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《畫法幾何及工程制圖》 講稿與教案 數(shù)理與軟件工程學院 緒論 主要內容 課程性質、主要任務、學習目的、學習方法 教學目的 了解本門課程的重要性和學習內容 學時分配 1學時 重點與難點 學習目的、學習方法 教學方式 教學手段 多媒體教學。 其它說明 1.準備兩張建筑施工圖、零件裝配圖作為展示用，加深學生對本門課程內容的了解。 2.進入學校主頁，點擊網(wǎng)絡課程，登錄eYouCT即可找到“工程圖學”網(wǎng)絡課程。這是學好本門課程最佳的輔助方式，是工程圖學教研室自主研制的網(wǎng)絡輔助教學課件。 3.逐一點名，相互溝通，為后續(xù)教學互動打下基礎。 4.指定課代表。 5. 安排學生到二教一樓制圖模型室購買《工程制圖基礎》教材一套，每套21元；購買繪圖儀器，每套21元；領取圖板、丁字尺等繪圖工具。由班干部、課代表負責統(tǒng)一收齊費用，統(tǒng)一購買、統(tǒng)一領取。 課程名稱：畫法幾何及工程制圖。 課程性質：是工科專業(yè)的一門技術基礎課。 畫法幾何是研究在平面上用圖形表示形體和解決空間幾何問題的理論和方法的學科。畫法幾何是機械制圖的投影理論基礎，它應用投影的方法研究多面正投影圖、軸測圖、透視圖和標高投影圖的繪制原理，其中多面正投影圖是主要研究內容。畫法幾何的內容還包含投影變換、截交線、相貫線和展開圖等。 1103年，在中國宋代李誡所著的《營造法式》一書中的建筑圖基本上符合幾何規(guī)則，但在當時尚未形成畫法的理論。 1799年，法國數(shù)學家蒙日發(fā)表了《畫法幾何》一書，提出用多面正投影圖表達空間形體。這為畫法幾何奠定了理論基礎。以后的各國學者又在投影變換、軸測圖，以及其他方面不斷提出新的理論和方法，使這門學科日趨完善。 我們知道，任何建筑物及其構件的形狀、大小和做法，都不是用普通語言或文字能表達清楚的。必須按照一個統(tǒng)一的規(guī)定畫出它們的圖樣，作為施工、交流的依據(jù)，作為表達設計師構思的手段。因此，工程圖樣被喻為工程界的語言，是工程技術部門的一項重要的技術文件。 本門課程和工程測量被認為是工程技術人員的兩大技能。 主要任務： 1.學習投影法的基本理論和應用； 2.培養(yǎng)學生空間幾何問題的圖解能力； 3.培養(yǎng)學生的空間想象能力和空間思維能力； 4.認識國標，應用國標； 5.培養(yǎng)學生閱讀、繪制工程圖樣的技能； 6.培養(yǎng)學生的工程意識，養(yǎng)成認真負責的工作態(tài)度和一絲不茍的工作作風。 學習方法： 首先要多看、多想、多比劃，盡快建立空間概念； 其次要知道本門課程就是從點、到線、到面、再到體，一環(huán)扣一環(huán)，逐步深入。因此，每一節(jié)課、每一章節(jié)內容都應該很好地掌握，否則后續(xù)章節(jié)就無法學習。 再者，就是要勤做練習、快做練習。課后如果不及時完成作業(yè)，將會大大降低學習效率。 另外，要用好網(wǎng)絡課程。 需要說明的是，學好任何一門課程，都沒有捷徑可走，都要付出艱辛的努力。 本課程與立體幾何的區(qū)別與聯(lián)系： 由于該課程解決的是空間問題，因此立體幾何學的好與差，對這門課程肯定有影響。但只要同學們掌握了學習方法，認真刻苦，也是完全可以掌握本學科知識的?！读Ⅲw幾何》是在立體上解決一些平面幾何問題，而《畫法幾何》則是將立體進行投影，在平面上解決空間問題。 第一章 制圖的基本規(guī)定 主要內容 圖幅、標題欄、尺寸、字體、比例的基本規(guī)定 教學目的 掌握制圖國標，規(guī)范制圖行為 學時分配 2學時 重點與難點 尺寸標注、比例的概念 教學方式 教學手段 多媒體教學。 學生容易出現(xiàn)的問題 圓弧中半徑與直徑的標注 作業(yè)及思考題 P7～P9所有習題 1.1 國家標準 為了便于指導生產(chǎn)和進行技術交流，必須對圖樣的表達方法、尺寸標準、所采用的符號等，制定出統(tǒng)一的規(guī)定。這個規(guī)定就是國家標準（簡稱國標）。 國標符號說明： GB——強制性國家標準 GB/T——推薦性國家標準 GB/Z——指導性國家標準 GBJ——建筑國家標準 具體如： GB/T 14689-1993——1993年制定的圖紙幅面推薦性國家標準； GB/T 14690-1993——1993年制定的比例推薦性國家標準； GB/T 14691-1993——1993年制定的字體推薦性國家標準； GBJ1-1986——房屋建筑制圖統(tǒng)一標準。 1.2 圖紙幅面及圖框 一、圖紙幅面（簡稱圖幅） 圖幅——繪圖所采用的圖紙幅面，是為了合理使用圖紙，便于管理，裝訂而規(guī)定的。我們應優(yōu)先采用下表所列的尺寸（GB/T 14689-1993）。 