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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,#,1,一、重點與難點,重點：,難點：,留數(shù)的計算與留數(shù)定理,留數(shù)定理在定積分計算上的應(yīng)用,2,二、內(nèi)容提要,留數(shù),計算方法,可去奇點,孤立奇點,極點,本性奇點,函數(shù)的零點與,極點的關(guān)系,對數(shù)留數(shù),留數(shù)定理,留數(shù)在定積,分上的應(yīng)用,輻角原理,路西原理,3,1,）,定義,如果,函數(shù),在,不解析,但,在,的某一去心鄰域,內(nèi)處處解析,則稱,為,的孤立奇點,.,1.,孤立奇點的概念與分類,孤立奇點,奇點,2,）,孤立奇點的分類,依據(jù),在其孤立奇點,的去心鄰域,內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類,:,i,),可去奇點,;,ii,
2、),極點,;,iii,),本性奇點,.,4,定義,如果洛朗級數(shù)中不含,的負冪項,那末,孤立奇點,稱為,的可去奇點,.,i,),可去奇點,5,ii,),極點,定義,如果洛朗級數(shù)中只有有限多個,的,負冪項,其中關(guān)于,的最高冪為,即,級極點,.,那末孤立奇點,稱為函數(shù),的,或?qū)懗?6,極點的判定方法,在點 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析,且,的負冪項為有,的洛朗展開式中含有,限項,.,(a),由定義判別,(b),由定義的等價形式判別,(c),利用極限,判斷,.,7,如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個,那末孤立奇點,稱為,的本性奇點,.,的負冪項,注意,:,在本性奇點的鄰域內(nèi),不存在且不,為,iii,
3、),本性奇點,8,i,),零點的定義,不恒等于零的解析函數(shù),如果,能表示成,其中,在,解析且,m,為某一正整數(shù),那末,稱為,的,m,級零點,.,3),函數(shù)的零點與極點的關(guān)系,ii,),零點與極點的關(guān)系,如果,是,的,m,級極點,那末,就是,的,m,級零點,.,反過來也成立,.,9,2.,留數(shù),記作,定義,如果,的一個孤立奇點,則沿,內(nèi)包含,的,任意一條簡單閉曲線,C,的積分,的值除,后所得的數(shù)稱為,以,10,1),留數(shù)定理,設(shè)函數(shù),在區(qū)域,D,內(nèi)除有限個孤,外處處解析,C,是,D,內(nèi)包圍諸奇,點的一條正向簡單閉曲線,那末,立奇點,留數(shù)定理將沿封閉曲線,C,積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù),在,C,內(nèi)各孤立
4、奇點處的留數(shù),.,11,(1),如果,為,的可去奇點,則,如果 為 的一級極點,那末,a),(2),如果,為,的本性奇點,則需將,成洛朗級數(shù)求,展開,(3),如果,為,的極點,則有如下計算規(guī)則,2),留數(shù)的計算方法,12,c),設(shè),及,在,如果,那末,為一級極點,且有,都解析，,如果 為 的 級極點,那末,b,),13,也可定義為,記作,1.,定義,設(shè)函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)解析,C,為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線,那末積分,值為,在,的留數(shù),.,的值與,C,無關(guān),則稱此定,3),無窮遠點的留數(shù),14,如果函數(shù),在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個,孤立奇點,那末,在所有各奇點,(,包括,點,),的留
5、數(shù)的總和必等于零,.,定理,15,3.,留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用,1,）三角函數(shù)有理式的積分,當,歷經(jīng)變程,時,z,沿單位圓周,的,正方向繞行一周,.,16,17,2,）無窮積分,18,3,）混合型無窮積分,19,特別地,20,4.,對數(shù)留數(shù),定義,具有下列形式的積分,:,內(nèi)零點的總個數(shù),P,為,f,(,z,),在,C,內(nèi)極點的總個數(shù),.,其中,N,為,f,(,z,),在,C,且,C,取正向,.,21,如果,f,(,z,),在簡單閉曲線,C,上與,C,內(nèi)解析,且在,C,上不等于零,那么,f,(,z,),在,C,內(nèi)零點的個數(shù),等于,乘以當,z,沿,C,的正向繞行一周,f,(,z,),的輻角的改變
6、量,.,輻角原理,路西定理,22,三、典型例題,解,23,解,24,25,例,2,求函數(shù) 的奇點，并確,定類型,.,解,是奇點,.,是二級極點,;,是三級極點,.,26,例,3,證明 是 的六級極點,.,證,27,例,4,求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù),.,解,(1),在 內(nèi),28,解,29,解,為奇點,當 時 為一級極點，,30,31,解,的一級極點為,32,例,5,計算積分,為一級極點，為七級極點,.,解,33,由留數(shù)定理得,34,例,6,解,在 內(nèi),35,36,解,例,7,計算,37,38,例,8,計算,解,令,39,極點為：,40,例,9,計算積分,解,極點為,其中,由留數(shù)定理，有,41,42,例,10,計算積分,解,在上半平面內(nèi)有一級極點,43,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,
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