高中數(shù)學 向量數(shù)量積的物理背景與定義課件 新人教B版必修4

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1、復習回顧復習回顧x1 + x2y1 + y2x1 - x2y1 - y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 則向量則向量a+b=（ ， ）向量向量a-b=（ ， ）向量向量a=（ ， ）2、若已知點、若已知點A(x1,y1) ， B(x2,y2) 則向量則向量AB=（ ， ） x2 x1 y2- y1 3、向量、向量a、b（b0）共線的充要）共線的充要 條件是什么？條件是什么？ a =b若若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，則共線的充，則共線的充要條件是什么？要條件是什么？x1 y2 - x2 y1=0如果一個物體在力F作用下產(chǎn)生位移S，那么F所

2、做的功為:表示力F的方向與位移S的方向的夾角。位移SOAFFSW=FW=FS SCOSCOS一一.力做功的計算力做功的計算二二.兩個向量的夾角兩個向量的夾角baOAOB已知兩個非零向量已知兩個非零向量a、b， =a， = b.則則AOB稱作向量稱作向量a和向量和向量b的夾角的夾角,記作記作.并規(guī)定并規(guī)定0 BOA（1）求兩向量的夾角，應保證兩個向量有公共起點，若沒有，須平移使它們有公共起點共起點；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）a ，b=b ，a；（3）范圍0a ，b；（4）a ，b=0時, a、b同向；a ，b=時，a、b反向；a ，b= 90時， a b.（5）規(guī)定：在討論垂

3、直問題時，零向量與任意向量垂直零向量與任意向量垂直.幾點說明如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與AC的夾角； （2）AB與BC的夾角。ABC 通過平移通過平移變成共起點！變成共起點！12060C練習練習1 1三三.向量在軸上的正射影向量在軸上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和軸和軸l，作，作 =a，過點，過點O，A分別作軸分別作軸l的垂線，垂足分別為的垂線，垂足分別為O1，A1，則，則向量向量 叫做向量叫做向量a在軸在軸l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A（2）正射影的數(shù)量：）正射影的數(shù)量：cosla a 向量向量a的正射影在軸的正射影在軸l上的坐標，稱作上的坐標，稱

4、作a在在軸軸l上的數(shù)量或在軸上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量方向上的數(shù)量.記作：記作： al向量向量a的方向與軸的方向與軸l的正方向所成的角為的正方向所成的角為，則有則有 1. a在軸l上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量是一個數(shù)量，不是向量.2. 當為銳角時，數(shù)量為正值；3. 當為鈍角時，數(shù)量為負值；4. 當為直角時，數(shù)量為0；5. 當 = 0時，數(shù)量為 |a|；6. 當 = 180時，數(shù)量為 |a|. 幾點說明alxlOA2O1A1alaa例1.已知軸l（1）.向量OA=5, OA, l=60,求OA在l上的正射影的數(shù)量OA1（2）.向量OB=5, OB,l =120,求OB在l上的正射影的數(shù)量OB1

5、(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,=600,則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5( )=5/2-5/2四四.向量的數(shù)量積（內(nèi)積）向量的數(shù)量積（內(nèi)積） 定義：定義： 叫做向量叫做向量a和和b的數(shù)量的數(shù)量積（或內(nèi)積）積（或內(nèi)積）記作：記作：ab .即即 ab = cos,a ba bcos,a ba bab BAO cos baba cos|b1數(shù)量積數(shù)量積a b等于等于a的長度與的長度與b在在a方向上正方向上正射影的數(shù)量射影的數(shù)量|b|cos 的乘積的乘積.幾點說明2兩個向量的兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)數(shù)量積是一個實數(shù)，符號由，符號由cos

6、a，b的符號所決定；而數(shù)乘向量是的符號所決定；而數(shù)乘向量是一個向量。一個向量。OABab 1BOABab )(1B為銳角時，為銳角時，| b | cos0為鈍角時，為鈍角時，| b | cos0為直角時，為直角時，| b | cos=0BOAab 1B量的數(shù)量積為03.規(guī)定零向量與任意向00a4. a b不能寫成不能寫成ab ，ab 表示向量的另一種運算表示向量的另一種運算兩個向量的數(shù)量積的性質：設設a、b為兩個非零向量，為兩個非零向量，e是與是與b的單位向量的單位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或aaa |4. cos

7、 = ；|baba5.|a b| |a|.|b| .內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的條件用于計算向量的模用于計算向量的模用于計算向量的夾角用于計算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀以及判斷三角形的形狀例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解： a b =|a|b|cos =54cos120 = 10. 練習2 已知已知|a|，|b|，當，當ab，ab，a與與b的夾角是的夾角是60時，分別求時，分別求abab時，時， ab =18；ab時，時，ab=0； a與與b的夾角是的夾角是60時，時，ab=9. ,1:平行且方向相同與因為解BCAD.0的夾

8、角為與BCAD91330cosBCADBCAD180的夾角是與CDAB16144180cosCDABCDAB120的夾角是與DAAB62134120cosDAABDAAB120例3、 BCADDABADABABCD.1:,60, 3, 4,求已知中在平行四邊形如圖 CDAB.2 DAAB.3BACD60且方向相反平行與,2CDAB,.603的夾角是與ADAB練習練習3 3已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的數(shù)量及上的正射影的數(shù)量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的數(shù)量。數(shù)量。解：因為解：因為4cos| |5a bab 12|cos|5a

9、bab |cos4|a bba 所以所以a在在b方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是b在在a方向上的正射影的數(shù)量是方向上的正射影的數(shù)量是(1)的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 02A 銳角三角形銳角三角形C 鈍角三角形鈍角三角形D 不能確定不能確定B 直角三角形直角三角形D的的形形狀狀是是，則則中中，）在在（ABCBCABABC 03CA A 銳角三角形銳角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 鈍角三角形鈍角三角形D D 不能確定不能確定判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確1.若若a=0,則對任意向量則對任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,則對任意非零向量則對任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,則則b=0.4.若若ab=0，則，則a=0或或b=0.5.對任意的向量對任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,則則b=c.( )()( )()()()練習練習4 4課堂小結課堂小結1.兩個向量的夾角2.向量在軸上的正射影 正射影的數(shù)量cosla a3.向量的數(shù)量積（內(nèi)積） cos,a ba bab=4.兩個向量的數(shù)量積的性質：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或aaa |(3). cos =|baba范圍0a ，b；