幅面代號 A0 A1 A2 A3 A4 B*L 8411189 594841 420594 297420 210297 e 20 10 c 10 5 a 25 表中尺寸單位為mm。 L（長邊）=B（短邊）。 A1號幅面為A0號幅面的對裁，A2號幅面為A1號幅面的對裁，依此類推。 圖紙有模式和立式兩種。A4只用立式。為了縮微復制，需畫對中標志。圖紙必須按圖幅大小裁，且要畫圖框線。 若有必要，可按國標的規(guī)定加長圖紙長度。 二、圖框格式 圖框格式分為不留裝訂邊和留裝訂邊兩種格式，但同一套圖紙只能采用一種格式。無論哪種格式都可以采用橫式布置或立式布置。 不留裝訂邊格式： (a) 橫式  (b) 立式 留裝訂邊格式： (a) 橫式 (b) 立式 1.3 標題欄、會簽欄 圖紙的標題欄簡稱圖標，用于對工程名稱、施工單位、設計單位、圖名、圖紙編號、比例、設計者及審核者等主要信息進行說明。 在我們學習階段，我們建議使用“學生用標題欄”。具體格式和尺寸見教材或多媒體課件。 當設計人員較多時，需要在左側上方圖框線外畫出會簽欄，分欄數(shù)根據(jù)需要而定。 1.4 圖線 圖形是由圖線組成的，為了表示圖中不同的內容，便于識圖，并且能分清主次，必須使用不同的線型和不同粗細的圖線。每種線條則代表不同的用途和意義。 一、圖線的型式、寬度及用途 圖線有：實線、虛線、點劃線、折斷線、波浪線等型式。 每種線型有三種不同的線寬。具體見下表：  名稱 線 型 線寬 一 般 用 途 實 線 粗 b 主要可見輪廓線 中 0.5b 可見輪廓線 細 0.35b 可見輪廓線、圖例線等 虛 線 粗 b 見有關專業(yè)制圖標準 中 0.5b 不可見輪廓線 細 0.35b 不可見輪廓線、圖例線等 點 劃 線 粗 b 見有關專業(yè)制圖標準 中 0.5b 見有關專業(yè)制圖標準 細 0.35b 中心線、對稱線等 雙 點 劃 線 粗 b 見有關專業(yè)制圖標準 中 0.5b 見有關專業(yè)制圖標準 細 0.35b 假想輪廓線、成型前原始輪廓線 折斷線 0.35b 斷開界線 波浪線 0.35b 斷開界線 線寬b是指圖線的粗度。它應從0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1.0、1.4、2.0(mm)線寬系列中選用?？梢钥闯?下一級約是上一級的倍。 配套使用的線寬——為線寬組。它應根據(jù)圖形的復雜程度（線條的密集程度）、繪圖比例的大小，按下表所列線寬組選用。 線寬比 線 寬 組（mm） b 2.0 1.4 1.0 0.7 0.5 0.35 0.5b 1.0 0.7 0.5 0.35 0.25 0.18 0.35b 0.7 0.5 0.35 0.25 0.18 （注：講清楚合理選用線寬組的重要性） 圖紙的圖框線、圖標線的要求詳見P6表1-5。 二、各種線型的畫法 （對以下要求舉實例進行講解） 1.b選定后，則同一張圖中，同類線型寬度應保持一致。 2.虛線、點劃線、雙點劃線的線段長度和間隔，同類線應保持一致，且起止兩端應為線段，而不是點（一橫）。 3.點劃線、雙點劃線在較小圖形中繪制有困難時，可用細實線代替。當點劃線作為軸線或中心線時，應超出圖形輪廓2～3mm。 4.虛線、點劃線自身相交或與其它圖線交接時，均應為線段交接。當虛線為實線的延長線時，應留有間隔。 1.5 字體 這里的字體是指漢字、數(shù)字及符號，其高度尺寸系列為：1.8, 2.5, 3.5, 5, 7, 10, 14, 20mm，而字高即為字體的字號，漢字的最小字號是3.5號。可以看出，字高按的比率遞增。 工程圖樣中的漢字要求使用長仿宋體，并應采用國務院正式公布推行的《漢字簡化方案》中規(guī)定的簡化字，其字高與字寬的比例為1﹕。 一、漢字書寫 漢字應打格書寫，基本筆畫寫法如下： 基本要領： 注意起筆運筆收筆 橫筆互平豎筆挺直 注意搭配結構勻稱 規(guī)定字號格內書寫 選定字樣書寫端正 書寫筆畫粗細一致 單字排列整齊清潔 字組間隔字字均勻 二、數(shù)字及字母 數(shù)字及字母均可寫成直體或斜體（向右傾斜75較常用）。一般字體筆畫寬度為字高的十分之一（窄體字十四分之一，不常用）。 注意： 1.工程圖樣上書寫的漢字，不應小于3.5號，數(shù)字及字母不應小于2.5號。 2.當阿拉伯數(shù)字、字母或羅馬數(shù)字同漢字并列書寫時，其字高應比漢字小一號。 3.當字母單獨用作代號或符號時，不使用I、Z、O三個字母，以免同阿拉伯數(shù)字1、2、0相混淆。 4.數(shù)字與字母在書寫時，無需一一打格，初期繪圖可用細實線打上兩條字高控制導線。 1.6 比例 比例——指圖形與實物相對應的線性尺寸之比，如1：100，2：1等。1：100的含義就是圖紙上1個單位代表實際的100個單位。國標對比例的規(guī)定見教材P11。 比值大于1的為放大比例，比值小于1的為縮小比例。 若整張圖同一比例，可將其寫在標題欄中。若一圖紙上各圖形比例不同，則應將所用比例注寫在圖形下方圖名的右側。 