（全國通用）2018年高考數學 考點一遍過 專題15 三角函數的圖象與性質（含解析）理

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1、 考點15 三角函數的圖象與性質 （1）能畫出y=sin x，y =cos x，y = tan x的圖象，了解三角函數的周期性. （2）理解正弦函數、余弦函數在上的性質（如單調性、 最大值和最小值、以及與x軸的交點等），理解正切函數在內的單調性. （3）了解函數的物理意義；能畫出的圖象，了解參數對函數圖象變化的影響. （4）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題. 一、正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質 函數 圖象 定義域 值域 最值 當時，； 當時，． 當時，；

2、 當時，． 既無最大值，也無最小值 周期性 最小正周期為 最小正周期為 最小正周期為 奇偶性 ,奇函數 ，偶函數 ，奇函數 單調性 在上是增函數； 在上是減函數． 在上是增函數； 在上是減函數． 在上是增函數． 對稱性 對稱中心； 對稱軸， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 對稱軸， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 無對稱軸， 是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形. 二、函數的圖象與性質 1．函數的圖象的畫法 （1）變換作圖法 由函數的圖象通過變換得到（A>0,ω>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸

3、縮后平移”.如下圖. （2）五點作圖法 找五個關鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點.其步驟為： ①先確定最小正周期T=,在一個周期內作出圖象； ②令,令X分別取0，,,,求出對應的x值，列表如下： 由此可得五個關鍵點； ③描點畫圖，再利用函數的周期性把所得簡圖向左右分別擴展，從而得到的簡圖. 2．函數（A>0,ω>0）的性質 （1）奇偶性：時，函數為奇函數；時，函數為偶函數. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期為T= . （3）單調性：根據y=sint和t=的單調性來研究，由得單調增區(qū)間；由得單調減區(qū)間. （4）對稱性：利用y=

4、sin x的對稱中心為求解，令，求得x. 利用y=sin x的對稱軸為求解，令，得其對稱軸. 3．函數（A>0,ω>0）的物理意義 當函數（A>0,ω>0,）表示一個簡諧振動量時，則A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做頻率,叫做相位，x=0時的相位叫做初相. 三、三角函數的綜合應用 （1）函數，的定義域均為；函數的定義域均為. （2）函數，的最大值為，最小值為；函數的值域為. （3）函數，的最小正周期為；函數的最小正周期為． （4）對于，當且僅當時為奇函數，當且僅當時為偶函數；對于，當且僅當時為奇函數，當且僅當時為偶函數；對于，當且僅當時為奇函數． （5）函數的單調遞增區(qū)

5、間由不等式 來確定，單調遞減區(qū)間由不等式來確定；函數的單調遞增區(qū)間由不等式來確定，單調遞減區(qū)間由不等式來確定；函數的單調遞增區(qū)間由不等式來確定． 【注】函數，，（有可能為負數）的單調區(qū)間：先利用誘導公式把化為正數后求解． 【注】函數，的圖象與軸的交點都為對稱中心，過最高點或最低點且垂直于軸的直線都為對稱軸. 函數的圖象與軸的交點和漸近線與軸的交點都為對稱中心，無對稱軸. 考向一 三角函數的圖象及其性質 1．三角函數定義域的求法 求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解. 2．求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目及求解

6、方法 （1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函數化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； （2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函數，可先設sinx=t，化為關于t的二次函數求值域(最值)； （3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t=sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)． 3．三角函數單調性問題的常見類型及解題策略 （1）已知三角函數解析式求單調區(qū)間．①求函數的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數單調性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ω

7、x＋φ）（其中，ω>0）的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯． （2）已知三角函數的單調區(qū)間求參數．先求出函數的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解． （3）利用三角函數的單調性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化為y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函數的值域（或最值）問題常利用三角函數的單調性解決. 4．三角函數的奇偶性、周期性、對稱性的處理方法 （1）求三角函數的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形

8、式，再分別應用公式T=，T=，T=求解． （2）對于函數y=Asin（ωx＋φ），其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線x=x0或點（x0，0）是否為函數的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗 f（x0）的值進行判斷． （3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）為偶函數，則φ=kπ＋（kZ），同時當x=0時，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為奇函數，則φ=kπ（k∈Z），同時當x=0時，f（x）=0. 典例1 函數的最大值為_________. 【答案】1 1．函數f(x)=cos2x＋2sinx的最大值與

9、最小值的和是 A．?2　　　 B．0 C．　　　 D． 典例2 已知函數f（x）=sin （ω>0）的最小正周期為4π，則 A．函數f（x）的圖象關于點對稱 B．函數f（x）的圖象關于直線x=對稱 C．函數f（x）的圖象向右平移個單位后，圖象關于原點對稱 D．函數f（x）在區(qū)間（0，π）內單調遞增 【答案】C 故選C. 2．已知函數． （1）求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間； （2）當時，試求的最值，并寫出取得最值時自變量的值． 考向二 三角函數的圖象變換 函數圖象的平移變換解題策略 （1）對函數y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos

10、(ωx＋φ)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應的解析式中的x變?yōu)閤±|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿±|φ|. （2）注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數再平移. 典例3 要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點 A．向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變） B．向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變） C．向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變） D．向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變） 【答案】B 【名師點睛】（1）進

11、行三角函數的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身；要注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數； （2）在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量而言的，如果的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向． 3．為得到函數的圖象，可將函數的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（，均為正數），則的最小值是 A．　　　　 B． C．　　　　 D． 考向三 函數的圖象與性質的綜合應用 1．結合圖象及性質求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，

12、ω>0)的方法 （1）求A，B，已知函數的最大值M和最小值m，則. （2）求ω，已知函數的周期T，則. （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時，A，ω，B已知)． ②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口，具體如下： “第一點”(即圖象上升時與x軸的交點中距原點最近的交點)為ωx＋φ=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ=；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ=π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ=；“第五點”為ωx＋φ=2π. 2．圖象變換的綜合問題 （1）圖象變換與解析式的綜合問題，要特別注

13、意兩種變換的區(qū)別． （2）圖象變換與性質的綜合問題，可根據兩種圖象變換的規(guī)則，也可根據圖象的變換求出變換后的函數解析式，再研究函數的性質． 3．函數圖象與性質的綜合問題 常先通過三角恒等變換化簡函數解析式為y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再結合正弦函數y=sinx的性質研究其相關性質． 4．三角函數模型的應用 三角函數模型在實際中的應用體現在兩個方面，一是已知函數模型，利用三角函數的有關性質解決問題，其關鍵是準確理解自變量的意義及自變量與函數之間的對應法則，二是把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解決問題，其關鍵是建模. 典例4 函數f

14、（x）=sin（ωx＋φ）（其中|φ|<的圖象如圖所示，為了得到y=sinωx的圖象，只需把y=f（x）的圖象上所有點 A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 【答案】A 4．已知把函數的圖象向右平移個單位，再向上平移一個單位得到函數的圖象． （1）求的最小值及取最小值時的集合； （2）求在時的值域； （3）若，求的單調增區(qū)間． 典例5 已知向量，，且函數. （1）當函數在上的最大值為3時，求的值； （2）在（1）的條件下，若對任意的，函數，的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值，并求函數在上

15、的單調遞減區(qū)間. 【答案】（1）;（2）. 綜上：函數在上的最大值為3時，. （2）當時，， 由的最小正周期為可知，的值為. 又由可得，， ∵， ∴函數在上的單調遞減區(qū)間為. 5．已知向量，函數的最大值為. （1）求函數的單調遞減區(qū)間； （2）在中，內角的對邊分別為，若恒成立，求實數的取值范圍. 1．下列函數中，最小正周期為π的偶函數是 A．y=sin(2x＋) B．y=cos(2x＋) C．y=sin 2x＋cos 2x D．y=sin x＋cos x 2．函數=的部分圖象如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為 A．

16、 B． C． D． 3．將函數的圖象沿軸向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式是 A． B． C． D． 4．關于函數（），下列命題正確是 A．由可得是的整數倍 B．的表達式可改寫成 C．的圖象關于點對稱 D．的圖象關于直線對稱 5．若函數（，）的圖象與直線無交點，則 A． B． C． D． 6．若函數在區(qū)間上是減函數，學.則的取值范圍是 A．

17、 B． C． D． 7．函數（，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，若函數在區(qū)間()上的值域為，則等于 A． B． C． D． 8．已知函數．給出下列命題： ①為奇函數； ②，對恒成立； ③，若，則的最小值為； ④，若，則． 其中的真命題有 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 9．已知函數，，直線與、的圖象分別交于、 兩點，則的最大值是________． 10．若將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函

18、數為偶函數，則的最小值是________． 11．已知函數=4tan xsin()cos() . （1）求的定義域與最小正周期； （2）討論在區(qū)間]上的單調性. 12．已知函數的部分圖象如圖所示． （1）求函數的解析式； （2）在中，角的對邊分別是，若，求的取值范圍． 13．已知向量，，設函數． （1）若函數的圖象關于直線對稱，且時，求函數的單調增區(qū)間； （2）在（1）的條件下，當時，函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍． 1．（2017年高考新課標Ⅰ卷）已知曲線C

19、1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是 A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 2．（2017年高考新課標Ⅲ卷）設函數，則下列結論錯誤的是 A．的一個周期為 B．的圖象關于直線對稱 C．的一

20、個零點為 D．在(,)單調遞減 3．（2017年高考天津卷）設函數，其中．若 且的最小正周期大于，則 A． B． C． D． 4．（2017年高考新課標Ⅱ卷）函數()的最大值是 . 5．（2017年高考浙江卷）已知函數． （1）求的值． （2）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 6．（2017年高考江蘇卷）已知向量 （1）若a∥b，求的值； （2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值． 變式拓展 1．【答案】C 【解析】f(x)=1

21、?2sin2x＋2sinx=，所以當時，，當sinx=?1時，f(x)min=?3，故選C. 2．【答案】（1），（）；（2）時，取得最大值；時，取得最小值． （2）因為， 所以， 當，即時，取得最大值， 當，即時，取得最小值． 3．【答案】B 【解析】依題意可知，所以當時，的最小值是，故選B． 4．【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】（1）由已知得． 當時，取得最小值， 此時，即， 故取最小值時的集合為． （2）當時，，所以， 從而，即的值域為． （3） 即求函數的單調遞減區(qū)間． 令，解得， 故的單調增區(qū)間為． 5．【答案】（1）；（2）.

