新編高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第5章】課時限時檢測33

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1、新編高考數(shù)學復習資料 課時限時檢測(三十三)　數(shù)列的綜合應用 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎 中檔 稍難 數(shù)列與函數(shù) 5,8 數(shù)列與不等式 2,3 11 9 等差與等比數(shù)列 1,10 4 數(shù)列實際應用 7 6,12 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．已知各項不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a3＋a11＝2a7， 由

2、2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0， 又an≠0，∴a7＝4， ∴b6b8＝b＝42＝16. 【答案】　D 2．(2014·大慶模擬)已知{an}為等比數(shù)列，下面結論中正確的是(　　) A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)＋a≥2a C．若a1＝a3，則a1＝a2 D．若a3>a1，則a4>a2 【解析】　設{an}的公比為q(q≠0)，則a2＝a1q，a3＝a1q2， ∴a＋a＝a(1＋q4)≥a·2q2＝2a. 【答案】　B 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k項滿足750＜ak＜900，則k等于(　　) A．8

3、 B．7 C．6 D．5 【解析】　由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)， 得an＋1－an＝3an， 即an＋1＝4an(n≥2)， 又a2＝3S1＝3， ∴an＝ 又750＜ak＜900，驗證k＝6. 【答案】　C 4．(2014·天水模擬)在如圖5－5－1所示的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為(　　) 2 4 1 2 x y z 圖5－5－1 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由題知

4、表格中第三列中的數(shù)成首項為4，公比為的等比數(shù)列，故有x＝1. 根據(jù)每行成等差數(shù)列得第四列前兩個數(shù)字依次為5，，故第四列的公比為. ∴y＝5×3＝，同理z＝6×4＝. 因此x＋y＋z＝2. 【答案】　B 5．(2014·濰坊模擬)在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a為常數(shù))，若平面上的三個不共線的非零向量，，滿足＝＋，三點A，B，C共線且該直線不過O點，則S2 013的值為(　　) A．1 005 B．2 014 C．2 013 D．2 012 【解析】　根據(jù)三點A，B，C共線，有＋＝1， 即a1＋a2 013＝2. 由等差數(shù)列的前n項和公式有S2

5、013＝(a1＋a2 013)＝2 013. 【答案】　C 6．(2014·洛陽模擬)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為(　　) A．①和? B．⑨和 C．⑨和? D.和? 【解析】　設樹苗放在第i個樹坑旁邊(如圖所示) 則各個樹坑到第i個樹坑距離的和是 S＝10(i－1)＋10(i－2)＋…＋10(i－i)＋10[(i＋1)－i]＋…＋10(20－i) ＝10[＋]

6、 ＝10(i2－21i＋210)． ∴當i＝10或11時，S有最小值． 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 【解析】　設自上第一節(jié)竹子容量為a1，則第9節(jié)容量為a9，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 則 解之得a1＝，d＝， 故a5＝a1＋4d＝. 【答案】　 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________． 【解析】　∵an＋1－an＝2n，∴an－an－1

7、＝2(n－1)(n≥2)． ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33， ∴＝n＋－1，令f(x)＝x＋－1(x＞0)， ∵f(x)在區(qū)間(0，)上遞減，在區(qū)間(，＋∞)上遞增，又5＜＜6， 且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝， ∴f(5)＞f(6)，∴的最小值為. 【答案】　 9．(2013·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，則滿足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 【解析】　設{an}的公比為q(q＞0)

8、，則由已知可得 解得 于是a1＋a2＋…＋an＝＝(2n－1)， a1a2…an＝aq＝n2. 由a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an可得(2n－1)＞n2，整理得2n－1＞2n2－n＋5 . 由2n＞2n2－n＋5可得n＞n2－n＋5， 即n2－13n＋10＜0，解得＜n＜， 取n＝12，可以驗證當n＝12時滿足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，n≥13時不滿足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an，故n的最大值為12. 【答案】　12 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)(2014·威海模擬)已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝5，a7＝2a4－1.

9、 (1)求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn； (2)若數(shù)列{bn}滿足b1＋4b2＋9b3＋…＋n2bn＝an求數(shù)列{bn}的通項公式． 【解】　(1)設等差數(shù)列的首項和公差分別為a1，d 則，解得. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， Sn＝＝n2 (2)b1＋4b2＋9b3＋…＋n2bn＝an① b1＋4b2＋9b3＋…＋(n－1)2bn－1＝an－1，n≥2② ①－②得n2bn＝an－an－1＝2，n≥2 ∴bn＝，n≥2， b1＝a1＝1 ∴bn＝ 11．(12分)(2013·湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，

10、且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式． (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由． 【解】　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0. 由題意得 即 解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3×(－2)n－1. (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n. 假設存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013， 即(－2)n≤－2 012. 當n為偶數(shù)時，(－2)n>0，上式不成立； 當n為奇數(shù)時，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012， 即n≥11.

11、 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． 12．(13分)(2014·中山模擬)已知f(x)＝－，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn在曲線y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an＞0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且滿足＝＋16n2－8n－3，b1＝1，求數(shù)列{bn}的通項公式； (3)求證：Sn＞－1，n∈N*. 【解】　(1)－＝f(an)＝－且an＞0， ∴－＝4(n∈N*)， ∴數(shù)列是首項，公差d＝4的等差數(shù)列， ∴＝1＋4(n－1) ∴a＝，即an＝(n∈N*)． (2)由an＝(n∈N*)，＝＋16n2－8n－3 得(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)， ∴－＝1 ∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為＝1，公差為1 ∴＝n，∴Tn＝4n2－3n，當n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝8n－7 b1＝1也滿足上式，∴bn＝8n－7，n∈N*. (3)∵an＝＝＞＝(－) ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＞ ＝－＞－1