圖紙上標注的數(shù)字均為物體的實際數(shù)字，與比例無關。 1.7 尺寸標注 在工程圖中，除了按比例畫出物體的形狀外，還必須標注各部分的實際尺寸，以便使用。 一個完整的尺寸由尺寸線、尺寸界線、尺寸起止符、尺寸數(shù)字等四部分組成。 一、尺寸線： 1、細實線 2、①尺寸線畫在兩尺寸界線之間，長度不宜超出尺寸界線（新國標）。應與被標注的長度方向平行。 ②互相平行的尺寸線，應從被注圖樣的輪廓線由近向遠整齊排列，小尺寸在里，大尺寸在外。 ③距圖形輪廓線最近的一排尺寸線，它們之間的距離不宜小于10mm。平行排列的尺寸線間距，宜為7—10mm。同一張圖紙上，間距大小應保持一致。 圖 1 3、輪廓線、軸線、中心線、尺寸界線及它們的延長線，一律不準用來作尺寸線。 二、尺寸界線： 用細實線繪制。 由圖形輪廓線，軸線或中心線處引出，但引出端應留有2mm以上間隔，另一端超出尺寸線2～3mm。一般與被注長度垂直。 標準規(guī)定的幾種特殊情況： 1．必要時，圖樣輪廓線、中心線可作尺寸界線。 2．標注直徑、半徑的尺寸界線，由圓弧輪廓線代替。 3．尺寸界線與被注長度不垂直時的畫法。 4．標注角度的尺寸界線沿徑向引出。 5．標注弧度時的尺寸界線畫法。 6．標注軸測圖尺寸時，尺寸界線平行于相應的軸測軸。 三、尺寸起止符號： 尺寸線與尺寸界線的相交點是尺寸的起止點。在起止點上必須畫出尺寸起止符號。國標規(guī)定有三種型式：⑴45中粗斜短線；⑵尺寸箭頭；⑶小圓點。 1、在建筑圖中，圖樣上的線性尺寸常用45角中粗斜短線，其線型為中粗，傾斜方向與尺寸界線成順時針45角，長度為2-3mm，兩端伸出長度各為一半。圖1-19（a）。 2、在機械圖中，必須用箭頭表示。在土建圖中，標注直徑、半徑、角度、弧長等，起止符用箭頭表示。圖1-19（b）。 圖 2 3、當相鄰尺寸界線間隔很小時，起止符采用小圓點。在軸測圖上，規(guī)定線性尺寸起止符用小圓點表示。圖1-19（c）。 圖 3 四、尺寸數(shù)字： (采用3.5號字注寫。) 一般標準規(guī)定，見書P14。 注意： 1、寫數(shù)字前先在尺寸線上方或左方打好字高的上下稿線，字底的下稿線距尺寸線0.5mm。 2、標注水平尺寸時，無論是在圖形上方或下方，數(shù)字均應注在尺寸線上方，字頭向上。 3、標注豎直尺寸時，無論是在圖形右側或左側，數(shù)字均應注在尺寸線左側，字頭向左。 五、尺寸的排列： 見書P15。圖1-23、圖1-24。 六、半徑、直徑、球及角度、弧長、弦長的尺寸標注。 第二章 制圖的基本技能 主要內容 繪圖工具與儀器、幾何作圖、繪圖方法 教學目的 培養(yǎng)學生基本繪圖技能 學時分配 3學時（其中學生課內繪圖2學時） 重點與難點 平面圖形尺寸分析、繪圖方法 教學方式 教學手段 普通教學。 學生容易出現(xiàn)的問題 定型、定位、總體尺寸的區(qū)別與聯(lián)系 繪制第一張圖時的布圖 作業(yè)及思考題 P10～P12所有習題 繪圖 T01 基本練習(A3) 其它說明 因在普通教室上課，故將此講課與下一講對調 2.1 繪圖儀器、工具及其使用方法 圖板、丁字尺、三角板、圖板、比例尺、擦圖片、曲線板、圓規(guī)、分規(guī)、點圓規(guī)、鴨嘴筆、接長桿等繪圖儀器和工具的使用。 重點關注比例尺和鉛筆： 比例尺——把實際尺寸，按比例縮小或放大。 比例尺上刻有不同的比例，可直接在圖紙上量取物體的實際尺寸。 常用比例尺有： 百分比例尺： 1:100、1:200、1:250、1:300、1:400、1:500。 千分比例尺：1:1000、1:1250、1:1500、1:2000、1:2500、1:5000。 比例尺上刻注數(shù)字單位為米。 應注意：比例尺只能用來量度尺寸，不能用來畫線。 鉛筆 B——軟。 H——硬。 常用3H、2H、HB、B。 削鉛筆時，保留符號。削成錐形或鏟形。 鉛芯露出6-8mm。其余25-30mm。 使用鉛筆時，用力要均勻，長線應一邊畫一邊旋轉鉛筆。 圖 4 2.2 幾何作圖 （作簡要提示，安排自學） 一、幾種基本作圖 （一） 平行線。 （二） 垂直線。 （三） 平分線段。 （四） 等分線段。 （五） 分線段成定比。 （六） 線段的斜度和錐度。 二、多邊形 三、圓弧連接 直線與圓弧或圓弧與圓弧的光滑連接——相切。連接點就是切點。 ⒈直線與圓弧連接。 ⒉直線與兩圓弧連接。 ⒊圓弧與兩直線連接。 ⒋圓弧與直線及圓弧連接。 ⒌圓弧與兩圓弧連接。 2.3 平面圖形的尺寸分析及圖畫步驟 一、尺寸分析 按作用分：定形、定位尺寸。由于各幾何圖形和線段間的相對位置關系，在標尺寸時，須引入尺寸基準。 （一）尺寸基準 尺寸基準是標注尺寸的出發(fā)點，常用的基準是對稱圖形的中心線，較大圖的軸線，較長的水平或豎直線。 （二）定形尺寸 定形尺寸——確定形狀和大小的尺寸。 （三）定位尺寸 定位尺寸——確定相對位置的尺寸。 二、線段分析 （一） 已知線段 定形定位尺寸已知。 （二） 中間線段 定形尺寸已知，定位尺寸只知一個方向。 （三） 連接線段 只知定形尺寸。 三、繪圖步驟、方法 （簡單講解，自學） 2.4 繪圖的方法和步驟 （自學） 一、用儀器畫圖 1.繪圖前的準備工作： ⑴、牢記國標。了解所繪圖樣的內容和要求。 ⑵、準備好繪圖所用的所有儀器、工具。 ⑶、固定圖紙。 2.畫底稿： ⑴、用2H鉛筆畫底稿。先畫圖框、標題欄，定出比例，再根據(jù)圖形及尺寸標注所需范圍，自行布置，使各個圖形勻稱，布置在圖幅內。 ⑵、先畫圖形的對稱軸線，中心線和主要圖線，再畫各個細部，最后畫尺寸界線和尺寸線。將圖中應寫的字先輕輕打出格子。（底稿上的虛線、點劃線段及間隔長度要合乎標準。） ⑶、底稿畫完后，檢查，擦去不必要的線條。 3.描深： （圖紙上墊上干凈的稿紙，保持圖紙干凈。） 用HB或B鉛筆，對細實線、點劃線用H或2H。 加深次序為：先曲后直、先實后虛、先粗后細。 加深完后再寫數(shù)字和文字。 二、描圖和復制 描圖筆、描圖紙，描圖順序與鉛筆描深的順序相同。（蘭圖） 三、徒手作圖 實際工作中，如選擇或配置視圖，建筑或機械上的局部修改或修理，調研中收集資料等。往往需徒手作圖。（基本技能。） 徒手作圖（畫草圖）。特點：圖紙不必固定，目測實物，遵從投影關系。 效果：圖紙盡量符合標準，比例恰當，完整清晰。 要畫好草圖：掌握技巧，勤學苦練。 技巧：P22-P23。 第三章 投影理論及點的投影 主要內容 點在二面、三面投影體系中的投影 投影變換概念及點的投影變換 教學目的 掌握投影規(guī)律 學時分配 2學時 重點與難點 重點：點在三面投影體系中的投影 難點：點在四個分角中的投影 教學方式 教學手段 多媒體教學。 學生容易出現(xiàn)的問題 1. 對特殊點，如：OY軸上的點、水平投影面上的點、冊立投影面上的點，其側投影應在OYH上，還是在OYW上。 2. 換面法中坐標關系。 作業(yè)及思考題 P151～P153所有習題 其它說明 3.1 投影（projection）概念 在日常生活中，常見到投影的現(xiàn)象。例如，在電燈與桌面間放一塊三角板，則在桌面上會出現(xiàn)三角板的影子。在陽光的照射下，地面上會出現(xiàn)人、樹，以及各種建筑物的影子。這些現(xiàn)象就是投影的現(xiàn)象。 投影中心(center of projection）──點光源S。 投射線（投影線）──投下影子的光線。從投影中心發(fā)出的射線。 投影面（projection plane）──獲得投影的平面。 投影（projection）──通過投射線將物體投射到投影面上所得到的圖形。 投影法（projection method）──由投影中心或投射線把物體投射到投影面上，從而得出其投影的方法。 投影法有中心投影（central projection）和平行投影（paralell projection）兩種。 一、中心投影法： 投影線在有限遠處相交于一點（投影中心）的投影法稱為中心投影法。所得投影稱為中心投影。 如人的視覺、照相、放電影等，具有中心投影的性質。主要應用于繪制建筑物富有逼真感的立體圖，也稱透視圖。 二、平行投影法 投影線在有限遠處相交于一點（投影中心）的投影法稱為平行投影法。所得投影稱為平行投影。 正投影法──投射線⊥投影面。 平行投影法 斜投影法──投射線傾斜于投影面。 (a)斜投影法 (b)斜投影法 平行投影法 工程制圖中多采用平行投影法，尤其是正投影法。 三、平行投影的基本特性 1）同素性 一般情況下點的投影仍為點，線段的投影仍為線段。 2）從屬性 點在線段上，則點的投影一定在該線段的同面投影上。點M在線段AB上，那么點M的投影m也一定在線段AB的投影ɑb上。 同素性 從屬性和定比關系 3）平行性 空間兩直線平行，其同面投影亦平行?？臻g直線AB∥CD，其投影ɑb∥cd。 4）定比性 點分線段之比，投影后保持不變。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上圖所示。 空間兩平行線之比，等于其投影之比。 5）積聚性 當直線或平面平行于投影方向時，則直線的投影積聚為點，平面的投影積聚為直線，稱積聚性。 6）實形性（度量性或可量性） 當直線或平面平行于投影面時，則直線的投影反映實長，平面的投影反映實形。 7）類似性 平行投影的積聚性 平行投影的實形性  平行投影的類似性 直線或平面圖形傾斜于投影面時，直線的投影變短了；而平面圖形變成小于原圖形的類似形，稱類似性。 四、 工程上常用的幾種投影圖 1.多面正投影圖： 優(yōu)點：作圖方便，便于度量，應用最廣。 缺點：直觀性不強，缺乏投影知識的人不易看懂。 2.軸測投影圖： 平行投影的一種。只需一個投影面，同時反映空間形體的三維。 優(yōu)點：直觀性強。在一定條件下也能直接度量。 缺點：繪制較費時。表示物體形狀不完全。一般作正投影圖的輔助圖樣。 3.透視投影圖： 優(yōu)點：圖形十分逼真。 缺點：不能度量，繪制復雜。 4.