2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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1.1.2　弧度制 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.理解“弧度的角”的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.了解“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．(易錯點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．度量角的兩種單位制 (1)角度制： ①定義：用度作為單位來度量角的單位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制． ②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角． 2．弧度數(shù)的計(jì)算 思考：比值與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？ [提示]　一定大小的圓心角α所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關(guān)． 3．角度制與弧度制的換算 4．一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 π 2π 5．扇形的弧長和面積公式 設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則 (1)弧長公式：l＝αR. (2)扇形面積公式：S＝lR＝αR2. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)1弧度的角是周角的.(　　) (2)弧度制是十進(jìn)制，而角度制是六十進(jìn)制．(　　) (3)1弧度的角大于1度的角．(　　) [解析]　(1)錯誤，1弧度的角是周角的.(2)(3)都正確． [答案]　(1)　(2)√　(3)√ 2．(1)化為角度是________． (2)105的弧度數(shù)是________． (1)252　(2)　[(1)＝＝252； (2)105＝105 rad＝ rad.] 3．半徑為2，圓心角為的扇形的面積是________． 　[由已知得S扇＝22＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 角度與弧度的互化與應(yīng)用 　(1)①將11230′化為弧度為________． ②將－rad化為角度為________． (2)已知α＝15，β＝，γ＝1，θ＝105，φ＝，試比較α，β，γ，θ，φ的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：84352012】 (1)①rad　②－75　　[(1)①因?yàn)?＝rad， 所以11230′＝112.5 rad＝rad. ②因?yàn)? rad＝， 所以－rad＝－＝－75.] (2)法一(化為弧度)： α＝15＝15＝，θ＝105＝105＝. 顯然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ. 法二(化為角度)： β＝＝＝18，γ＝1≈57.30， φ＝＝105. 顯然，15＜18＜57.30＜105. 故α＜β＜γ＜θ＝φ. [規(guī)律方法]　角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法 (1)關(guān)鍵：抓住互化公式π rad＝180是關(guān)鍵； (2)方法：度數(shù)＝弧度數(shù)；弧度數(shù)＝度數(shù)； (3)角度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)將－15730′化成弧度為________． (2)將－化為度是________． (1)－π rad　(2)－396　[(1)－15730′＝－157.5＝－ rad＝－π rad. (2)－＝－＝－396.] 2．在[0,4π]中，與72角終邊相同的角有________．(用弧度表示) π，π　[因?yàn)榻K邊與72角相同的角為θ＝72＋k360(k∈Z)． 當(dāng)k＝0時，θ＝72＝π； 當(dāng)k＝1時，θ＝432＝π， 所以在[0,4π]中與72終邊相同的角有π，π.] 用弧度數(shù)表示角 　(1)終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　) A. B. C. D. (2)用弧度表示終邊落在如圖117所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合. 圖117 [思路探究]　(1)→ (2) → (1)D　[(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)， 所以角α的終邊落在直線y＝x上， 所以角α的集合是.] (2)因?yàn)?0＝ rad,210＝ rad， 這兩個角的終邊所在的直線相同，因?yàn)榻K邊在直線AB上的角為α＝kπ＋，k∈Z，而終邊在y軸上的角為β＝kπ＋，k∈Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為. [規(guī)律方法]　1.弧度制下與角α終邊相同的角的表示： 在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍． 2．根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟： (1)仔細(xì)觀察圖形． (2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示． (3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角． 提醒：角度制與弧度制不能混用. [跟蹤訓(xùn)練] 3．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是(　　) A．2kπ＋45(k∈Z) B．k360＋(k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[A，B中弧度與角度混用，不正確． π＝2π＋，所以π與終邊相同．－315＝－360＋45，所以－315也與45終邊相同．故選C.] 4．用弧度寫出終邊落在如圖118陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合． 圖118 [解]　30＝，150＝. 終邊落在題干圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(不包括邊界)是. 弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用 [探究問題 1．用公式|α|＝求圓心角時，應(yīng)注意什么問題？ 提示：應(yīng)注意結(jié)果是圓心角的絕對值，具體應(yīng)用時既要注意其大小，又要注意其正負(fù)． 2．在使用弧度制下的弧長公式及面積公式時，若已知的角是以“度”為單位，需注意什么問題？ 提示：若已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計(jì)算，否則結(jié)果易出錯． 　(1)如圖119，以正方形ABCD中的點(diǎn)A為圓心，邊長AB為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為________． 圖119 (2)已知扇形OAB的周長是60 cm，面積是20 cm2，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)． [思路探究]　(1)先根據(jù)兩塊陰影部分的面積相等列方程再解方程求∠EAD的弧度數(shù)． (2)先根據(jù)題意，列關(guān)于弧長和半徑的方程組，再解方程組求弧長和半徑，最后用弧度數(shù)公式求圓心角的弧度數(shù)． (1)2－　[(1)設(shè)AB＝1，∠EAD＝α， ∵S扇形ADE＝S陰影BCD， 由題意可得12α＝12－， ∴解得α＝2－.] (2)設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r， 則 ∴或 ∴扇形的圓心角的弧度數(shù)為 ＝43－3或43＋3. 母題探究：1.(變條件)將本例(2)中的條件“60”改為“10”，“20”改為“4”，其他條件不變，求扇形圓心角的弧度數(shù)． [解]　設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0＜θ＜2π)，弧長為l，半徑為r， 依題意有 由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4. 當(dāng)r＝1時，l＝8(cm)， 此時，θ＝8 rad＞2π rad舍去． 當(dāng)r＝4時，l＝2(cm)，此時，θ＝＝ rad. 2．(變結(jié)論)將本例(2)中的條件“面積是20 cm2”刪掉，求扇形OAB的最大面積及此時弧長AB. [解]　設(shè)弧長為l，半徑為r，由已知l＋2r＝60， 所以l＝60－2r，|α|＝＝， 從而S＝|α|r2＝r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225， 當(dāng)r＝15時，S取最大值為225，這時圓心角α＝＝＝2， 可得弧長AB＝αr＝215＝30. [規(guī)律方法]　弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟： (1)明確弧長公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(這里α必須是弧度制下的角) (2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式． (3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解． 提醒：看清角的度量制，恰當(dāng)選用公式． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是(　　) A．60化成弧度是 B．－π化成度是－600 C．－150化成弧度是－π D.化成度是15 C　[對于A,60＝60＝；對于B，－π＝－180＝－600；對于C，－150＝－150＝－π；對于D，＝180＝15.故選C.] 2．是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．] 3．圓的半徑為r，該圓上長為r的弧所對的圓心角是(　　) A. rad B. rad C.π D.π B　[由弧度數(shù)公式α＝，得α＝＝，因此圓弧所對的圓心角是 rad.] 4．若把－570寫成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，則α＝________. 　[－570＝－＝－4π＋.] 5．求半徑為π cm，圓心角為120的扇形的弧長及面積． [解]　因?yàn)閞＝π，α＝120＝， 所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.