（全國通用）2018年高考數(shù)學 考點一遍過 專題10 函數(shù)模型及其應用（含解析）理

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1、 考點10 函數(shù)模型及其應用 （1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. （2）了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用. 一、常見的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 (為常數(shù)，) 反比例函數(shù)模型 (為常數(shù)且) 二次函數(shù)模型 （均為常數(shù)，） 指數(shù)函數(shù)模型 （均為常數(shù)，，，） 對數(shù)函數(shù)模型 （為常數(shù)，） 冪函數(shù)模型 （為常數(shù)，） 二、幾類函數(shù)模型的增長差異 函數(shù) 性質　　 在(0，＋∞)上的增減性

2、 單調遞增 單調遞增 單調遞增 增長速度 先慢后快，指數(shù)爆炸 先快后慢，增長平緩 介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大，圖象與軸接近平行 隨x的增大，圖象與軸接近平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個，當時，有 三、函數(shù)模型的應用 解函數(shù)應用題的一般步驟，可分以下四步進行： （1）認真審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型； （2）建立模型：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； （3）求解模型：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； （4）還原解答：將利用數(shù)學知識和方法得出的結論，還原到實際問

3、題中. 用框圖表示如下： 數(shù)學問題 實際問題 建模 審題、轉化、抽象 問題 解決 解模 運算 實際問題結論 數(shù)學問題答案 還原 結合實際意義 考向一 二次函數(shù)模型的應用 在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調性等來求函數(shù)的最值，從

4、而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題. 典例1 食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與投入（單位：萬元）滿足，設甲大棚的投入為（單位：萬元），每年兩個大棚的總收益為（單位：萬元）. （1）求的值； （2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益最大？ . 所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，

5、且最大收益為282萬元. 【名師點睛】在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍. 1．某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元． （1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 考向二 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應用 （1）在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示.通?？?/p>

6、以表示為(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式.求解時可利用指數(shù)運算與對數(shù)運算的關系. （2）已知對數(shù)函數(shù)模型解題是常見題型，準確進行對數(shù)運算及指數(shù)與對數(shù)的互化即可. 典例2 一片森林原來面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林面積為. （1）求p%的值; （2）到今年為止,該森林已砍伐了多少年? （3）今后最多還能砍伐多少年? 故今后最多還能砍伐15年. 典例3 我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強度有關系.聲音的強度用瓦/米2 ()表示，但在

7、實際測量時，常用聲音的強度水平表示，它們滿足以下公式：(單位為分貝，，其中，這是人們平均能聽到的最小強度，是聽覺的開端).回答以下問題： （1）樹葉沙沙聲的強度是，耳語的強度是，恬靜的無線電廣播的強度是，試分別求出它們的強度水平； （2）某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內(nèi)公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下，試求聲音強度的范圍為多少？ 所以，即恬靜的無線電廣播的強度水平為40分貝. （2）由題意知：，即， 所以，即. 所以新建的安靜小區(qū)的聲音強度I大于或等于，同時應小于. 2．在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(單位:米/秒)和燃料的質量M(單位:千克)、火

8、箭(除燃料外)的質量m(單位:千克)的函數(shù)關系式是v=2000·ln(1+).當燃料質量是火箭質量的　　　　倍時,火箭的最大速度可達12千米/秒.? 考向三 分段函數(shù)模型的應用 （1）在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數(shù)．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數(shù)． （2）分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點． （3）構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不重不漏． 典例4 據(jù)氣象中心觀察和預測：

9、發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v（km/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示．過線段OC上一點作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）． （1）當時，求s的值； （2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來； （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 【解析】（1）由圖象可知，當時，，∴（km）． （2）當時，； 當時，； 當時，. 3．某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從2月1