標高投影圖： 正投影的一種。主要用來表示地形。 采用地面等高線的水平投影，并在上面標注出高度的圖示法。 3.2 點的二面投影（two-plane projection of point） 一、二面投影體系的建立及點的二面投影 點是形體最基本的元素。在幾何學中無大小、薄厚、寬窄，只占有位置?？臻g點用大寫字母表示，投影點用小寫字母表示。 圖 2 設立一個投影面P，則A1、 A2、 A3點在投影面P上的正投影是唯一的。但反過來，若知道了點的一個投影，卻不能確定點的空間位置（缺少一個坐標）。因此要確定一個點的空間位置，只有一個投影是不夠的。 現(xiàn)設立兩個互相垂直的投影面正立投影面V（也稱正面或V面）、水平投影面H（也稱水平面或H面），從而構成二投影面體系。V面和H面的交線OX稱為投影軸。 A點的在V面上的投影稱為A點的正面投影或A點的正投影、A點的V投影，用a’表示。 A點的在H面上的投影稱為A點的水平投影或A點的H投影，用a表示。 圖 3 我們需要把這種空間關系在一種圖紙上（一個平面上）表達出來。保持V面不動，H面繞OX軸向下旋轉90直至與V面重合，從而得到點的二面投影圖。為簡便起見，投影圖中投影面的邊框不必畫出。 在點的二面投影體系中，X、Y、Z三個坐標均能體現(xiàn)，故點的二面投影就唯一確立了點在空間的相對位置（相對二面投影體系）。 圖4 容易得出點在二面投影體系中的投影規(guī)律： ⒈點的兩投影的連線⊥投影軸。證明。 ⒉投影點到投影軸的距離，反映該空間點到另一投影面的距離。 二、點在四個象角中的投影 平面本身是可以無限延長的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它們把空間分為四個部分──四個象限或象角。分別用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ標記。 畫投影圖時仍然保持V面不動，前H面向下旋轉與下V重合，后H面向上旋轉與上V重合，只畫OX軸，不必注投影面標記，也不用畫邊框。 ⒈在四個象角內的點。 （1） A點在Ⅰ象角內。其正面投影a’在OX軸上方，水平投影a在OX軸下方。 （2） B點在Ⅱ象角內。H面之上，V面之后。正投影b’在OX軸上方，水平投影b也在OX軸上方。 （3） C點在第Ⅲ象角內。其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。 （4） D點在Ⅳ象角內。其二投影d、d’都在OX軸上方。 ⒉在投影面上、投影軸上的點。 3.綜上所述，從投影圖中點的投影與OX軸的相對位置，可判斷空間點在投影面體系中所處位置，反之亦然。 （1） 在投影圖中，點的水平投影位于OX軸下方，則該點必位于V面之前；反之則在V面之后。 （2） 點的正面投影位于OX軸上方，則該點必位于H面之上；反之則在H面之下。 （3） 若點有一個投影位于OX軸上，則該點必在投影面上。 3.3 三投影面體系及點的三投影 由兩投影面體系，能否唯一確定形體的形狀和大小呢？不一定！ 舉例如下：如圖，根據(jù)這一V-H兩面投影可同時做出立方體、三棱柱和四分之一圓柱等。因此需設立三投影面體系。 一、三投影面體系： 設立一個同時垂直于H面和V面的第三投影面W面──側立投影面（也稱側面或W面）。 H面與W面交于OY軸。V與W交于OZ投影軸。三投影軸交點為原點，以O標記。 與兩投影面體系一樣，在三投影面體系中，投影面展開時，保持V面不動，假想將OY軸剪開，H面繞OX軸向下旋轉與V面重合，W面繞OZ軸向右旋轉與V面重合。而OY軸展開后分為兩條，在H面上的標為OYH，在W面上的標為OYW 。 二、點的三投影： 將A點向W面投影，其投影稱為A點的側面投影或側投影、W投影，用a”標記。 點在三面投影體系中，投影規(guī)律不變。 (1) 點的投影連線⊥投影軸。 (2) 投影點到投影軸之距=空間點到另一個投影面之距。 注：“長對正，高平齊，寬相等?！? 三、由點的兩個投影作第三個投影 已知點A的兩投影a、a’，作出其第三投影a” 已知點的正面投影和其側面投影，求其水平投影 已知點的水平投影和側面投影，求作正面投影 四、點的三面投影與直角坐標的關系 XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空間點A到W面的距離。 YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空間點A到V面的距離。 ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空間點A到H面的距離。 例3 已知空間點D的坐標（20，15，10）,試作其投影圖。 五、特殊位置點的投影 舉例一一講解。 3.4 兩點的相對位置 一、一般情況 空間兩個點具有前后、左右、上下位置關系。 二、特殊情況 重影點：當空間兩點的連線⊥某個投影面時，它們在該面上的投影重合。 