高考數學復習 17-18版 第9章 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質

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1、 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質 [最新考綱] 內容 要求 A B C 直線與平面垂直的判定及性質 √ 兩平面垂直的判定及性質 √ 1．直線與平面垂直 圖形 條件 結論 判 定 a⊥b，b?α(b為α內的任意一條直線) a⊥α a⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性 質 a⊥α，b?α a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b 2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直角，就說這兩個平面互相垂直． (2

2、)判定定理與性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質 定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?l⊥α 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　) (3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行．(　　) (4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平

3、面．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2017·南京模擬)設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，有下列四個命題： (1)若l⊥α，m?α，則l⊥m； (2)若l⊥α，l∥m，則m⊥α； (3)若l∥α，m?α，則l∥m； (4)若l∥α，m∥α，則l∥m， 則其中正確的命題是____________．(填序號) (1)(2)　[∵l⊥α，m?a，∴l(xiāng)⊥m，故(1)正確； 若l⊥α，l∥m，由線面垂直的第二判定定理，我們可得m⊥α，故(2)正確； 若l∥α，m?α，則l與m可能平行也可能垂直，故(3)錯誤； 若l∥α，m∥α，則l與m可能平

4、行也可能垂直也可能異面，故(4)錯誤．] 3．如圖41-1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________． 圖41-1 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 則△PAB，△PAC為直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC. ∴△ABC，△PBC也是直角三角形．] 4．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O， (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的____________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的

5、____________心． (1)外心　(2)垂心　[∵PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC， ∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC， ∴PA⊥BC， 又PO⊥BC ∴BC⊥平面PAO ∴AO⊥BC， 同理BO⊥AC，CO⊥AB， ∴O是△ABC的垂心．] 5．邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________． a　[如圖所示，取BD的中點O，連結A′O，CO，則∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角． 即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a， ∴A

6、′C＝＝a，即折疊后AC的長(A′C)為a.] 線面垂直的判定與性質 　如圖41-2所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB. 圖41-2 求證：PA⊥CD. 【導學號：62172224】 [證明]　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°. 設AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO. 因為PD⊥平面ABC，CD?平面

7、ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD. [規(guī)律方法]　1.證明直線和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理； (2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)； (3)面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)； (4)面面垂直的性質． 2．證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想． [變式訓練1]　如圖41-3，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. 圖41-3 (1)求證：CD⊥平面ABD； (2)若A

8、B＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A-MBC的體積． [解]　(1)證明：因為AB⊥平面BCD，CD?平面BCD， 所以AB⊥CD. 又因為CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB?平面ABD，BD?平面ABD， 所以CD⊥平面ABD. (2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD. 又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝. 因為M是AD的中點，所以S△ABM＝S△ABD＝. 根據(1)知，CD⊥平面ABD， 則三棱錐C-ABM的高h＝CD＝1， 故三棱錐VA-MBC＝VC-ABM＝S△ABM·h＝. 面面垂直的判定與性質 　如圖41-4，三棱臺DEF-ABC

9、中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點． 圖41-4 (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. [證明]　(1)如圖所示，連結DG，CD，設CD∩GF＝M， 連結MH. 在三棱臺DEF-ABC中， AB＝2DE，G為AC的中點， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四邊形DFCG為平行四邊形． 則M為CD的中點， 又H為BC的中點， 所以HM∥BD， 由于HM?平面FGH，BD?平面FGH， 故BD∥平面FGH. (2)連結HE. 因為G，H分別為AC，BC的中點， 所以GH∥AB. 由AB⊥B

10、C，得GH⊥BC. 又H為BC的中點， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE. 由于CF⊥BC，所以HE⊥BC. 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H. 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD， 所以平面BCD⊥平面EGH. [規(guī)律方法]　1.面面垂直的證明的兩種思路： (1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線； (2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問題． 2．垂直問題的轉化關系： 線線垂直線面垂直面面判定性質垂直

11、 [變式訓練2]　如圖41-5，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點． 圖41-5 (1)求證：PB∥平面MNC； (2)若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. 【導學號：62172225】 [證明]　(1)因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MN∥PB， 又因為MN?平面MNC，PB?平面MNC， 所以PB∥平面MNC. (2)因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因為平面PAB⊥平面ABC， CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB. 所以CM⊥平面PA

12、B. 因為PA?平面PAB，所以CM⊥PA. 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC. 平行與垂直的綜合問題 角度1　多面體中平行與垂直關系的證明 　(2016·江蘇高考)如圖41-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 圖41-6 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. [證明]　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因為DE?

13、平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又因為A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又因為B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

14、[規(guī)律方法]　1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化． 2．垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用． 角度2　平行垂直中探索開放問題 　如圖①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖②所示． ①　　　　　　　?、? 圖41-7 (1)求證：A1F⊥BE； (2)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？并說明理由． [證明]　(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC. 所以DE⊥AC，則DE⊥DC，

15、DE⊥DA1， 因為DC∩DA1＝D， 所以DE⊥平面A1DC. 由于A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D， 所以A1F⊥平面BCDE， 又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE. (2)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，連結PQ，則PQ∥BC. 又因為DE∥BC，則DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點， 所以A1C⊥DP. 又DP∩DE＝D，

16、 所以A1C⊥平面DEQP.從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ. [規(guī)律方法]　1.對命題條件探索性的主要途徑： (1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明； (2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． 2．平行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識建點． [思想與方法] 1．證明線面垂直的方法： (1)線面垂直的定義：a與α內任一直線都垂直?a⊥α； (2)判定定理1：?l⊥α； (3)判定定理2：a∥b，a⊥

