高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文.doc

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北京四中2017-2018學(xué)年下學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷（文科） 滿分150分，考試時(shí)間120分鐘 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函數(shù)f（x）是定義在（-，+）上的可導(dǎo)函數(shù). 則“函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增”是“f（x）>0在R上恒成立”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3. 曲線y=x3-2x+l在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為 A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2 4. 函數(shù)y=xcosx的導(dǎo)數(shù)為 A. y=cosx-xsinx B. y=cosx+xsinx C. y=xcosx-sinx D. y=xcosx+sinx 5. 設(shè)f（x）=x2-2x-4lnx，則函數(shù)f（x）的增區(qū)間為 A. （0，+） B. （-，-1），（2，+） C. （2，+） D. （-1，0） 6. 若復(fù)數(shù)z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），則“z是純虛數(shù)”是“x=2”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 7. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），其導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 8. 函數(shù)f（x）=（）x-log2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若函數(shù)y=f（x）的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì). 下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3 10. 函數(shù)f（x）=x3-3x，若對(duì)于區(qū)間[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 11. 設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是 A. （-，-1）（0，1） B. （-1，0）（1，+） C. （-，-1）（-1，0） D. （0，1）（1，+） 12. 德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1. 對(duì)于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：l可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為 A. 4 B. 6 C. 8 D. 32 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 13. 已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i，則z2=___________. 14. 如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+8，則f（2018）+f（2018）=_________. 15. 已知函數(shù)f（x）=ex-x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_________. 16. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則（a，b）=________. 17. 對(duì)于函數(shù)f（x）=（2x-x2）ex ①（-，）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間； ②f（-）是f（x）的極小值，f（）是f（x）的極大值； ③f（x）沒有最大值，也沒有最小值； ④f（x）有最大值，沒有最小值. 其中判斷正確的是_________. 18. 若函數(shù)exf（x）（e=2.71828…，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)，下列函數(shù)： ①f（x）=（x>1） ②f（x）=x2 ③f（x）=cosx ④f（x）=2-x 中具有M性質(zhì)的是__________. 三、解答題：本大題共4小題，每小題15分，共60分. 19. 已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a. （I）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間； （II）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值. 20. 設(shè)f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）. （I）確定a的值； （II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值. 21. 已知：函數(shù)f（x）=ax4lnx+bx4-c（x>0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數(shù). （1）試確定a，b的值； （2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間： （3）若對(duì)任意x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范圍. 22. 已知函數(shù)f（x）=ex（a++lnx），其中a∈R. （I）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=-垂直，求a的值； （II）當(dāng)a∈（0，ln2）時(shí)，證明：f（x）存在極小值. 參考答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A A C B A B A A A B 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 13 -2i 14 -2011 15 （-,-1] 16 （4,-11） 17 ①③ 18 ①④ 三、解答題：本大題共4小題，共60分 19. 解：（I）f（x）=-3x2+6x+9. 令f（x）<0，解得x<-1或x>3， 所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-,-1），（3，+）. （II）因?yàn)閒（-2）=8+12-18+a=2+a， f（2）=-8+12+18+a=22+a， 所以f（2）>f（-2）， 因?yàn)樵冢?1，3）上f（x）>0，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值. 于是有22+a=20，解得a=-2. 故f（x）=-x3+3x2+9x-2. 因此f（-1）=1+3-9-2=-7， 即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7. 20. 解：（I）因f（x）=a（x-5）2+6lnx，故f（x）=2a（x-5）+. 令x=l，得f（1）=16a，f（1）=6-8a，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-16a=6-8a（x-1），由點(diǎn)（0，6）在切線上可得6-16a=8a-6，故a=. （II）由（I）知f（x）=（x-5）2+6lnx（x>0），f（x）=x-5+=. 令f（x）=0，解得x1=2，x2=3. 當(dāng)03時(shí)，f（x）>0，故f（x）在（0，2），（3，+）上為增函數(shù)； 當(dāng)20）. 令f（x）=0，解得x=1. x （0,1） 1 （1,+） f（x） - 0 + f（x） ↘ 極小值f（1） ↗ 因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+）. （III）由（II）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值. 要使f（x）≥-2c2（x>0）恒成立，只需-3-c≥-2c2. 即2c2-c-3≥0，從而（2c-3）（c+1）≥0. 解得c≥或c≤-1. 所以c的取值范圍為（-，-1][，+） 22. 解：（I）f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x）=ex（a++lnx）+ex（-） =ex（a+-+lnx）. 依題意，有f（1）=e（a+1）=e， 解得a=0. （II）由f（x）=ex（a+-+lnx）及ex>0知，f（x）與a+-+lnx同號(hào). 令g（x）=a+-+lnx， 則g（x）==. 所以對(duì)任意x（0,+），有g(shù)（x）>0，故g（x）在（0，+）單調(diào)遞增. 因?yàn)閍∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（）=a+ln<0， 故存在x0∈（，1），使得g（x0）=0. f（x）與f（x）在區(qū)間（，1）上的情況如下： x （,x0） x0 （x0,1） f（x） - 0 + f（x） ↘ 極小值 ↗ 所以f（x）在區(qū)間（，x0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞增. 所以f（x）存在極小值f（x0）.