新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 【第5章】課時限時檢測31

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 課時限時檢測(三十一)　等比數(shù)列 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎(chǔ) 中檔 稍難 等比數(shù)列的判定 4 等比數(shù)量基本量運算 2,8 10 等比數(shù)列的性質(zhì) 1,7 11 綜合應(yīng)用 3 5,6,9 12 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于(　　) A．50　　　　 B．70　　　　 C．80　　　 D．90 【解析】　∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列， ∴S3·(S9－S

2、6)＝(S6－S3)2，又S3＝40，S6＝40＋20＝60， ∴40(S9－60)＝202，故S9＝70. 【答案】　B 2．(2014·濟南一中等四校聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 【解析】　設(shè)數(shù)列{an}的公比是q，則有＝＝q9， 所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)×(a7a8a9)＝5×10＝50，則a4a5a6＝5. 【答案】　A 3．(2013·課標全國卷Ⅰ)設(shè)首項為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則(　　) A．Sn＝2a

3、n－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 【解析】　法一　在等比數(shù)列{an}中，Sn＝＝＝3－2an. 法二　在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，q＝， ∴an＝1×n－1＝n－1. Sn＝＝3 ＝3＝3－2an. 【答案】　D 4．(2014·福州模擬)已知數(shù)列{an}，則“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比數(shù)列”是“a＝anan＋2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　若n∈N*時，an，an＋1，an＋2成等比數(shù)列，則a＝anan＋2，反之，則不一定成立，舉

4、反例．如數(shù)列為1,0,0,0，…，應(yīng)選A. 【答案】　A 5．(2014·濰坊模擬)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．若a2·a3＝2a1，且為a4與2a7的等差中項，則S5＝(　　) A．35 B．33 C．31 D．29 【解析】　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1?a4＝2.a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×?q＝，故a1＝＝16，S5＝＝31. 【答案】　C 6．(2014·青島期中)在正項等比數(shù)列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝6，則a1a11的值是(　　) A．10 000

5、B．1 000 C．100 D．10 【解析】　若{an}為等比數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq，所以lg a3＋lg a6＋lg a9＝lg(a3·a6·a9)＝lg a＝3lg a6＝6，所以a6＝102，而a1a11＝a＝104＝10 000.故選A. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝，則a1aa5＝________. 【解析】　∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a. ∴a1aa5＝a＝. 【答案】　 8．等比數(shù)列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1

6、＝6an，則{an}的前4項和S4＝________. 【解析】　∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an， ∴q2＋q－6＝0， 又q＞0，∴q＝2， 由a2＝a1q＝1得a1＝， ∴S4＝＝. 【答案】　 9．(2012·浙江高考)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________. 【解析】　法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2， 將a3＝a2q，a4＝a2q2代入得， 3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化簡得2q2－q－3＝0， 解得q＝(q＝－1不合題

7、意，舍去)． 法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，由S2＝3a2＋2，得 a1(1＋q)＝3a1q＋2.① 由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.② 由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)． ∵q>0，∴q＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)(2013·重慶高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋. (1)求{an}的通項公式及前n項和Sn； (2)已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為其前n項和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20. 【解】　(1)由題意知{an}是

8、首項為1，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)． (2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋×5＝1 010. 11．(12分)(2014·貴陽模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和． 【解】　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝. 由條件可知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，

9、所以a1＝. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2， ＋＋…＋ ＝－2 ＝－. 所以數(shù)列的前n項和為－. 12．(13分)(2014·南京模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)． (1)設(shè)bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明：{bn} 是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項． 【解】　(1)證明

10、　由題設(shè)an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)， 得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2. 由b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列． (2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2) 將以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)， 即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)． 所以當(dāng)n≥2時，an＝ 上式對n＝1顯然成立． (3)由(2)，當(dāng)q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8， 由q≠0得q3－1＝1－q6，① 整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－. 另一方面，an－an＋3＝＝(q3－1)， an＋6－an＝＝(1－q6)． 由①可得an－an＋3＝an＋6－an， 所以對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．