高中數(shù)學(xué)人教A版必修三 第三章 概率 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)20 含答案

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二十)　幾何概型 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯(cuò)誤的是(　　) A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關(guān) C．幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè) D．幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性 【解析】　幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A. 【答案】　A 2．在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為(　　) A.　 B．　　 C. D

2、． 【解析】　記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°. 當(dāng)OC在∠DOE內(nèi)時(shí)，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時(shí)的測(cè)度為度數(shù)30，所有基本事件的測(cè)度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝＝. 【答案】　A 3．在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為(　　) A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005 【解析】　設(shè)問題轉(zhuǎn)化為與體積有關(guān)的幾何概型求解，概率為＝0.005. 【答案】　D 4．在面積為S的△ABC的邊

3、AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是(　　) A. B． C. D． 【解析】　如右圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的， 所以事件“△PBC的面積大于”等價(jià)于事件“＞”． 即P＝＝. 【答案】　C 5．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B． C. D． 【解析】　由于滿足條件的點(diǎn)P發(fā)生的概率為，且點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圖形的對(duì)稱性當(dāng)點(diǎn)P在靠近點(diǎn)D的CD邊的分點(diǎn)時(shí)，EB＝AB(當(dāng)點(diǎn)P超過點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB＞AB)．設(shè)AB＝x，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于

4、點(diǎn)F，則BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝. 【答案】　D 二、填空題 6．如圖3-3-2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：28750064】 圖3-3-2 【解析】　記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事件A.構(gòu)成事件A的區(qū)域最大角度是60°，所有基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝. 【答案】　 7．如圖3-3-3，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)

5、，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為________． 圖3-3-3 【解析】　設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則此點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)運(yùn)動(dòng)的概率P＝＝. 【答案】　 8．小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 【解析】　記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝＝. 記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝－P(A)＝－＝. 故P(B)＝1－P(B)＝1－＝. 【答案】　 三、解答題 9．(1)在直角三角形ABC

6、中，∠A＝90°，AB＝AC，過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，求BM≤AB的概率； (2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在線段BC上取一點(diǎn)M，求BM≤AB的概率． 【解】　(1)記“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω，由于是過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)AB＝BM時(shí)，∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝＝＝. (2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝，設(shè)“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω， 則P(Ω)＝＝＝. 10．一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30 m，寬20 m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖

7、離岸邊不超過2 m的概率． 【解】　如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)30 m、寬20 m的長(zhǎng)方形．圖中的陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2 m”． 問題可化為求海豚嘴尖出現(xiàn)在陰影部分的概率． ∵S長(zhǎng)方形ABCD＝30×20＝600(m2)， S長(zhǎng)方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)， ∴S陰影部分＝S長(zhǎng)方形ABCD－S長(zhǎng)方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根據(jù)幾何概型的概率公式，得P(A)＝＝≈0.31. [能力提升] 1．(2016·南昌高一檢測(cè))面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的

8、概率為(　　) A.　　　　　　 B． C. D． 【解析】　向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝. 【答案】　B 2．已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形內(nèi)爬行，則此螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為(　　) A．1－ B．1－ C. D． 【解析】　設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，其面積為4.分別以A，B，C為圓心，1為半徑在△ABC中作扇形，除去三個(gè)扇形剩下的部分即表示螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的區(qū)域，其面積為4－3×××1＝4－，故所求概率P＝＝1－. 【答案】　B 3．假設(shè)你在如圖3-3-4所示的圖形

9、上隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分(等腰三角形)的概率是________． 圖3-3-4 【解析】　設(shè)A＝{黃豆落在陰影內(nèi)}，因?yàn)辄S豆落在圖中每一個(gè)位置是等可能的，因此P(A)＝，又△ABC為等腰直角三角形，設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝BC＝r，所以S△ABC＝AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝＝. 【答案】　 4．甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下： 圖3-3-5 甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖3-3-5所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇 形，且每個(gè)扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)． 乙商場(chǎng)

10、：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)． 問：購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？ 【解】　如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤的面積πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝. ∴在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P1＝＝. 如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3，3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種． 摸到的2球都是紅球的情況有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3種． ∴在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P2＝＝. ∵P1