《微積分-8_1-點積叉積》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《微積分-8_1-點積叉積（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、*三、矢量的混合積三、矢量的混合積 第二節(jié)一、兩矢量的數(shù)量積一、兩矢量的數(shù)量積二、兩矢量的矢量積二、兩矢量的矢量積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 數(shù)量積 矢量積 *混合積 第八八章 1M一、兩矢量的數(shù)量積一、兩矢量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設矢量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. 設一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0時當a上的投影為在ab記作故,0,時當同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零矢量, 則有baj rPcosbba
2、baaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如
3、圖 . 設,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設則, 10zzyyxxbababa當為非零矢量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩矢量的夾角公式 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,
4、2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為 ) .求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例3. 設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直矢量,A解解:單位時間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位矢量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、兩矢量的矢量積二、兩矢量的矢量積引例引例. 設O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOP
5、MFOPOPM M矩是一個矢量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 定義定義定義矢量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :矢量積 ,，的夾角為設ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零矢量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結合律(證明略)abcba )(cbcaba
6、 )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 矢量積的坐標表示式矢量積的坐標表示式設則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 矢量積的行列式計算法矢量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaba
7、ibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一點 M 的線速度例例5. 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉, 導出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進一個角速度矢量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉軸的距
8、離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉方向符合右手法則 ,r向徑機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、矢量的混合積矢量的混合積1. 定義定義 已知三矢量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標表示混合積的坐標表示設xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,
9、 ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零矢量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 已知一四面體的頂點),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于以矢量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13
10、xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 證明四點, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點共面 .ADACAB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結設1. 矢量運算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:k
11、jixayazaxbybzbba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 混合積:2. 矢量關系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0ba思考與練習思考與練習1. 設計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用矢量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 由三角
12、形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知矢量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束
微積分-8_1-點積叉積