10、日起的300天內(nèi),西紅柿市場售價P(單位:元/102 kg)與上市時間t(單位:天)的關系符合圖1中的折線表示的函數(shù)關系,西紅柿種植成本Q(單位:元/102 kg)與上市時間t(單位:天)的關系符合圖2中的拋物線表示的函數(shù)關系. （1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式P=f(t)，圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q=g(t)； （2）若市場售價減去種植成本為純收益,問何時上市的純收益最大? 考向四 函數(shù)模型的比較 根據(jù)幾組數(shù)據(jù)，從所給的幾種函數(shù)模型中選擇較好的函數(shù)模型時，通常是先根據(jù)所給的數(shù)據(jù)確定各個函數(shù)模型中的各個參數(shù)，即確定解析式，然后再分別驗證、估計，選出較好的函

11、數(shù)模型. 典例5 某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量依次為10萬件，12萬件，13萬件，為了預測以后每個月的產(chǎn)量，以這3個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量（單位：萬件）與月份的關系. 模擬函數(shù)；模擬函數(shù). （1）已知4月份的產(chǎn)量為13.7萬件，問選用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？ （2）受工廠設備的影響，全年的每月產(chǎn)量都不超過15萬件，請選用合適的模擬函數(shù)預測6月份的產(chǎn)量. 則有，解得， 即，當時，． 所以選用模擬函數(shù)1較好． （2）因為模擬函數(shù)1：是單調增函數(shù)，所以當時，生產(chǎn)量遠大于他的最高限量； 模擬函數(shù)2：也是單調增函數(shù)，但生產(chǎn)量，所以不會超過15萬件，所以應該

12、選用模擬函數(shù)2：好． 當時，， 所以預測6月份的產(chǎn)量為萬件. 4．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本價為25元，因為在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設計兩套方案對污水進行處理，并準備實施. 方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費2元，并且每月排污設備損耗為30000元； 方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費.問： （1）工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時，你作為廠長，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應選擇哪種方案？通過計算加以說明. （2）若工廠每月生產(chǎn)6

13、000件產(chǎn)品，你作為廠長，又該如何決策呢？ 1．某公司為了適應市場需求對產(chǎn)品結構做了重大調整，調整后初期利潤增長迅速，之后增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調整后利潤與時間的關系，可選用 A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù) 2．已知三個函數(shù)模型：，，，當時，隨的增大，三個函數(shù)中的增長速度越來越快的是 A． B． C．

14、 D． 3．2003年至2015年北京市電影放映場次（單位：萬次）的情況如圖所示，下列函數(shù)模型中，最不適合近似描述這13年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的是 A． B． C． D． 4．某林場今年造林10000畝，計劃以后每一年比前一年多造林10%，那么從明年算起第3年內(nèi)將造林( )畝 A．13000 B．13310 C．12100 D．33000 5．研究表明,當死亡生物

15、組織內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到碳14了.若某一死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過個“半衰期”后，用一般的放射性探測器測不到碳14了,則的最小值是 A．9 B．10 C．11 D．12 6．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%．已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P（單位：毫克／升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關系為：（k，P0均為正的常數(shù)）．若在前5個小時的過濾過程中污染物被排除了90%

16、，那么，至少還需（ ）小時過濾才可以排放． A． B． C．5 D．10 7．某商場銷售型商品.已知該商品的進價是每件元，且銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示： 銷售單價（元） 日均銷售量（件） 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，此商品的定價(單位:元/件) 應為 A． B． C．

17、 D． 8．某種病毒經(jīng)30分鐘可繁殖為原來的2倍,且已知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù);t表示時間,單位:小時;y表示病毒個數(shù)),則k=　　　　,經(jīng)過5小時,1個病毒能繁殖為　　　　個.? 9．某種產(chǎn)品的產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中：表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；表示產(chǎn)品各年的銷售量變化情況.有下敘述： （1）產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原生產(chǎn)計劃進行下去； （2）產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價格將趨跌； （3）產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴重，應壓縮產(chǎn)量或擴大銷售量； （4）產(chǎn)品的產(chǎn)、銷情況均以一定的年增長率遞增. 你認為較合理

18、的是????????? （把你認為合理結論的序號都填上）. 10．為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為：，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價值為100元． （1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ （2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？ 11．某上

