高考數(shù)學(xué) 17-18版 第9章 第41課 課時(shí)分層訓(xùn)練41

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十一) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號：62172226】 ①α⊥β且m?α； ②α⊥β且m∥α； ③m∥n且n⊥β； ④m⊥n且α∥β. ③　[由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知③正確．] 2．(2017·徐州模擬)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是____________．(填序號) ①若l∥α，l∥β，則α∥β； ②若l∥α，l⊥β，則α⊥β； ③若

2、α⊥β，l⊥α，則l∥β； ④若α⊥β，l∥α，則l⊥β. ②　[①中，α∥β或α與β相交，不正確．②中，過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，則l′∥l， 由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，②正確． ③中，l∥β或l?β，③不正確． ④中，l與β的位置關(guān)系不確定．] 3．如圖41-8，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是____________．(填序號) 圖41-8 ①BC∥平面PDF； ②DF⊥平面PAE； ③平面PDF⊥平面PAE； ④平面PDE⊥平面ABC. ④　[因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF， BC?平

3、面PDF， 所以BC∥平面PDF，故①正確． 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC， 所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正確．] 4．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是____________．(填序號) ①若m⊥n，n∥α，則m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，則m⊥α； ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α； ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α. ③　[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，錯(cuò)誤； ②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤； ③中，

4、由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確； ④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤．] 5．如圖41-9，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是________．(填序號) 圖41-9 ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. ③　[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BD

5、E.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.] 6．如圖41-10所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 【導(dǎo)學(xué)號：62172227】 圖41-10 DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.] 7．(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥

6、β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) ②③④　[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤． 對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因?yàn)棣痢桅拢驭?，β沒有公共點(diǎn)．又m?α，所以m，β沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角

7、相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 8．如圖41-11，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________． 圖41-11 　[取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則AE⊥平面BB1C1C. 所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角． 設(shè)三棱柱的所有棱長為a， 在Rt△AED中， AE＝a，DE＝. 所以tan∠ADE＝＝，則∠ADE＝. 故AD與平面BB1C1C所成的角為.] 9.如圖41-12，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝B

8、C＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為____________． 圖41-12 　[設(shè)B1F＝x， 因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1＝， 設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h， 則DE＝h. 由面積相等得2×＝h， 所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中， B1E＝＝. 由面積相等得×＝x， 得x＝.] 10.(2017·南京模擬)如圖41-13，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別

9、是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 圖41-13 其中正確結(jié)論的序號是____________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172228】 ①②③　[由題意知PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC， ∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF， 故①②③正確．] 11．(2017·鹽城模擬)如圖41-14，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥B

10、C，BC＝CC1. 設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E，求證： (1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 圖41-14 [證明]　(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)， 又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC. 因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1. 因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1. 因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC

11、1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 12．(2016·蘇州期末)如圖41-15，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O. (1)求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面； (2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求證：OD⊥平面A1C1FE. 【導(dǎo)學(xué)號：62172229】 圖41-15 [證明]　(1)連結(jié)AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)

12、，所以EF是△ABC的中位線， 所以EF∥AC. 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1. 所以EF∥A1C1， 故A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． (2)連結(jié)BD，因?yàn)橹崩庵蠨D1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1， 所以DD1⊥A1C1. 因?yàn)榈酌鍭1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1. 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因?yàn)镺D?平面BB1D1D，所以O(shè)D⊥A1C1. 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE， 所以O(shè)D⊥

13、平面A1C1FE. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．如圖41-16，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是____________．(填序號) 圖41-16 ①O是△AEF的垂心；　　　 ③O是△AEF的內(nèi)心； ③O是△AEF的外心； ④O是△AEF的重心． ①　[由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO

14、， 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， 所以O(shè)為△AEF的垂心．] 2．如圖41-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF. 圖41-17 a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)． 設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2， ∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.] 3．(2016·四川高考)如圖41-

15、18，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. 圖41-18 (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由； (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. [解]　(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)． 理由如下：連結(jié)CM， 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形， 所以CM∥AB. 又AB?平面PAB，CM?平面PAB， 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證

16、明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD， 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，M為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD， 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 4．⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB＝45°，F(xiàn)為的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖①)． ①　　　　?、? 圖41-19 (1)求證：OF∥平

17、面ACD； (2)在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由． [解]　(1)證明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°， 又因?yàn)镕為的中點(diǎn)， 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC， 又AC?平面ACD，OF?平面ACD， 所以O(shè)F∥平面ACD. (2)存在，E為AD中點(diǎn)， 因?yàn)镺A＝OD，所以O(shè)E⊥AD. 又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直． 所以O(shè)C⊥平面OAD. 又AD?平面OAD，所以AD⊥OC， 由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線， 所以AD⊥平面OCE. 又AD?平面ACD， 所以平面OCE⊥平面ACD.