方法：因子分析法.doc

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因子分析基礎(chǔ)理論知識 1 概念 因子分析（Factor analysis）：就是用少數(shù)幾個因子來描述許多指標或因素之間的聯(lián)系，以較少幾個因子來反映原資料的大部分信息的統(tǒng)計學分析方法。從數(shù)學角度來看，主成分分析是一種化繁為簡的降維處理技術(shù)。 主成分分析（Principal component analysis）：是因子分析的一個特例，是使用最多的因子提取方法。它通過坐標變換手段，將原有的多個相關(guān)變量，做線性變化，轉(zhuǎn)換為另外一組不相關(guān)的變量。選取前面幾個方差最大的主成分，這樣達到了因子分析較少變量個數(shù)的目的，同時又能與較少的變量反映原有變量的絕大部分的信息。 兩者關(guān)系：主成分分析（PCA）和因子分析（FA）是兩種把變量維數(shù)降低以便于描述、理解和分析的方法，而實際上主成分分析可以說是因子分析的一個特例。 2 特點 （1）因子變量的數(shù)量遠少于原有的指標變量的數(shù)量，因而對因子變量的分析能夠減少分析中的工作量。 （2）因子變量不是對原始變量的取舍，而是根據(jù)原始變量的信息進行重新組構(gòu)，它能夠反映原有變量大部分的信息。 （3）因子變量之間不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，對變量的分析比較方便，但原始部分變量之間多存在較顯著的相關(guān)關(guān)系。 （4）因子變量具有命名解釋性，即該變量是對某些原始變量信息的綜合和反映。 在保證數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對高維變量空間進行降維處理（即通過因子分析或主成分分析）。顯然，在一個低維空間解釋系統(tǒng)要比在高維系統(tǒng)容易的多。 3 類型 根據(jù)研究對象的不同，把因子分析分為R型和Q型兩種。 當研究對象是變量時，屬于R型因子分析； 當研究對象是樣品時，屬于Q型因子分析。 但有的因子分析方法兼有R型和Q型因子分析的一些特點，如因子分析中的對應分析方法，有的學者稱之為雙重型因子分析，以示與其他兩類的區(qū)別。 4分析原理 假定：有n個地理樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個np階的地理數(shù)據(jù)矩陣 : 當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。這就需要進行降維處理，即用較少幾個綜合指標代替原來指標，而且使這些綜合指標既能盡量多地反映原來指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。 線性組合：記x1，x2，…，xp為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標（主成分），則其線性組合為: Lij是原變量在各主成分上的載荷 無論是哪一種因子分析方法，其相應的因子解都不是唯一的，主因子解僅僅是無數(shù)因子解中之一。 zi與zj相互無關(guān)； z1是x1，x2，…，xp的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…的所有線性組合中方差最大者。則，新變量指標z1，z2，…分別稱為原變量指標的第一，第二，…主成分。 Z為因子變量或公共因子，可以理解為在高維空間中互相垂直的m個坐標軸。 主成分分析實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ，…，p）在各主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij。 從數(shù)學上容易知道，從數(shù)學上也可以證明，它們分別是相關(guān)矩陣的m個較大的特征值所對應的特征向量。 5分析步驟 5.1 確定待分析的原有若干變量是否適合進行因子分析(第一步) 因子分析是從眾多的原始變量中重構(gòu)少數(shù)幾個具有代表意義的因子變量的過程。其潛在的要求：原有變量之間要具有比較強的相關(guān)性。因此，因子分析需要先進行相關(guān)分析，計算原始變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。如果相關(guān)系數(shù)矩陣在進行統(tǒng)計檢驗時，大部分相關(guān)系數(shù)均小于0.3且未通過檢驗，則這些原始變量就不太適合進行因子分析。 進行原始變量的相關(guān)分析之前，需要對輸入的原始數(shù)據(jù)進行標準化計算（一般采用標準差標準化方法，標準化后的數(shù)據(jù)均值為0，方差為1）。 SPSS在因子分析中還提供了幾種判定是否適合因子分析的檢驗方法。主要有以下3種： 巴特利特球形檢驗（Bartlett Test of Sphericity） 反映象相關(guān)矩陣檢驗（Anti-image correlation matrix） KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗 （1）巴特利特球形檢驗 該檢驗以變量的相關(guān)系數(shù)矩陣作為出發(fā)點，它的零假設H0為相關(guān)系數(shù)矩陣是一個單位陣，即相關(guān)系數(shù)矩陣對角線上的所有元素都為1，而所有非對角線上的元素都為0，也即原始變量兩兩之間不相關(guān)。 