19、市股票在30天內(nèi)每股的交易價格(元)與時間(天)組成有序數(shù)對,點落在圖中的兩條線段上. 該股票在30天內(nèi)的日交易量(萬股)與時間(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示： 第天 4 10 16 22 (萬股) 36 30 24 18 （1）根據(jù)提供的圖象,寫出該股票每股交易價格(元)與時間(天)所滿足的函數(shù)關系式; （2）根據(jù)表中數(shù)據(jù),寫出日交易量(萬股)與時間(天)的一次函數(shù)關系式; （3）用(萬元)表示該股票日交易額，寫出關于的函數(shù)關系式，并求在這30天內(nèi)第幾天日交易額最大,最大值為多少? 12．已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元，

20、且乙廠在2月份的利潤是8萬元，若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份之間的函數(shù)關系式分別符合下列函數(shù)模型：,. （1）求函數(shù)與的解析式； （2）求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤； （3）在同一平面直角坐標系下畫出函數(shù)與的草圖，并根據(jù)草圖比較今年1至10月份甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況. 1．（2014湖南理科）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為 A． B． C． D． 2．（2015四川理科）某

21、食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_________小時. 變式拓展 . 當時，最大，且最大值為元， 所以當每輛車的月租金定為元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是元． 2．【答案】e6-1 【解析】當v=12000米/秒時,2000·ln(1+)=12000,∴l(xiāng)n(1+)=6,∴=e6-1. 3．【解析】（1）由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關系式為 . 由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關系式為.

22、（2）設上市時間為t時的純收益為h(t), 則由題意,得, 即. 當時,整理,得, 當t=50時,h(t)取得最大值100； 當時,整理,得, 當t=300時,h(t)取得最大值87.5. 綜上,當t=50時,即從2月1日開始的第50天上市的西紅柿純收益最大. 4．【解析】設工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，依方案一的利潤為，依方案二的利潤為，由題意知 ， . （1）當時，，，因為，所以應選擇方案二處理污水. （2）當時，，，因為，所以應選擇方案一處理污水. 考點沖關 1．【答案】D 2．【答案】C 【解析】三個函數(shù)模型：，，，當時，指數(shù)函數(shù)是爆炸型增長，因此選C.

23、 3．【答案】D 【解析】觀察題圖，結合各選項中函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的變化規(guī)律可知，D項中函數(shù)最不適合近似描述這13年間電影放映場次逐年變化的規(guī)律. 4．【答案】B 【解析】依題意可得，從明年算起第3年內(nèi)將造林畝，故選B. 5．【答案】B 【解析】由題意知,,即,所以的最小值是10.選B. 6．【答案】C 【解析】設原污染物的數(shù)量為，則．由題意有，所以．設小時后污染物的含量不得超過1%，則有，所以，．因此至少還需小時過濾才可以排放． 7．【答案】C 8．【答案】2ln2，1024　 【解析】當t=0.5時,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,

24、 當t=5時,y=e10ln 2=210=1024. 9．【答案】（2），（3） 【解析】產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，但表示年產(chǎn)量的直線斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以隨著的增加，兩者差距加大，出現(xiàn)了供大于求的情況，庫存積壓越來越嚴重. 11．【解析】（1）當時,設, 由圖象可知,此函數(shù)的圖象過點和,故,解得, . 同理，可求得當時,. . （2）設,把所給表中任意兩組數(shù)據(jù)代入可求得, ,?,. （3）因為日交易額(萬元)=日交易量(萬股)每股交易價格(元), . 當，時,當時,萬元； 當，時,隨的增大而減小, 故在30天中的第15天日交易額最大，為125萬元. （2）由（1）知甲廠在今年5月份的利潤為f(5)＝86萬元，乙廠在今年5月份的利潤為g(5)＝86萬元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等. （3）作函數(shù)圖象如圖所示： 從圖中可以看出今年1至10月份甲、乙兩個工廠的利潤： 當x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)； 當1＜x＜5時，有f(x)＞g(x)； 當5＜x≤10時，有f(x)＜g(x). 直通高考 1．【答案】D 【解析】設該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為,則有,故選D. 2．【答案】24 18