由于重影，有可見與不可見問題， 不可見用（）將投影括起來。 注意:重影點是相對于投影面而言的 例 1：已知點A的兩投影ɑ和ɑ′，以及點B在點A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，試確定點B的投影。 例2 ：已知A、B、C、D的投影圖，判斷其相對位置 3.5 投影變換（projection transformation）概述及點的投影變換 一、概述 投影變換就是通過改變空間幾何元素對投影面的相對位置，從而簡化求解問題的一種方法。 1、 投影變換的方法 （1） 旋轉法——投影體系不動而轉動空間幾何要素。 （2） 換面法——保持空間幾何要素位置不動,設立新的投影面代替舊的投影面,使新投影面處于有利于解題的位置,求出新投影的方法。 本課程僅介紹換面法。 2、 建立新投影面的原則 ①新設立投影面必須⊥保留投影面，以組成新的正投影面體系，利用正投影規(guī)律作圖。 ②新投影面對幾何元素必須處于有利于圖解的位置。如平行或垂直等。 3、投影面的展開 二、 點的換面 在V1/H中，A(a1＇,a)符合點的投影規(guī)律，所以將V1展開與H面共面，a1＇a⊥O1X1 且a1＇→O1X1=A→H=a＇→OX=ZA即 〈1〉 新投影和保留投影的連線垂直于新軸； 〈2〉 新投影到新軸的距離等于被代替的舊投影到舊軸的距離。 舉例講解點的一次、二次、三次換面。 第四章 直線的投影 主要內容 一般位置線、特殊位置線的投影、兩直線的相對位置 直角三角形法、換面法 學時分配 4學時 重點與難點 重點：直角三角形法、換面法、 難點：垂直問題 教學方式 教學手段 多媒體教學與普通教學相結合。 學生容易出現(xiàn)的問題 直線對投影面的傾角的真正含義； 把長度的投影規(guī)律應用在角度的投影上 作業(yè)及思考題 P155～P158所有習題 其它說明 4.1 直線的投影（projection of line） 直線的投影一般情況下仍為直線。 兩點決定一條直線，確定了直線上兩點的投影也就確定了直線的投影。即直線上兩點的同面投影的連線就是直線的投影。 4.2 一般位置線 一、 投影特性 一般位置線——與三個投影面既不垂直也不平行的直線。 不具有積聚性和度量性，而且各個投影與投影軸的夾角不能反映直線對投影面的傾角α、β、γ。 對于一般位置線，我們主要解決其實長和傾角。所采用的方法有兩種：直角三角形法、換面法。 二、直角三角形法 直角三角形中四個要素：知二求二 例1 、已知ab、a＇，且α=30,求a＇b＇。 例2、已知E(e,e＇),求作直線EF實長為30mm且F點在Z軸上 例3 、已知AB兩點，在H 面上求作一點C，使得αAC=30，αBC=45。 4.3 特殊位置線 一、投影面平行線（parellel line） 水平線（horizontal line） α=0，β=實長投影與OX軸的夾角、γ=實長投影與OYH的夾角。 正平線（frontal line） α=實長投影與OX軸的夾角，β=0、γ=實長投影與OZ的夾角。 側平線（profile line） α=實長投影與OYW軸的夾角，β=實長投影與OZ的夾角、γ=0。 二、投影面垂直線（perpendicular line） 正垂線（horizontal-profile line） α=0，β=90，γ=0。 鉛垂線（vertical line） α=90，β=0，γ=0。 側垂線（frontal horizontal line） α=0，β=0，γ=90。 4.4 直線上的點 一、 直線上的點（從屬性、定比性） 求做直線上的點：點在直線上 ，點的投影在直線的同名投影上。 判斷：對于一般位置線，點的投影在直線的同名投影上，則點在直線上 。對于特殊位置線，視給定的投影，還需應用定比性。如：給出正面與水平投影的側平線、給出正面、側面投影的水平線、給出水平、側面投影的正平線等。 定比分點：做法。 例1、 已知側平線AB的兩投影和直線上S點的正面投影s＇，求其水平投影s. 例2、 已知直線AB的水平投影ab和A點的正面投影a＇，且AB=20mm，試求直線AB的正面投影a＇b＇；在直線AB上取一點C，使AC=15mm，求C點的兩投影。 4.5 兩直線的相對位置 平行（parallel）、相交（intersection）、交叉（skew） 1. 兩直線平行 求做：兩直線平行，其同名投影均平行 判斷：對一般位置線，兩直線同名投影都平行，則兩直線平行。特殊位置線還需應用定比法或作第三投影。 應用：（1）過直線外一點求作直線平行于已知直線 （2）根據(jù)兩直線投影判斷它們在空間是否平行？ 例4、給定兩條側平線的正面投影和水平投影，判斷之 2. 兩直線相交 兩直線相交，其同名投影必相交，且投影的交點正是空間同一點的投影（即符合點的投影規(guī)律）。判斷時，若其中一條線為特殊位置線，視情況還需應用定比法或作第三投影。 例5 如圖，AB為一般位置直線、CD為側平線，試判別這兩條直線是否相交？ 3．