周期現(xiàn)象角的概念的推廣

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1、 §1　周期現(xiàn)象 §2　角的概念的推廣 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重點(diǎn))3.掌握終邊相同角的含義及其表示．(難點(diǎn))4.會(huì)用集合表示象限角．(易錯(cuò)點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．周期現(xiàn)象 (1)以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象． (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時(shí)間，這種現(xiàn)象是否會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象． 思考1：“鐘表上的時(shí)針每經(jīng)過12小時(shí)運(yùn)行一周，分針每經(jīng)過1小時(shí)運(yùn)行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運(yùn)行一周．”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的特征？ 提示：周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)．

2、 2．角的概念 (1)角的有關(guān)概念 (2)角的概念的推廣 類型 定義 圖示 正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，我們稱這樣的角為零度角，又稱零角 思考2：如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？ 提示：不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角．若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角． 3．象限角的概念 (1)前提條件 ①角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合． ②角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合． (2)結(jié)論 角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就

3、說這個(gè)角是第幾象限角． (3)終邊相同的角及其表示 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k×360°， k∈Z}． 如圖1-2-1所示： 圖1-2-1 注意以下幾點(diǎn)： ①k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉． ②α是任意角． ③k·360°與α之間用“＋”號(hào)連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)． ④終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍． 思考3：假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？ 提示

4、：它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了2個(gè)周角的和及1個(gè)周角． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)某同學(xué)每天上學(xué)的時(shí)間是周期現(xiàn)象． (　　) (2)第三象限角一定比鈍角大． (　　) (3)始邊相同，終邊不同的角一定不相等． (　　) (4)始邊相同，終邊也相同的角一定相等． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列說法正確的是(　　) A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角 B．鈍角不一定是第二象限角 C．相差180°整數(shù)倍的角為終邊相同的角 D

5、．鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角 D　[A錯(cuò)，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B錯(cuò)，鈍角在90°到180°之間，是第二象限角； C錯(cuò)，終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍； D正確，鐘表的時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故是負(fù)角．] 3．－378°是第________象限角．(　　) A．一　　　　　　　　 B．二 C．三 D．四 D　[－378°＝－360°－18°，因?yàn)椋?8°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．] 4．把－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012000】 [解析]　－936°＝

6、－3×360°＋144°，故－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為144°＋(－3)×360°. [答案]　144°＋(－3)×360° [合 作 探 究·攻 重 難] 周期現(xiàn)象的判斷 　(1)下列變化中不是周期現(xiàn)象的是(　　) A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈 C．天干地支表示年、月、日的時(shí)間順序 D．某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù) (2)水車上裝有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計(jì)算1小時(shí)內(nèi)最多盛水多少升． (1)D[由周期現(xiàn)象的概念易知，某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù)不是周期現(xiàn)象．故選D.]

7、 (2)因?yàn)?小時(shí)＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以1小時(shí)內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈．又因?yàn)樗嚿涎b有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升，所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水車1小時(shí)內(nèi)最多盛水160×12＝1 920(升)． [規(guī)律方法]　 1．應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”“化無限為有限”的目的． 2．只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”，就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)來解決． [跟蹤訓(xùn)練] 1．如圖1-2-2所示是某人的心電圖，根據(jù)這個(gè)心電圖，請(qǐng)你判斷其心臟跳動(dòng)是否正常． 圖1-2-2 [解]　觀察圖像可知，此人的心

8、電圖是周期性變化的，因此心臟跳動(dòng)正常． 角的概念 　下列結(jié)論： ①銳角都是第一象限角； ②第二象限角是鈍角； ③小于180 °的角是鈍角、直角或銳角． 其中，正確結(jié)論的序號(hào)為______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012001】 [思路探究]　根據(jù)任意角、象限角的概念進(jìn)行判斷，正確區(qū)分第一象限角、銳角和小于90°的角． [解析]?、黉J角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，故是第一象限角，所以①正確； ②480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以②不正確； ③0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③不正確． [答案]?、? [規(guī)律方法]　判斷角的

