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1、第41課 開放型問題 1常規(guī)題的結(jié)論往往是唯一確定的，而多數(shù)開放題的結(jié)論是不確定或不是唯一的，它是給學生有自由思考的余地和充分展示思想的廣闊空間2解決此類問題的方法，可以不拘形式，有時需要發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，有時需要盡可能多地找出解決問題的方法，有時則需要指出解題的思路等等要點梳理要點梳理1開放型問題的內(nèi)涵 所謂開放型問題是指已知條件、解題依據(jù)、解題方法、問題結(jié)論這四項要素中，缺少解題要素兩個或兩個以上，或者條件、結(jié)論有待探求、補充等 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2開放型問題是特殊的探求問題，它的特殊體現(xiàn)在： (1)探求性：即問題的本身沒有明確的題設(shè)或結(jié)論，需要考生自行判斷； (2)答案的
2、多樣性：即滿足要求的題設(shè)或結(jié)論有兩種或兩種以上可能情形； (3)過程的創(chuàng)新性：即解答問題時要突破習慣做法，注重創(chuàng)造能力的考查； (4)思維的發(fā)散性：即考察問題時要從多角度入手，全方位發(fā)掘問題的本質(zhì)3開放型問題的解題策略 開放型問題，解題時必須對結(jié)論作出正確的判斷，同時，不僅僅是結(jié)果的多樣，而且必須對結(jié)果進行合理分析，從而決定取舍這類難度較高的開放型問題，解決它要有扎實的基礎(chǔ)知識，良好的發(fā)散思維，要仔細審題，善于運用分析、聯(lián)想、類比、分類等數(shù)學思想和方法，并能具備創(chuàng)造性思維，能靈活地用創(chuàng)新意識解決問題1(2011呼和浩特)如果等腰三角形兩邊長是6 cm和3 cm，那么它的周長是() A9 cm
3、B12 cm C15 cm或12 cm D15 cm 解析：當三角形的三邊為6、6、3時，周長為66315； 當三角形三邊為6、3、3時，633，不能構(gòu)成三角形基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測D2(2010鐵嶺)若多項式x2mx4能用完全平方公式分解因式，則m的值可以是() A4 B4 C2 D4 解析：這個完全平方式可以是(x2)2或(x2)2，所以m4.D3(2011銅仁)已知 O1與 O2的半徑分別為6 cm、11 cm，當兩圓相切時，其圓心距d的值為() A0 cm B5 cm C17 cm D5 cm或17 cm 解析：當兩圓內(nèi)切時，d1165； 當兩圓外切時，d11617.D4(2011江西)已知
4、一次函數(shù)yxb的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是() A2 B1 C0 D2 解析：因為直線yxb經(jīng)過第一、二、三象限，b0，故選D.D5如圖，在平行四邊形 ABCD中(ABBC)，直線EF經(jīng)過其對角線的交點O，且分別交AD、BC于點M、N，交BA、DC的延長線于點E、F，下列結(jié)論：AOBO；OEOF; EAM EBN；EAO CNO，其中正確的是() A. B C D 解析：整個圖形是中心對稱圖形， 有OEOF； 又由ADBC， 得EAMEBN， 正結(jié)的結(jié)論是、.B題型一條件開放型【例 1】 已知四邊形ABCD，ABCD，要得出四邊形ABCD是平行四邊形的結(jié)論，還應(yīng)具備什么條件？解：
5、如圖，當ABCD時，只要具備下列條件之一，便得出四邊形ABCD是平行四邊形 (1)ADBC；(2)ABCD； (3)AC；(4)BD； (5)AB180； 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析探究提高 判斷一個四邊形是平行四邊的基本依據(jù)是：平行四邊形的定義及其判定定理，而本題告訴的四邊形已有一組對邊平行的條件，由此可以想到：兩組對邊分別平行；一組對邊平行且相等；一組對邊平行，一組對角相等，都能得到平行四邊形的結(jié)論知能遷移1(2011宜賓)如圖，飛機沿水平方向(A、B兩點所在直線)飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距
