新編高中數(shù)學(xué)人教A版必修一 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測評20 含答案

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評（二十） 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列函數(shù)沒有零點(diǎn)的是(　　) A．f(x)＝0 B．f(x)＝2 C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－ 【解析】　函數(shù)f(x)＝2，不能滿足方程f(x)＝0，因此沒有零點(diǎn)． 【答案】　B 2．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為(　　) A.，0 B．－2,0 C. D．0 【解析】　當(dāng)x≤1時，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.當(dāng)x>1時，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函數(shù)的零點(diǎn)為0，選D.

2、 【答案】　D 3．函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：97030131】 A．(－2,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 【解析】　∵函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5是單調(diào)遞減函數(shù)，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0， f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)必在區(qū)間(1,2)上，故必存在零點(diǎn)的區(qū)間是(1,2)，故選C. 【答案】　C 4．已知0＜a＜1，則函數(shù)y＝|logax|－a|x|零點(diǎn)的個數(shù)是(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．1個或2個或3個 【解析】　∵0＜a＜1，函數(shù)

3、y＝|logax|－a|x|的零點(diǎn)的個數(shù)就等于方程a|x|＝|logax|的解的個數(shù)， 即函數(shù)y＝a|x|與y＝|logax|的交點(diǎn)的個數(shù)．如圖所示，函數(shù)y＝a|x|與y＝|logax|的交點(diǎn)的個數(shù)為2，故選B. 【答案】　B 5．已知方程|2x－1|＝a有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(1,2) C．(0，＋∞) D．(0,1) 【解析】　若關(guān)于x的方程|2x－1|＝a有兩個不等實(shí)數(shù)根，則y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩個交點(diǎn)，函數(shù)y＝|2x－1|的圖象如圖所示： 由圖可得，當(dāng)a∈(0,1)時，函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與y＝a有兩

4、個交點(diǎn)， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)，故選D. 【答案】　D 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)是________． 【解析】　令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1. 【答案】　1 7．若方程|x2－4x|－a＝0有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函數(shù)y＝|x2－4x|的圖象，則由圖象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四個不相等的實(shí)根，則0＜a＜4. 【答案】　(0,4) 8．已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3x的零點(diǎn)在區(qū)間上

5、，則整數(shù)k的值為________． 【解析】　∵函數(shù)f(x)＝2x＋log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴函數(shù)f(x)＝2x＋log3x最多有一個零點(diǎn)．當(dāng)k＝1時，區(qū)間為，當(dāng)x→0時，f(x)→－∞，當(dāng)x＝時，f＝－log32＞0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，因此必然k＝1. 【答案】　1 三、解答題 9．設(shè)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－. (1)求證：函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)； 【導(dǎo)學(xué)號：97030132】 (2)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)． 【解】　(1)證明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－， ∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－a

6、－b. ∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，∵a＞0，∴Δ＞0恒成立， 故函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)． (2)根據(jù)g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c. ①當(dāng)c＞0時，有g(shù)(0)＞0，又∵a＞0，∴g(1)＝－＜0， 故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點(diǎn)，故在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)． ②當(dāng)c≤0時，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一零點(diǎn)， 綜合①②，可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)． 10．(2016·沈陽高一檢

7、測)設(shè)函數(shù)f(x)＝ (1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象； (2)討論方程|f(x)|＝a的解的個數(shù)．(只寫明結(jié)果，無需過程) 【解】　(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示： (2)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖所示： ①0＜a＜4時，方程有四個解； ②a＝4時，方程有三個解； ③a＝0或a＞4時，方程有二個解； ④a＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)解． [能力提升] 1．函數(shù)f(x)＝x＋lg x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞) 【解析】　易知函數(shù)f(x)＝x＋lg x－3在定義域上是增函數(shù)，f(1)＝1＋0

8、－3＜0， f(2)＝2＋lg 2－3＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＞0， 故函數(shù)f(x)＝x＋lg x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3)，故選C. 【答案】　C 2．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】　由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0，則f(x0)＝0，又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函數(shù)在[－a,0]內(nèi)唯一的零點(diǎn)，故方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)

9、根的個數(shù)為2. 【答案】　B 3．已知函數(shù)f(x)＝且函數(shù)F(x)＝f(x)＋x－a有且僅有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號：97030133】 【解析】　由F(x)＝f(x)＋x－a＝0，得f(x)＝－x＋a，設(shè)y＝f(x)，y＝－x＋a.做出函數(shù)f(x)＝的圖象，當(dāng)y＝－x＋1時，直線y＝－x＋1與y＝f(x)有兩個交點(diǎn)，所以要使F(x)＝f(x)＋x－a有且僅有兩個零點(diǎn)，則有a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 【答案】　(－∞，1] 4．(2016·贛州高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－4在區(qū)間[－2,1]上的兩個端點(diǎn)處取得最大值

10、和最小值． (1)求實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A； (2)試寫出f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值g(m)； (3)設(shè)h(x)＝－x2＋x＋7，令F(m)＝其中B＝?RA，若關(guān)于m的方程F(m)＝a恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解】　(1)∵f(x)＝x2＋mx－4在區(qū)間[－2,1]上的兩個端點(diǎn)處取得最大值和最小值，∴函數(shù)在區(qū)間[－2,1]上是單調(diào)函數(shù)，又∵函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x＝－， ∴必有－≥1，或－≤－2，解得m≥4或m≤－2， ∴實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A＝{m|m≥4或m≤－2}． (2)當(dāng)m≥4時，－≤－2，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f(x)的最大值g(m)＝f(1)＝m－3； 當(dāng)m≤－2時，－≥1，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞減， ∴函數(shù)f(x)的最大值g(m)＝f(－2)＝－2m. (3)由題意可知F(m)＝ 關(guān)于m的方程F(m)＝a恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根等價于y＝F(m)的圖象與y＝a的圖象有兩個不同的交點(diǎn)， 作圖可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＞或1＜a＜4.