9、概念問題的關(guān)鍵與技巧 1．關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角，直角，鈍角，平角，周角等概念． 2．技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可． [跟蹤訓(xùn)練] 2．下列說法正確的是(　　) A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角 C．第一象限角一定不是負(fù)角 D．小于90°的角都是銳角 B　[終邊相同的角不一定相等，故A不正確；鈍角一定是第二象限角，故B正確；因－330°是第一象限角，所以C不正確；－45°<90°，但它不是銳角，所以D不正確．] 象限角的表示 [探究問題] 1．任意角都是象限角嗎？為什么？ 提示：不是．一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸

10、上．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，這個(gè)角就不是象限角． 2．象限角的表示． 象限角 角的集合表示 第一象限角 ________ 第二象限角 ________ 第三象限角 ________ 第四象限角 ________ 提示： 象限角 角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α

11、α為第二象限角，問2α，分別為第幾象限的角？ [思路探究]　由角α為第二象限角，可以寫出α的范圍：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基礎(chǔ)上可以判斷2α，的范圍，進(jìn)而可以判斷出它們所在的象限． [解]　∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)． ∴2α是第三或第四象限角，以及終邊落在y軸的負(fù)半軸上的角． 同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)． ①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)． 則45°＋n·360°<<90°＋n·

12、360°(k∈Z)， 此時(shí)為第一象限角； ②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)． 則225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)． 此時(shí)為第三象限角． 綜上可知，為第一或第三象限角． 母題探究 1．(變?cè)O(shè)問)在本例條件下，求角2α的終邊的位置． [解]　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α

13、再從x軸正半軸的上方起，按逆時(shí)針方向，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有“三”的區(qū)域即為角的終邊所在的區(qū)域，故角為第二或第四象限角． [規(guī)律方法]　倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．注意不要漏掉nα的終邊在坐標(biāo)軸上的情況． (2)已知角α終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，分類討論法要對(duì)k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余 n－1.然后方可下結(jié)論．幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單直觀． 終邊相同的角 [探究問題]

14、 3．在同一坐標(biāo)系中作出390°，－330°，30°的角并觀察這三個(gè)角終邊之間的位置關(guān)系，角的大小關(guān)系． 提示：如圖所示，三個(gè)角終邊相同，相差360°的整數(shù)倍． 4．對(duì)于任意一個(gè)角α，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？ 提示：所有與角α終邊相同的角連同α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角整數(shù)倍的和． 　已知α＝－1 910°. (1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：6401

15、2002】 [思路探究]　利用終邊相同的角的關(guān)系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解． [解]　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，從而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到滿足－720°≤θ<0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ為－110°，－470°. 母題探究 1. (變條件)若將例題改為如圖1-2-3所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 圖1-2-3 [解]　在0°～3

16、60°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是： 150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為 {α|k·360°＋150°≤ α≤k·360°＋225°，k∈Z}． 2．(變條件)若將例題改為如圖1-2-4所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 圖1-2-4 [解]　由題干圖可知滿足題意的角的集合為 {β|k·360°＋60°≤β ≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤ β≤(2k＋

17、1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤ β≤n·180°＋105°，n∈Z}． 即所求的集合為{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． [規(guī)律方法]　 1．終邊落在直線上的角的集合的步驟 (1)寫出在0°～360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角； (2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合； (3)根據(jù)條件能合并一定合并， 使結(jié)果簡(jiǎn)捷． 2．終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論 (1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍． (2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍． (3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍． [當(dāng) 堂

18、 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．下列變化是周期現(xiàn)象的是(　　) A．地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化 B．隨機(jī)數(shù)表中數(shù)的排列 C．某交通路口每小時(shí)通過的車輛數(shù) D．某同學(xué)每天打電話的時(shí)間 A　[由周期現(xiàn)象的概念知A為周期現(xiàn)象．] 2．與－265°終邊相同的角為(　　) A．95°　　　　　　　 B．－95° C．85° D．－85° A　[因?yàn)椋?65°＝－360°＋95°，所以－265°與95°終邊相同．] 3．25°的角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2.5周所得的角是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012003】 [解析]　由題意，所得的角為25°

19、＋360°×(－2.5)＝－875°. [答案]?。?75° 4．終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝________. [解析]　由于直線y＝－x是第二、四象限的角平分線，在0°～360°間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別是135°和315°， 從而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}． [答案]　{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z} 5．已知，如圖1-2-5所示． 圖1-2-5 (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． [解]　(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 12/12