高二數(shù)學下學期期中試題 理.doc

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北京101中學2017-2018學年下學期高二年級期中考試數(shù)學試卷（理科） 本試卷滿分120分，考試時間100分鐘 一、選擇題共8小題。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 1. 下列導數(shù)公式正確的是（ ） A. （xn）=nxn B. （）= C. （sinx） =-cosx D. （ex） =ex 2. 下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)a的值為（ ） X 0 1 2 3 P a A. B. C. D. 3. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A={兩次的點數(shù)均為偶數(shù)}，B={兩次的點數(shù)之和為8}，則P（B|A）=（ ） A. B. C. D. 4. 若dx=1-ln3，且a>1，則a的值為（ ） A. -3 B. 1n3 C. D. 3 5. 用數(shù)學歸納法證明“l(fā)+2+3+…+n3=，n∈N*”，則當n=k+1時，應當在n=k時對應的等式左邊加上（ ） A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3 C. （k+1）3 D. 6. 函數(shù)y=ex（x2-3）的大致圖象是（ ） A. B. C. D. 7. ①已知：p3+q3=2，求證：p+q≤2．用反證法證明時，可假設p+q≥2；②設a為實數(shù)，f（x）=x2+ax+a，求證：|f（1）|與|f（2）|中至少有一個不大于．用反證法證明時可假設|f（1）|>或|f（2）|>．以下說法正確的是（ ） A. ①與②的假設都錯誤 B. ①與②的假設都正確 C. ①的假設正確，②的假設錯誤 D. ①的假設錯誤，②的假設正確 8. 若函數(shù)y=f（x）對任意x∈（-，）滿足f（x）cosx-f（x）sinx>0，則下列不等式成立的是（ ） A. f（-）f（-） C. f（-）>f（-） D. f（-）0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區(qū)間（0，+）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點唯一，則a的取值范圍是_________. 三、解答題共4小題。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。 15. 已知函數(shù)f（x）=（1-2x）（x2-2）． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）若直線y=4x+b是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線，求b的值． 16. 隨著網(wǎng)絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化．某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取8名購物者進行采訪，4名男性購物者中有3名傾向于網(wǎng)購，1名傾向于選擇實體店，4名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實體店． （1）若從8名購物者中隨機抽取2名，其中男女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率： （2）若從這8名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望． 17. 已知點Pn（an,bn）滿足an+1=anbn+l ，bn+l =（nN*）且點P1的坐標為（1,-1）. （1）求過點P1，P2的直線l的方程； （2）試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在（1）中的直線l上． 18. 已知函數(shù)f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）． （1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性： （2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，求a的取值范圍． 參考答案 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．0． 10．． 11．15． 12．e2-2． 13．820．14．（，）． 15．（1）因為f（x）=-2（x2-2）+（1-2x）2x=-6x2+2x+4． 令f（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1． x （-,-） - （-,1） 1 （1,+） f（x） - 0 + 0 - g（x） ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，-），（1，+）， 極小值為f（-）=-，極大值為f（1）=1． （2）因為f（x）=-6x2+2x+4， 直線y=4x+b是f（x）的切線，設切點為（x0，f（x0））， 貝f（x0）=-6x+2x0+4=4， 解得x0=0或x0=． 當x0=0時，f（x0）=-2，代入直線方程得b=-2， 當x0=時，f（x0）=-，代入直線方程得b=-． 所以b=-2或-． 16. （1）設“隨機抽取2名，其中男、女各一名，至少1名傾向于選擇實體店”為事件A，則表示“隨機抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購”， 則P（A）=1-P（）=1-=． （2）X的所有可能取值為0，1，2，3，且P（X=k）=， 則P（X=0）=，P（X=1）= ， P（X=2）=，P（X=3）=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E（X）=0+l+2+3=． 17. （1）由點P1的坐標為（1，-1）知，a1=1，b1=-1， 所以b2=，a2=a1b2=， 所以點P2的坐標為（，）， 所以直線l的方程為2x+y-1=0． （2）①當n=1時，2a1+b1=21+（-1）=1，命題成立． ②假設n=k（k≥1，k∈N*）時命題成立，則2ak+bk=1， 所以2ak+1+bk+1=2akbk+1 +bn+l ==， 所以當n=k+1時，命題也成立． 由①②知，對n∈N*，都有2an+bn=1， 即點Pn都在直線l上． 18．（1）f（x）的定義域為（0，+）． 由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R） 可知f（x）=， 所以若a>0，則當x∈（0，a）時，f（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減， 當x∈（a，+）時，f（x）>0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； 若a=0，則當f（x）=2x>0在（0，+）內(nèi)恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； 若a<0，則當x∈（0，-）時，f（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減， 當x∈（-，+）時，f（x）>0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增． （2）若a>0，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+）單調(diào)遞增． 若a<0，f（x）在（0，-）單調(diào)遞減，在（-，+）單調(diào)遞增． 由題意，若f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，則有或 得a無解或a∈（-e，-2）. 綜上，a∈（-e，-2）．