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1、第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)量積 向量積 *混合積 第8章 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. F求力F 所做的功？cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0時當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba機動 目錄 上
2、頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當(dāng)0c時, 顯然成立 ;時當(dāng)0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPcacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機動 目錄 上頁 下頁 返回
3、結(jié)束 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAM
4、A MB故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求單位時間內(nèi)流過A流體的質(zhì)量P (流體密度為 ) .例例3. 設(shè)均勻流速為,與平面域A的法向,解解:流速在 方向的分量：PAA的夾角為vncosvcosvnv vnn為單位向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Ann二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱
5、c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)
6、(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算見 P339P342 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC
7、 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一點 M 的線速度例例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn), 導(dǎo)出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabab
8、aba),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0ba思考作業(yè)：思考作業(yè)：1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,2jibkjia,baba及BabcAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 已知向量的夾角且,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b課本作業(yè)：課本作業(yè)：P13： 17P22： 5， 9
高等數(shù)學(xué)下：C8_2點積叉積