兩直線交叉 重影點的確定與判別。 4. 相交、交叉的特殊情況——垂直 直角定理：二直線垂直相交（或交叉），其中有一條直線為投影面平行線，則二直線在所平行的投影面上的投影仍垂直。 直角定理逆定理：二直線之一為某投影面平行線，且二直線在該投影面上的投影垂直，則空間兩直線垂直。 下列直線互相垂直： 下列直線互相不垂直： 例6 已知矩形ABCD的邊AB為水平線，試完成圖中矩形的兩面投影。 例7求作交叉二直線（其中之一為垂直線）的公垂線。 例8完成等腰直角三角形ABC的兩面投影（直角邊BC在水平線MN上）。 4.6 直線的換面（詳細講解直線的一次、二次、三次換面。） 1． 把一般位置直線變換為投影面的平行線 可以求出直線的實長和傾角。 求直線的實長和傾角β 求直線的實長和а角 2． 把投影面平行線變換為投影面垂直線 主要解決于直線有關的度量問題（兩直線間的距離）和定位問題（求線面交點）。 圖6—10 將正平線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 3．直線的二次換面 把一般位置直線變換成投影面的垂直線，只經(jīng)過一次換面是不能實現(xiàn)的，因為垂直于一般位置直線的平面是一般位置平面，它與原來的兩個投影面均不垂直，不能構成正投影體系，所以必須經(jīng)過兩次換面。第一次，將一般位置直線變換為新投影體系中的投影面平行線；第二次，將投影面平行線變換成另一投影體系中的投影面垂直線。 圖 4.7直線的跡點 直線與投影面的交點稱為直線的跡點。 M____ 水平跡點 N—— 正面跡點 S—— 側面跡點 特性：1，跡點是直線上的點，跡點的投影必在直線的同面投影上。 2，跡點是投影面上的點，故跡點的一個投影必在投影軸上。 因此：直線的投影和投影軸的交點就是直線相應跡點的一個投影，另一投影可根據(jù)直線上的點的投影規(guī)律作出。 第五章 平面的投影 主要內容 平面的投影、平面上的點和線 最大斜度線、平面的換面 學時分配 4學時 重點與難點 重點：最大斜度線、換面法、 難點：最大斜度線 教學方式 教學手段 多媒體教學與普通教學相結合。 學生容易出現(xiàn)的問題 不能正確理解最大斜度線的真正含義； 作業(yè)及思考題 P159～P162所有習題 其它說明 5.1 平面的表示 1．用平面的幾何元素的投影表示 1、 三點 A、B、C——a、b、c,　a＇、b＇、c＇,a＇＇、b＇＇、c＇＇ 2、 一點一直線——AB、C 3、 相交二直線——AB、AC 4、 平行二直線——AB與CD 5、 平面圖形ABC 2．用跡線（trace）來表示平面 （1）跡線的概念 空間平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。 水平跡線——PH（horizontal trace） 正面跡線——PV（frontal trace） 側面跡線——PW（profile trace） （2） 跡線的投影特點和畫法 跡線是投影面內的直線。 畫法：只畫出與跡線本身重合的那個投影，并加以標記，其余兩投影在相應的投影軸上，不畫出并省略標記。 5.2 平面對投影面的相對位置及投影特征 一、 一般位置面 與三投影面均傾斜α、β 、γ ，α----坡度，三面投影具有類似性。 二、 投影面垂直面 垂直于某一個投影面，分鉛垂面（vertical plane）、正垂面（horizontal-profile plane）、側垂面（frontal horizontal plane），反映α、β、γ。積聚投影可用跡線PH或PH表示。 三、 投影面平行面（parallel plane of projection plane） 平行于某一個投影面（必然垂直于另外兩個投影面），分水平面（horizontal plane）、正平面（frontal plane）、側平面（profile plane）。 5.3平面上的點和線 一、平面上的點和線 點在面上，點在面內的線上。反之亦然。 直線在平面上，直線過面內二已知點或過面內一點且平行于面內一直線。反之亦然。 例１　△ABC,E∈AB,F∈AC,則EF∈平面ABC? 例2 CD∥EF,則CD∈平面ABC？ ——一點一方向 例3 給定M(m,m＇), △ABC, 判斷M∈平面ABC? 例4 給定△ABC和k＇，且K∈平面ABC,求k 例5 補全平面圖形的正面投影。 例6 給定△ABC，在其上作一條水平線且距H面20mm。 二、過點、過線作平面 1.過點作面 1) 過已知點作一個水平面 2) 過已知點作一個正垂面且α=30 2.過線作面 例7 AB是水平線，過AB作水平面P，作鉛垂面Q 例8 CD是鉛垂線,過CD作鉛垂面R且γ=45 三、平面內的投影面平行線 5.4 最大斜度線法求平面的傾角 給定平面內垂直于該平面內投影面平行線的直線稱為該平面的最大斜度線。其中，垂直于水平線的直線稱為對面的最大斜度線，垂直于正平線的直線稱為對面的最大斜度線，垂直于側平線的直線稱為對面的最大斜度線。