7. 3x(7-x)=18-x(3x-15)； 8. (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1). 9. x m 3, xn 2 ，求 x3 m 2n 、 x 3m 2n 的值 10．探索題： ( x 1)( x 1） x 2 1 ( x 1)( x 2 x 1) x3 1 (x 1)(x3 x 2 x 1) x4 1 ( x 1)( x 4 x3 x2 x 1) x 5 1 ．．．．．． ①試求 26 25 24 23 22 2 1 的值 ②判斷 2 2008 22007 22006 22 2 1的值的個位數是幾？