6、離(因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離)，請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求： (1)指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)； (2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟解：此題為開放題，答案不唯一，只要方案設(shè)計合理，可參照給分 (1)如圖，測出飛機在A處對山頂?shù)母┙菫?，測出飛機在B處對山頂?shù)母┙菫椋瑴y出AB的距離為d，連接AM、BM. (2)第一步，在RtAMN中， 第二步，在RtBMN中， 其中ANdBN，解得MN .tan MNAN，ANMNtan ； tan MNBN，BNMNtan ； dtan tan tan tan 題型二結(jié)論開放型【例 2】 如圖，AB是 O
7、的直徑， O過AC的中點D，DEBC，垂足為E. (1)由這些條件，你能推出“哪些正確結(jié)論”？(要求：不再標注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出4個結(jié)論即可) (2)若ABC是直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些別的正確結(jié)論，并畫出圖形 要求：寫出 6個結(jié)論即可，其他要 求同(1) 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：下列結(jié)論可供選擇：(1)DE是 O的切線； ABBC； AC； DE2BECE； CD2CECB； CCDE90； CE2DE2CD2.(2)若ABC為直角時， CEBE；DEBE；DECE； DEAB；CB是 O的切線；DE
8、 AB； ACDE45； CCDE45； CB2CDCA； AB2BC2AC2； 12 CDCACECBDEAB； CDDACEEB. 探究提高 尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的條件及其特點(尤其是運用特殊幾何圖形的判定和性質(zhì))：在幾何中諸如相等關(guān)系(如線段相等、角相等、兩角互余互補、弧相等、成比例線段、勾股弦關(guān)系等)，特殊圖形(如等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、等腰梯形等)，兩圖形的關(guān)系(如線段垂直、平行、三角形、全等、相似等)知能遷移2已知ABC內(nèi)接于 O. (1)當點O與AB有怎樣的位置關(guān)系時，ACB是直角？ (2)在滿足(1)的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有怎樣的關(guān)系時，
9、ABCACD? (3)畫出符合(1)、(2)題意的兩種圖形，使圖形的CD2 cm.解：(1)當點O在AB上(即O為AB的中點)時，ACB是直角 (2)ACB90， 當CDAB時，ABCCBDACD. (3)以AB為直徑作 O，在 O上取一點C，連結(jié)AC、BC， 得ABC即為所求； 作直徑為5 cm的 O，在直徑AB上取一點D， 使AD1 cm，BD4 cm， 過D點作CDAB交 O于點C，連接AC、BC即為所求題型三尋求開放型【例 3】 已知兩數(shù)4和8，試寫出第三個數(shù)，使三個數(shù)中，其中一個數(shù)是其余兩個數(shù)的比例中項，則第三個數(shù)是 (只需寫出一個) 解：設(shè)第三個數(shù)為x， 由x248，x232，可知
10、x4 ； 由428x,8x16，可知x2； 由824x,644x，可知x16； 故第三個數(shù)為4 或2或16.4 或或2或或162 2 2 知能遷移知能遷移3已知已知x2ax24在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則整在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則整 數(shù)數(shù)a的值是的值是 (只需填一個只需填一個)探究提高 由于題中沒有明確告知4、8以及所求的第三個數(shù)中，哪個數(shù)是另兩數(shù)的比例中項，因此，隱含著多種確定方法這是一種開放型試題，主要考查學生的發(fā)散思維能力23，10，5，2題型四存在開放型【例 4】 已知點A(1,2)和B(2,5)，試求出兩個二次函數(shù)，使它們的圖象都經(jīng)過A、B兩點 解：解法一：設(shè)拋物線yax2bxc