對面的最大斜度線也稱最大坡度線（一小球在平面上的自由滾動路線）。 1、空間分析： 2、作圖要點： 1）在平面內作某投影面的平行線 2) 過面內任一點在面內作平行線的垂線 3) 該垂線即為該投影面的最大斜度線 4) 求該最大斜度線對該投影面的傾角=平面的傾角 2、 投影圖上完成過程 討論：1）一條最大斜度線能求出α、β 、γ？ 2）最大斜度線給定，平面確定否？ 例9已知直線EF是某一平面對H面的最大斜度線，求該平面的β 5.5 平面的換面 一、將一般位置平面變換為投影面垂直面 空間分析：如果將平面內的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面就變換成了新投影面的垂直面。 投影作圖：在平面內取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。 例 已知一般位置平面ABC的兩投影，試求該平面對H面的傾角α。 解 欲求一般位置平面△ＡＢＣ對H面的傾角α，應當保留H面，用Ｖ1面替換V面，建立V1/H新投影體系，是平面成為新投影面V1的垂直面。 求平面ABC的α角 二、 把投影面垂直面變換為投影面平行面 例 試求鉛垂面△ＡＢＣ的實形。 求三角形實形 三、平面的三次換面 第六章 直線、平面的相對位置關系 主要內容 直線與平面、平面與平面的平行、相交、垂直 點、線、面綜合問題 學時分配 4學時 重點與難點 重點：換面法求解 難點：綜合問題空間分析 教學方式 教學手段 多媒體教學與普通教學相結合。 學生容易出現(xiàn)的問題 垂直問題 作業(yè)及思考題 P163、P164、P167、P169 其它說明 6.1 平行關系 1．直線與平面平行 幾何條件：如果平面外的一直線和這個平面上的任一直線平行，則此直線平行于該平面，反之亦然。 l 作一直線與平面平行（圖6-1） l 判定線面平行（圖6-2） 圖6-3 圖6-4 例1 過點K作一水平線，使之平行于ΔABC（圖6-3） 例2 過點K作一鉛垂面（用跡線表示），使之平行于直線AB（圖6-4） 2．平面與平面平行 幾何條件：如果一平面上的兩條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直線，則此兩平面平行。 l 作兩平面平行（圖6-6） l 判定兩平面平行（圖6-7） 圖6-5 （圖6-6） （圖6-7） 6.2 相交關系 l 線面相交——求交點，判斷可見性（交點是可見與不可見的分界點） l 面面相交——求交線，判斷可見性（交線是可見與不可見的分界線） 一、 利用積聚性求交點、交線 例1 試求直線AB與平面P的交點（圖6—8） 圖6—8 例2 試求直線EF與△ABC的交點（圖6—9a、圖6—9b） 作圖步驟 （1）過k在△abc上作輔助線ad。 （2）作ad的正面投影aˊdˊ。 （3）求交點的正面投影kˊ。 （4）判斷可見性。 圖6—9a 圖6—9b 例3 試求平面ABC與平面P的交線（圖6—10a、圖6—10b、圖6—10c） 圖5—9c 圖5—9b 圖5—9a 例4 試求平面ABC與平面DEF的交線（圖6—11） （圖6—11） 二、 利用輔助平面法求交點、交線 當直線、平面均為一般位置時，其交點、交線不能直接求出，須通過輔助平面法求解。 1. 用輔助平面法求交點 作圖步驟(圖6—12) （1） 過已知直線做一輔助平面，如平面P(為便于作圖，常用特殊位置平面)； （2） 求出輔助平面與已知平面的輔助交線，如直線CD; （3） 求出輔助交線與已知直線的交點，如K點，即為所求交點。 圖6-12 例1 試求直線AB與平面EFG的交點（圖6—13）。 圖5—11a 圖5—11b 圖5—11c 圖5—11d 圖6—13 例2 求出直線AB與平面CDEF（CD//EF）的交點（圖6—14）。 圖6—14 2．用輔助平面法求交線 例3 試求平面ABC與平面DEF的交點（圖6—15）。 圖5—12 圖6—15 例4 求出AB與平面CDEF的交點（圖6—16）。 圖6—16 6.3 垂直關系 一、直線與平面垂直 幾何條件：如果一直線垂直于平面上的兩條相交直線，則此直線垂直于該平面。 反之，如果一直線垂直于一平面，則此直線垂直于該平面上的一切直線。 平面上的水平線和正平線為兩條相交直線，這樣，我們可以利用直角投影原理作一直線垂直于一平面，或判定一直線是否垂直一平面。 過點A作平面與直線AD垂直（圖6—17）；過點C作平面ABC的垂線CD（圖6—18）。 圖5—13 圖6—17 圖6—18 例1 試求點K到△ABC平面的距離（圖6—19） 作圖步驟 作垂線→求交點（垂足）→完成距離投影→求實長 圖6—19 例2 試過A點作一條直線，使其與直線BC垂直相交（圖6—20） 分析：過A點與直線BC垂直的線有無數(shù)條，形成一軌跡（集合），這個軌跡就是過點A與BC垂直的平面。所求直線必在此平面內，就是該平面與直線BC的交點和點A的連線。 作圖步