17、α?b⊥α； (4)面面垂直的性質：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 2．證明面面垂直的方法． (1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 3．轉化思想：垂直關系的轉化 線線垂直面面判定性質垂直 [易錯與防范] 1．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化． 2．面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． 課時分層訓練(四十一)

18、 A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序號) 【導學號：62172226】 ①α⊥β且m?α； ②α⊥β且m∥α； ③m∥n且n⊥β； ④m⊥n且α∥β. ③　[由線線平行性質的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知③正確．] 2．(2017·徐州模擬)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是____________．(填序號) ①若l∥α，l∥β，則α∥β； ②若l∥α，l⊥β，則α⊥β； ③若α⊥β，l⊥α，則l∥β；

19、 ④若α⊥β，l∥α，則l⊥β. ②　[①中，α∥β或α與β相交，不正確．②中，過直線l作平面γ，設α∩γ＝l′，則l′∥l， 由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，②正確． ③中，l∥β或l?β，③不正確． ④中，l與β的位置關系不確定．] 3．如圖41-8，在正四面體P-ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是____________．(填序號) 圖41-8 ①BC∥平面PDF； ②DF⊥平面PAE； ③平面PDF⊥平面PAE； ④平面PDE⊥平面ABC. ④　[因為BC∥DF，DF?平面PDF， BC?平面PDF， 所以BC∥平

20、面PDF，故①正確． 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC， 所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正確．] 4．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是____________．(填序號) ①若m⊥n，n∥α，則m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，則m⊥α； ③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α； ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α. ③　[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，錯誤； ②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤； ③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n

21、，又n⊥α，所以m⊥α，正確； ④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．] 5．如圖41-9，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是________．(填序號) 圖41-9 ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. ③　[因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所

22、以平面ACD⊥平面BDE.] 6．如圖41-10所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 【導學號：62172227】 圖41-10 DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.] 7．(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥

23、α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) ②③④　[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤． 對于②，由線面平行的性質定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和

24、n與β所成的角相等，故正確．] 8．如圖41-11，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________． 圖41-11 　[取BC的中點E，連接AE，DE，則AE⊥平面BB1C1C. 所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角． 設三棱柱的所有棱長為a， 在Rt△AED中， AE＝a，DE＝. 所以tan∠ADE＝＝，則∠ADE＝. 故AD與平面BB1C1C所成的角為.] 9.如圖41-12，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，

25、D是A1B1的中點，F是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為____________． 圖41-12 　[設B1F＝x， 因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1＝， 設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h， 則DE＝h. 由面積相等得2×＝h， 所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中， B1E＝＝. 由面積相等得×＝x， 得x＝.] 10.(2017·南京模擬)如圖41-13，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影

26、，給出下列結論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 圖41-13 其中正確結論的序號是____________. 【導學號：62172228】 ①②③　[由題意知PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC， ∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF， 故①②③正確．] 11．(2017·鹽城模擬)如圖41-14，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1. 設A

27、B1的中點為D，B1C∩BC1＝E，求證： (1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 圖41-14 [證明]　(1)由題意知，E為B1C的中點， 又D為AB1的中點，因此DE∥AC. 因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1. 因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1. 因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因為BC＝C

28、C1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 12．(2016·蘇州期末)如圖41-15，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，BC的中點，A1C1與B1D1交于點O. (1)求證：A1，C1，F，E四點共面； (2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求證：OD⊥平面A1C1FE. 【導學號：62172229】 圖41-15 [證明]　(1)連結AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，所以EF是△ABC的中位

29、線， 所以EF∥AC. 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1. 所以EF∥A1C1， 故A1，C1，F，E四點共面． (2)連結BD，因為直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1， 所以DD1⊥A1C1. 因為底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1. 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因為OD?平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1. 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE， 所以OD⊥平面A1C1FE. B組

30、　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．如圖41-16，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是____________．(填序號) 圖41-16 ①O是△AEF的垂心；　　　 ③O是△AEF的內心； ③O是△AEF的外心； ④O是△AEF的重心． ①　[由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， 所以EF⊥AO，同理

31、可知AE⊥FO，AF⊥EO， 所以O為△AEF的垂心．] 2．如圖41-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 圖41-17 a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)． 設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2， ∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.] 3．(2016·四川高考)如圖41-18，在四棱錐P-ABCD

32、中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD. 圖41-18 (1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由； (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. [解]　(1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點． 理由如下：連結CM， 因為AD∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形， 所以CM∥AB. 又AB?平面PAB，CM?平面PAB， 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明：由已知，PA⊥AB，P

33、A⊥CD， 因為AD∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 因為AD∥BC，BC＝AD，M為AD的中點，連結BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD， 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 4．⊙O的直徑AB＝4，點C，D為⊙O上兩點，且∠CAB＝45°，F為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖①)． ①　　　　　② 圖41-19 (1)求證：OF∥平面ACD； (2)在AD

34、上是否存在點E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由． [解]　(1)證明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°， 又因為F為的中點， 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC， 又AC?平面ACD，OF?平面ACD， 所以OF∥平面ACD. (2)存在，E為AD中點， 因為OA＝OD，所以OE⊥AD. 又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直． 所以OC⊥平面OAD. 又AD?平面OAD，所以AD⊥OC， 由于OE，OC是平面OCE內的兩條相交直線， 所以AD⊥平面OCE. 又AD?平面ACD， 所以平面OCE⊥平面ACD.