精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評估驗收卷:第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料評估驗收卷(四)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1下列說法中正確的是()A若一個命題當n1,2時為真,則此命題為真命題B若一個命題當nk時成立且推得nk1時也成立,則此命題為真命題C若一個命題當n1,2時為真,則當n3時此命題也為真D若一個命題當n1時為真,nk時為真能推得nk1時亦為真,則此命題為真命題解析:由數(shù)學(xué)歸納法定義可知,只有當n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1時也成立時,才可以證明結(jié)論正確,二者缺一不可A,B,C項均不全面答案:D2等

2、式122232n2(5n27n4)()An為任何正整數(shù)時都成立B僅當n1, 2,3時成立C當n4時成立,n5時不成立D僅當n4時不成立解析:把n1,2,3,4,5代入驗證可知B正確答案:B3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2,nN)時,第一步應(yīng)驗證不等式()A12B12C12D12解析:因為n2,所以第一步驗證不等式應(yīng)為n2時12.答案:A4設(shè)f(n)1(nN),則f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析:因為f(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).答案:D5已知f(n),則()Af(n)中共有n項,當n2時,f(2)Bf(n)中共有n1項,當n2時,f(2)Cf(n)中

3、共有n2n項,當n2時,f(2)Df(n)中共有n2n1項,當n2時,f(2)解析:本題主要考查數(shù)列的概念由n到n2一共有整數(shù)n2n1個,所以f(n)有n2n1項,當n2時代入得,f(2).故本題正確答案為D.答案:D6用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xnyn能被xy整除”的第二步是()A假設(shè)n2k1時正確,再推n2k3時正確(kN)B假設(shè)n2k1時正確,再推n2k1時正確(kN)C假設(shè)nk時正確,再推nk1時正確(kN)D假設(shè)nk(k1)時正確,再推nk2時正確(kN)解析:n為正奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n2k1時正確,再推n取第(k

4、1)個正奇數(shù),即n2k1時正確答案:B7平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點個數(shù)記為f(k),則增加一條直線l后,它們的交點個數(shù)最多為()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析:第k1條直線與前k條直線都相交有交點,所以應(yīng)比原先增加k個交點故應(yīng)選B.答案:B8用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)成立時,從k到k1左邊需增乘的代數(shù)式是()A. B2(2k1)C2k1 D.解析:要求左邊從k到k1左邊需增乘的代數(shù)式,可以先寫出nk時,左邊(k1)(k2)(kk),再寫出nk1時,左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2),然后比較兩式,得出需增乘2(

5、2k1)答案:B9如果命題P(n)對于nk成立,則它對nk2亦成立,又若P(n)對n2成立,則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對所有自然數(shù)n成立BP(n)對所有偶自然數(shù)n成立CP(n)對所有正自然數(shù)n成立DP(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立解析:因為n2時,由nk2的“遞推”關(guān)系,可得到n4成立,再得到n6成立,依次類推,因此,命題P(n)對所有偶自然數(shù)n成立答案:B10設(shè)0,已知a12cos ,an1,則猜想an為()A2cos B2cos C2cos D2sin 解析:a12cos ,a22cos ,a32cos ,猜想an2cos .答案:B11設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x

6、)滿足:當f(k)k2成立時,總可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立,則當k1時,均有f(k)k2成立B若f(5)25成立,則當k5時,均有f(k)k2成立C若f(7)49成立,則當k8時,均有f(k)k2成立D若f(4)25成立,則當k4時,均有f(k)k2成立解析:根據(jù)題中條件可知:由f(k)k2,必能推得f(k1)(k1)2,但反之不成立,因為D中f(4)2542,故可推得k4時,f(k)k2,故只有D正確答案:D12已知f(n)(2n7)3n9,存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除f(n),則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析:

7、f(1)36,f(2)108,n3時f(n)9(2n7)3n21,(2n7)3n21,當n3時能被4整除,結(jié)合選項知C正確答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在題中的橫線上)13若用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n1n2n2成立時,第一步應(yīng)驗證_答案:n03,24323214用數(shù)學(xué)歸納法證明命題:12223242(1)n1n2(1)n1(nN),(從“第k步到k1步”時,兩邊應(yīng)同時加上_答案:(1)k(k1)215用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n是非負整數(shù)時,55n145n235n能被11整除”的第一步應(yīng)寫成:當n_時,55n145n235n_,能被11整除解析:本題考查對運用數(shù)學(xué)歸納法

8、證明整除問題的掌握情況,由于n是非負整數(shù),所以第一步應(yīng)考慮n0.答案:05142302216假設(shè)凸k邊形的對角線有f(k)條,則凸(k1)邊形的對角線的條數(shù)f(k1)為_解析:凸(k1)邊形的對角線的條數(shù)等于凸k邊形的對角線的條數(shù),加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)k2,再加上原來有一邊成為對角線,共有f(k)k1條對角線答案:f(k)k1三、解答題(本大題共6小題,共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(nN*)證明:(1)當n1時,左邊,右邊,左邊右邊所以當n1時,等式成立(2)假設(shè)nk(kN*)時等式成立,即有,則當nk1時

9、,.所以當nk1時,等式也成立由(1)(2)可知,對于一切nN*等式都成立18(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1(nN,且n1)證明:(1)當n2時,1成立;(2)設(shè)當nk(k2)時,1;則當nk1時,1111,即當nk1時也成立由(1)(2)知對任意n1(nN),原不等式成立19(本小題滿分12分)求證:對于整數(shù)n0時,11n2122n1能被133整除證明:(1)n0時,原式11212133能被133整除(2)假設(shè)nk(k0,kN)時,11k2122k1能被133整除,nk1時,原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)12

10、2k1133也能被133整除由(1)(2)可知,對于整數(shù)n0,11n2122n1能被133整除20(本小題滿分12分)設(shè)xn是由x12,xn1(nN)定義的數(shù)列,求證:xn.證明:(1)當n1時,x121,不等式成立(2)假設(shè)當nk(k1)時,不等式成立,即xk,那么,當nk1時,xk1.由歸納假設(shè),xk,則,.因為xk,所以.所以xk1.即xk1.所以當nk1時,不等式xn成立綜上所述,得xn(nN)21(本小題滿分12分)數(shù)列的前n項和記為Sn.(1)求出S1,S2,S3的值;(2)猜想出Sn的表達式;(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想(1)解:an,S1a1;S2a1a2;S3a1a2a3.

11、(2)解:猜想:Sn(nN)(3)證明:當n1時,S1a1,右邊.等式成立假設(shè)當nk時,Sk,則當nk1時,Sk1Skak1.即當nk1時,等式成立由可得Sn(nN)22(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn,an的等差中項為1.(1)寫出a1,a2,a3;(2)猜想an的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解:(1)由題意Snan2,可得a11,a2,a3.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當n1時,a11,1,等式成立假設(shè)當nk時,等式成立,即ak,則當nk1時,由Sk1ak12,Skak2,得(Sk1Sk)ak1ak0,即2ak1ak,所以ak1ak,即當nk1時,等式成立由可知,對nN,an.最新精品資料

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