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1、第12練數(shù)列的綜合問題中檔大題規(guī)范練明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；以an， Sn的關系為切入點，考查數(shù)列的通項、前n項和等；數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合應用；一般位于解答題的17題位置.2.題目難度：中等偏下難度.考點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項公式法.(3)通項公式法.1.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設知，anan1Sn1，
2、an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得數(shù)列a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；數(shù)列a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.2.已知數(shù)列an滿足a12，且an12an2n1，nN*.(1)設bn，證明：bn為等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；(2)在(1)的條件下，求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)把an2nbn代入到an12
3、an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，兩邊同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，bn為等差數(shù)列，首項b11，公差為1，bnn(nN*).(2)由bnn，得ann2n，Sn121222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12(nN*).3.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項a1，a2，a3；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出an的通項公式.解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1，2，3，得解得(2)由Sn2an(1)n(nN
4、*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，兩式相減，得an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，an(1)n2(n2).故數(shù)列是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列.an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n.考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關系求通項的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法.構造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構造等差數(shù)列；形如an1panq(pq0，且p1)，可轉(zhuǎn)化為an1p構造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯位相減法；裂項相
5、消法.4.已知數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn(nN*)，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知得1(n1)22n1，所以Sn2n2n.當n2時，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式，所以an4n3，nN*.(2)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當n為偶數(shù)時，Tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n；當n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上，Tn5.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列
6、，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若對于任意的nN*，都有8Tn225成立，求實數(shù)的取值范圍.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，由得即解得或當a1，d時，沒有意義，a12，d2，此時an22(n1)2n.(2)bn，Tnb1b2b3bn，8Tn322 010的n的最小值.解(1)當n1時，2a1S11a11，a11.2anSnn，nN*，2an1Sn1n1，n2，兩式相減，得an2an11，n2，即an12(an11)，n2，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1，nN*.(2)bn(2n1)an2n1(2n1)2n，Tn
7、32522(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n1，兩式相減可得Tn3222222322n(2n1)2n1，Tn(2n1)2n12，2 010可化為2n12 010.2101 024，2112 048，滿足不等式2 010的n的最小值為10.9.已知數(shù)列an中，a12，anan12n0(n2，nN*).(1)寫出a2，a3的值(只寫出結(jié)果)，并求出數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，若對任意的正整數(shù)n，不等式t22tbn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解(1)a26，a312，當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n2(123n)n(n1).因為當n1時，a1
8、2也滿足上式，所以ann(n1).(2)bn.因為bn1bn0，所以bn1bn恒成立，所以t22t，解得t2，所以實數(shù)t的取值范圍為(，0)(2，).典例(12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，Snb1b2bn，求使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值.審題路線圖規(guī)范解答評分標準解(1)設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.由題意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，所以a2a420，所以解得或3分又數(shù)列an單調(diào)遞增，所以q2，a12，所以數(shù)列an的通項公式為an2n.5分(2)
9、因為bnn2n，6分所以Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn222232nn2n12n12n2n1.8分又Snn2n130，可得2n1230，即2n13225，10分所以n15，即n4.所以使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值為5.12分構建答題模板第一步求通項：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項公式.第二步巧求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當方法求和或經(jīng)適當放縮后求和.第三步得結(jié)論：利用不等式或函數(shù)性質(zhì)求證不等式或解決一些最值問題.1.記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并求Sn
10、的最小值.解(1)設an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項公式為ana1(n1)d2n9.(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以當n4時，Sn取得最小值16.2.設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和.解(1)由題意得得又當n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，又a23a1，數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.(2)設bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當n3時，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設數(shù)列bn的前n項和為T
11、n，則T12，T23，當n3時，Tn3，經(jīng)驗證T2符合上求.Tn3.(2018黔東南州模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnlog2an，記數(shù)列的前n項和為Tn，證明：Tn.(1)解當n1時，有a1S1(a11)，解得a14.當n2時，有Sn1(an11)，則anSnSn1(an1)(an11)，整理得4，數(shù)列an是以q4為公比，以a14為首項的等比數(shù)列.an44n14n(nN*)即數(shù)列an的通項公式為an4n(nN*).(2)證明由(1)得bnlog2anlog24n2n，則Tn2成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.(1)證明由題意，知anSn4，an1Sn14，兩式相減，得(Sn1an1)(Snan)0，即2an1an0，an1an.又a1S14，所以2a14，即a12.所以數(shù)列an是首項為a12，公比為的等比數(shù)列.(2)解由(1)得an2n1，則Sn422n.假設存在正整數(shù)k，使2成立，由Sk20知k1，即k1，kN*.由2，整理得21k1，即12k1，因為kN*，所以2k1N*，這與2k1相矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)k，使已知不等式成立.
2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第12練