巴特利特球形檢驗的統(tǒng)計量是根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式得到。如果該值較大，且其對應的相伴概率值小于用戶指定的顯著性水平，那么就應拒絕零假設H0，認為相關(guān)系數(shù)不可能是單位陣，也即原始變量間存在相關(guān)性。 （2）反映象相關(guān)矩陣檢驗 該檢驗以變量的偏相關(guān)系數(shù)矩陣作為出發(fā)點，將偏相關(guān)系數(shù)矩陣的每個元素取反，得到反映象相關(guān)矩陣。 偏相關(guān)系數(shù)是在控制了其他變量影響的條件下計算出來的相關(guān)系數(shù)，如果變量之間存在較多的重疊影響，那么偏相關(guān)系數(shù)就會較小，這些變量越適合進行因子分析。 （3）KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗 該檢驗的統(tǒng)計量用于比較變量之間的簡單相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)。 KMO值介于0-1，越接近1，表明所有變量之間簡單相關(guān)系數(shù)平方和遠大于偏相關(guān)系數(shù)平方和，越適合因子分析。 其中，Kaiser給出一個KMO檢驗標準：KMO>0.9，非常適合；0.80)和相應的標準正交的特征向量li；根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根，即公共因子Zj的方差貢獻（等于因子載荷矩陣L中第j列各元素的平方和），計算公共因子Zj的方差貢獻率與累積貢獻率。 主成分分析是在一個多維坐標軸中，將原始變量組成的坐標系進行平移變換，使得新的坐標原點和數(shù)據(jù)群點的重心重合。新坐標第一軸與數(shù)據(jù)變化最大方向?qū)?。通過計算特征根（方差貢獻）和方差貢獻率與累積方差貢獻率等指標，來判斷選取公共因子的數(shù)量和公共因子（主成分）所能代表的原始變量信息。 公共因子個數(shù)的確定準則：1）根據(jù)特征值的大小來確定，一般取大于1的特征值對應的幾個公共因子/主成分。2）根據(jù)因子的累積方差貢獻率來確定，一般取累計貢獻率達85-95%的特征值所對應的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。也有學者認為累積方差貢獻率應在80％以上。 5.3 因子變量的命名解釋 因子變量的命名解釋是因子分析的另一個核心問題。經(jīng)過主成分分析得到的公共因子Z1,Z2,…,Zm是對原有變量的綜合。在實際的應用分析中，主要通過對載荷矩陣進行分析，得到因子變量和原有變量之間的關(guān)系，從而對新的因子變量進行命名。利用因子旋轉(zhuǎn)方法能使因子變量更具有可解釋性。 計算主成分載荷，構(gòu)建載荷矩陣A。載荷矩陣A中某一行表示原有變量 Xi與公共因子的相關(guān)關(guān)系。載荷矩陣A中某一列表示某一個公共因子能夠解釋的原有變量 Xi的信息量。有時因子載荷矩陣的解釋性不太好，通常需要進行因子旋轉(zhuǎn)，使原有因子變量更具有可解釋性。因子旋轉(zhuǎn)的主要方法：正交旋轉(zhuǎn)、斜交旋轉(zhuǎn)。 正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)是因子旋轉(zhuǎn)的兩類方法。前者由于保持了坐標軸的正交性，因此使用最多。正交旋轉(zhuǎn)的方法很多，其中以方差最大化法最為常用。 方差最大正交旋轉(zhuǎn)（varimax orthogonal rotation）——基本思想：使公共因子的相對負荷的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差總和不變?？墒姑總€因子上的具有最大載荷的變量數(shù)最小，因此可以簡化對因子的解釋。 斜交旋轉(zhuǎn)（oblique rotation）——因子斜交旋轉(zhuǎn)后，各因子負荷發(fā)生了變化，出現(xiàn)了兩極分化。各因子間不再相互獨立，而是彼此相關(guān)。各因子對各變量的貢獻的總和也發(fā)生了改變。 因子旋轉(zhuǎn)的目的是使因子負荷兩極分化，要么接近于0，要么接近于1。從而使原有因子變量更具有可解釋性。 5.4 計算因子變量得分 因子變量確定以后，對于每一個樣本數(shù)據(jù)，我們希望得到它們在不同因子上的具體數(shù)據(jù)值，即因子得分。估計因子得分的方法主要有：回歸法、Bartlette法等。計算因子得分應首先將因子變量表示為原始變量的線性組合。即： 回歸法得分是由貝葉斯思想導出的，得到的因子得分是有偏的，但計算結(jié)果誤差較小。貝葉斯判別思想是根據(jù)先驗概率求出后驗概率，并依據(jù)后驗概率分布作出統(tǒng)計推斷。 Bartlett法：Bartlett因子得分是極大似然估計，得到的因子得分是無偏的，但計算結(jié)果誤差較大。 5.5 結(jié)果的分析解釋 此部分詳細見操作演示