2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)16 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 新人教A版選修2-1.doc

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課時分層作業(yè)(十六) 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．給出下列命題： ①若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個基底； ②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底； ③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面； ④已知{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 D　[根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底．顯然②正確．③中由，，不能構(gòu)成空間的一個基底，知，，共面．又，，過相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面．所以③正確．下面證明①④正確：①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kC．∵d≠0，∴k≠0，從而c＝a＋b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．于是①②③④四個命題都正確，故選D．] 2．在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M是上底面對角線AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則可表示為(　　) A．a(chǎn)＋b＋c　　 B．a(chǎn)－b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c D　[由于＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c，故選D．] 3．正方體ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{1，2，3}為基底，＝x1＋y＋z3，則x，y，z的值是(　　) A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝ C．x＝y(tǒng)＝z＝ D．x＝y(tǒng)＝z＝2 A　[＝＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋＝＋＋， 由空間向量的基本定理，得x＝y(tǒng)＝z＝1.] 4．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342150】 A． B． C． D．或 C　[因?yàn)閍－b＝2，所以a，b與共面，不能構(gòu)成空間的一個基底．] 5．如圖3133，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，B1E＝A1B1，則等于(　　) 圖3133 A． B． C． D． C　[由圖知B(1,1,0)，E，所以＝.] 二、填空題 6．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________. 1?。?　[因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有 解得] 7．如圖3134, 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝________. 圖3134 －a＋b－c　[＝－ ＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－C．] 8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖3135所示的空間直角坐標(biāo)系，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，則的坐標(biāo)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342151】 圖3135 ＝　[∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， ∴M，P(0,0,1)，C(－1,1,0)， 則N. ∴＝] 三、解答題 9．如圖3136，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，＝－，＝，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示. 圖3136 [解]　連接AN，則＝＋. 由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得 ＝＋＝a＋b， ＝－＝－(a＋b)， 又＝－＝b－c， 故＝＋＝－＝－ ＝b－(b－c)， 所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c) ＝(－a＋b＋c)． 10．如圖3137，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO＝1，M是PC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，＝C． 圖3137 (1)用向量a，b，c表示. (2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：46342152】 [解]　(1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋， ∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋C． (2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)． ∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝， ∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝. [能力提升練] 1．已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量，，成為空間的一個基底的是(　　) A．＝OA＋OB＋OC B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C　[對于選項(xiàng)A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，知，，共面；對于選項(xiàng)B，D，易知，，共面，故選C．] 2．已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(2,1，－3)，則向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(　　) A．(2,1，－3)　 B．(－1,2，－3) C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9) B　[∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3DD1，∴向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(－1,2，－3)，故選B．] 3．在空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則＝________. 3a－b＋3c　[＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c．] 4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2,1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342153】 (1,1,1)　　[由題意知p＝2a＋b－c， 則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1,1,1) 設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc 又∵p＝2a＋b－c， ∴， 解得x＝，y＝，z＝－1； ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.] 5．已知{e1，e2，e3}為空間的一個基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面． (2)能否以{，，}作為空間的一個基底？若能，試以這一基底表示；若不能，請說明理由． [解]　(1)假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面， 則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)． 比較對應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x，y，z的方程組， 解得，與x＋y＋z＝1矛盾， 故P，A，B，C四點(diǎn)不共面． (2)若OA，，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使＝m＋n， 同(1)可證，，，不共面， 因此{(lán)，，}可以作為空間的一個基底，令＝a，＝b，＝c， 由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c， 得， 所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.