22、 所以解得.則， 由，可得：，， 所得函數的單調減區(qū)間為. （2）由，可得，即. 解得，即. 因為， 所以，， 因為恒成立， 所以恒成立，即. 所以實數的取值范圍是. 考點沖關 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】由圖象可知，，解得，，所以，令，解得<<,,故函數的單調減區(qū)間為（，）,,故選D. 3．【答案】C 【解析】將函數的圖象沿軸向右平移個單位長度，得的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得．故選C． 4．【答案】C 【解析】令，，，因此，所以選項A錯誤； ，但時，，所以選項B錯誤，事實上； ，，時，，因此

23、是其對稱中心，所以選項C正確； ，，不含，所以選項D錯誤． 故選C． 【名師點睛】圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心, 關鍵是記住三角函數的圖象，根據圖象并結合整體代入的基本思想即可求三角函數的對稱軸與對稱中心． 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】∵，令， 由得，且在上是增函數.依題意有在上是減函數，∴，即，故選. 7．【答案】B 【名師點睛】本題學生容易經驗性的認為,但此時在內無解，所以.已知函數的圖象求解析式： (1). (2)由函數的周期求 (3)利用“五點法”中相對應的特殊點求，一般用最高點或最低點求. 8．【答案】C

24、 【解析】因為函數變形為，不可能通過左右平移變?yōu)槠婧瘮?，所以①錯. 因為時，成立，所以②對. 因為，即分別為最大值1與最小值?1，所以成立，所以③對. 因為，即，，所以④錯. 故選C. 9．【答案】 【解析】 ，的最大值是. 【名師點睛】三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數化為的形式再借助三角函數圖象研究性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征． 10．【答案】 【解析】若將函數 的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數為偶函數，根據正（余）弦函數的奇偶性可知：則，或，則，或，則，即：，當時，取得最小值為. 11．【答案】（1），

25、；（2）在區(qū)間上單調遞增, 在區(qū)間上單調遞減. 所以, 當時,在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減. 12．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由圖象知，∴， ∴， ∵圖象過，將點代入解析式得, ∵，∴， 故函數． 故． 13．【答案】（1）；（2）. 【解析】向量，， , （1）∵函數的圖象關于直線對稱， ∴，解得：， ∵，∴， ∴， 由，解得：， 所以函數的單調增區(qū)間為． （2）由（1）知， ∵， ∴， ∴，即時，函數單調遞增； ，即時，函數單調遞減． 又， ∴當或時函數有且只有一個零點． 即或， 所以滿足條件的． 直通高

26、考 1．【答案】D 【名師點睛】對于三角函數圖象變換問題，首先要將不同名函數轉換成同名函數，利用誘導公式，需要重點記??；另外，在進行圖象變換時，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中也經常出現，無論哪種變換，記住每一個變換總是對變量而言. 2．【答案】D 【解析】函數的最小正周期為，則函數的周期為，取，可得函數的一個周期為，選項A正確； 函數圖象的對稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關于直線對稱，選項B正確； ，函數的零點滿足，即，取，可得的一個零點為，選項C正確； 當時，，函數在該區(qū)間內不單調，選項D錯誤. 故選D. 【名師點睛】（1）求最小正周期時可先把所給三角

27、函數式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關鍵是解析式是否為或的形式. （2）求的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令即可. 3．【答案】A 【名師點睛】關于的問題有以下兩種題型： ①提供函數圖象求解析式或參數的取值范圍，一般先根據圖象的最高點或最低點確定，再根據最小正周期求，最后利用最高點或最低點的坐標滿足解析式，求出滿足條件的的值； ②題目用文字敘述函數圖象的特點，如對稱軸方程、曲線經過的點的坐標、最值等，根據題意自己畫出大致圖象，然后尋求待定的參變量，題型很活，一般是求或的值、函數最值、取值范圍等． 4．【答案】1 【解析】化簡三角函數的解析式：

28、 ， 由自變量的范圍：可得：， 當時，函數取得最大值1. 【名師點睛】本題經三角函數式的化簡將三角函數的問題轉化為二次函數的問題，二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析. 5．【答案】（1）2；（2）最小正周期為，單調遞增區(qū)間為． ， 解得 ， 所以，的單調遞增區(qū)間是． 【名師點睛】本題主要考查了三角函數的化簡，以及函數的性質，是高考中的?？贾R點，屬于基礎題，強調基礎的重要性；三角函數解答題中，涉及到周期，單調性，單調區(qū)間以及最值等考點時，都屬于考查三角函數的性質，首先應把它化為三角函數的基本形式即，然后利用三角函數的性質求解． 6．【答案】（1）；（2）時，取得最大值3；時，取得最小值． 【解析】（1）因為，，a∥b，所以． 若，則，與矛盾，故． - 30 -