11、經(jīng)過點A(1,2)，B(2,5) 則 得3b3a3，即ab1. 設(shè)a2，則b1， 將a2，b1代入，得c1， 故所求的二次函數(shù)為y2x2x1. 又設(shè)a1，則b0， 將a1，b0代入，得c1， 故所求的另一個二次函數(shù)為yx21. 2abc，54a2bc， 解法二： 因為不在同一條直線上的三點確定一條拋物線，因此要確定一條拋物線，可以另外再取一點，不妨取C(0,0)， 則 解得 故所求的二次函數(shù)為y x2 x. 用同樣的方法可以求出另一個二次函數(shù) 2abc，54a2bc，c0， ab2，4a2b5， a32，b12，c0， 32 12 探究提高 本題也是一道開放型試題，解題入口寬，但如何用簡潔的方
12、法來做，這就體現(xiàn)了不同學生的思維層次，這是一道既考查基本方法又體現(xiàn)靈活性的題目知能遷移4已知一次函數(shù)yx4和反比例函數(shù)y (k0) (1)k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點？ (2)設(shè)(1)中的兩個交點為A、B，試問AOB是銳角還是鈍角？為什么？ 解：(1)解兩個函數(shù)關(guān)系式構(gòu)成的方程組， 由此可求得：k4且k0. (2)當0k4時，AOB90，是銳角； 當k90，是鈍角 yx4，ykx k0 ， 29忽視答案多樣性，造成漏解試題在五環(huán)圖案中，分別填寫五個數(shù)a、b、c、d、e，如圖， 其中a、b、c是三個連續(xù)偶數(shù)，abc，d、e是兩個連續(xù)奇數(shù)，de，且滿足abcde，
13、例如， 請你在0到20之間選擇另一組符合條件的數(shù)填入圖中：易錯警示易錯警示學生答案展示剖析(1)在0到20之間，符合條件的答案除題例外，還有兩組，因題目要求只畫一個圖，為了完整準確起見，兩組答案都應(yīng)寫出，用“或”字連接； (2)正確的解題方法可使答案完整無漏，例如此題中可采用二元一次方程不定解的方法來解答，設(shè)最小偶數(shù)為x、最小奇數(shù)為y，則三個連續(xù)偶數(shù)為x、x2、x4，兩個連續(xù)奇數(shù)為y、y2據(jù)題意，abcde，得xx2x4yy2, 3x62y2，整理得y x2，下面列表表示它的解： 符合條件的解有符合條件的解有 正解正解 或或批閱筆記批閱筆記 解答開放題，注意其答案不唯一，即答案的多樣性，滿足解
14、答開放題，注意其答案不唯一，即答案的多樣性，滿足要求的題設(shè)或結(jié)論有兩種或兩種以上的情形，不可漏解要求的題設(shè)或結(jié)論有兩種或兩種以上的情形，不可漏解. x24681012y5811141720方法與技巧 1. 條件開放型問題：從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個分析 2. 結(jié)論開放型問題：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，通過由因?qū)Ч?，順向推理或?lián)想類比、猜測等，從而獲得所求的結(jié)論思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 條件和結(jié)論都開放型：此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，需將已知的信息集中進行分析，探索問題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論，通過這一思維活動得出事物內(nèi)在聯(lián)系，從而把握事物的整體性和一般性 總之，對于開放型問題，需要通過觀察、比較、分析、綜合及猜想，展開發(fā)散性思維，充分運用已學過的數(shù)學知識和數(shù)學方法，經(jīng)過歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段，得出正確的結(jié)論失誤與防范 1一個開放題的條件可以不足，也可以多余條件不足時要求學生予以補充，條件多余時要求學生進行選擇 2解答開放題時，往往沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思維模式，從多個不同的角度思考問題，有時發(fā)現(xiàn)一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領(lǐng)域完成考點跟蹤訓練 41
中考數(shù)學復(fù)習 第九章探索型與開放型問題 第41課 開放型問題課件
