2019屆高三數(shù)學上學期期中試題 文(含解析) (II).doc

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2019屆高三數(shù)學上學期期中試題 文(含解析) (II) 考試時間: 120分鐘 滿分: 150分 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1. 已知全集，設(shè)集合，集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，∴,又 ∴ 故選：B 點睛：求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍． 2. 已知，則在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】根據(jù)所給的關(guān)于復數(shù)的等式，整理出要求的z的表示式，進行復數(shù)的乘法運算，得到復數(shù)的最簡結(jié)果，根據(jù)橫標和縱標的值寫出對應(yīng)的點的坐標，得到點的位置． 解：∵復數(shù)z滿足∴=（1-i）（2-i）=1-3i， ∴z=1+3i 對應(yīng)的點的坐標是（1， 3） ∴復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點在第一象限， 故選A 3. 下列命題中的假命題是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：當x=1時，（x-1）2=0,顯然選項B錯誤，故選B。 考點：特稱命題與存在命題的真假判斷。 視頻 4. 吳敬《九章算法比類大全》中描述：遠望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)塔頂 盞燈，則 ，解得 ． 故選C． 5. 已知平面向量，且，則（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】∵平面向量，且 ∴,即, ∴ ∴ ∴ 故選：B 6. 已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列4個命題： ①若 ②若 ③若 ④若 其中真命題的序號為（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】m?α，n∥α，則m∥n或m與n是異面直線，故①不正確； 若m⊥α，則m垂直于α中所有的直線，n∥α，則n平行于α中的一條直線l， ∴m⊥l，故m⊥n．故②正確； 若m⊥α，m⊥β，則α∥β．這是直線和平面垂直的一個性質(zhì)定理，故③成立； m∥α，n∥α，則m∥n，或m，n相交，或m，n異面．故④不正確， 綜上可知②③正確， 故選：D． 7. 在平面直角坐標系中，不等式組, 表示的平面區(qū)域的面積是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】作出可行域如圖： 聯(lián)立方程組 解得B，所以，故選A. 8. 運行如圖所示的程序框圖,如果輸入的,則輸出s屬于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】程序為條件結(jié)果對應(yīng)的表達式為s=， 則當輸入的t∈[﹣1，3]， 則當t∈[﹣1，1）時，s=3t∈[﹣3，3）， 當t∈[1，3]時，s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4∈[3，4]， 綜上s∈[﹣3，4]， 故選：D． 點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項. 9. 已知 ，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是(　　) A. [1，＋∞) B. (－∞，1] C. [－3，＋∞) D. (－∞，－3] 【答案】A 【解析】：∵條件p：x＞1或x＜﹣3，條件q：x＞a，且q是p的充分而不必要條件 ∴集合q是集合p的真子集，q?P 即a∈[1，+∞）． 故選：A 10. 如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線和虛線畫出的是多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是一個棱長為2的正方體，截去一個三棱錐得到，所以幾何體的體積為222﹣， 故選：A． 11. 已知是球的球面上兩點，,為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】試題分析：如上圖所示，點 三點應(yīng)為大圓面上的等要直角三角形，由于為該球面上的動點，所以當點到平面的距離最大時即時，三棱錐的體積取最大值，所以，解得，所以球的表面積為，故選C. 考點：1、球；2、球的表面積；3、三棱錐. 12. 已知偶函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，當時， ，則使成立 的的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 令，則，當時，由題設(shè)可得，即函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，當時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，又由題設(shè)可知，所以結(jié)合圖像可知不等式解集是，則不等式的解集是，應(yīng)選答案B 。 點睛：解答本題的難點在于如何構(gòu)造函數(shù)運用已知條件，并探尋已知不等式與構(gòu)造的函數(shù)之間的關(guān)系。解答時充分運用題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù)，再運用求導法則進行求導，借助題設(shè)條件與導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系推斷該函數(shù)的單調(diào)性是單調(diào)遞減函數(shù)，進而數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集使得問題獲解。 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分． 13. 已知函數(shù)，則__________. 【答案】 【解析】由題意可得： ， 故答案為： 14. 曲線在點處的切線方程為______________. 【答案】 【解析】試題分析：∵，∴，∴，∴切線方程為，即. 考點：用導數(shù)求切線方程. 15. 當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】當時，不等式恒成立 等價于：當時，恒成立 又 ∴ 故答案為： 點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法. 16. 若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】試題分析：由題意，得，令，則，當時當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又當時，，因為函數(shù)在上有兩個零點，所以，故． 考點：1、函數(shù)零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 三、解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17. 已知等差數(shù)列滿足=2，前3項和=. (Ⅰ)求的通項公式， (Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列滿足=，=，求前n項和. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（1）設(shè)的公差為，則由已知條件可得解得可寫出通項公式． （2）由（1）得．據(jù)此求得公比為,應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式即得． 試題解析：（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，． 化簡得解得故通項公式，即． （2）由（1）得．設(shè)的公比為,則,從而． 故的前項和． 考點：1．等差數(shù)列的通項公式及求和公式；2．等比數(shù)列的通項公式及求和公式． 視頻 18. 已知函數(shù)（）的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（1）利用二倍角公式及兩角和正弦公式化簡函數(shù)得：， 由最小正周期為，利用公式可得的值；（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 試題解析： （Ⅰ） . 因為函數(shù)的最小正周期為，且， 所以，解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）得．. 因為， 所以. 所以.. 因此，即的取值范圍為.. 19. 如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點． （I）證明平面； （II）求四面體的體積. 【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，. 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是. 因為平面，平面，所以平面. （Ⅱ）因為平面，為的中點， 所以到平面的距離為. 取的中點，連結(jié).由得，. 由得到的距離為，故. 所以四面體的體積. 考點：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、三棱錐的體積． 20. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知． （I）求的值； （II）若，求的面積． 【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ). 試題解析： 由正弦定理得， 所以， 即， 化簡得， ∴即． （II）由得，由余弦定理得及， 得，從而． 又， 得，所以． 點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是： ①定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向. ②定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化. ③求結(jié)果. 21. 已知函數(shù)的最大值為. （I）若，試比較與的大??； （II）是否存在非零實數(shù)，使得對恒成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由. 【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)存在非零實數(shù)，且的取值范圍為. 【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用分類整合思想求解；(2)依據(jù)題設(shè)先轉(zhuǎn)化再運用導數(shù)知識探求. 試題解析： （1）. 令，得，令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故. 當時，，∴，∴； 當時，，∴，∴. （2）由（1）知，∴. 設(shè)，∴，令，解得. 當時，令，得；令，得， ∴， ∴. 故當時，不滿足對恒成立； 當時，同理可得，解得. 故存在非零實數(shù)，且的取值范圍為. 考點：分類整合思想及轉(zhuǎn)化化歸思想和導數(shù)等有關(guān)知識的綜合運用． 【易錯點晴】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)函數(shù)解析式為背景,精心設(shè)置了兩道問題,旨在考查導數(shù)知識與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系等方面的綜合運用以及分析問題解決問題的能力.本題的第一問是先運用導數(shù)求函數(shù)最大值，再進行分類比較；第二問的求解時，先構(gòu)造函數(shù)，再運用求導法及分類整合思想進行分析推證，從而使得問題獲解． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. 在直角坐標系中，圓和的參數(shù)方程分別是（為參數(shù)）和（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. （Ⅰ）求圓和的極坐標方程； （Ⅱ）射線：與圓交于點、，與圓交于點、，求的最大值. 【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ)4. 【解析】試題分析：（1）圓C1的參數(shù)方程分別是（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標方程．圓C2的參數(shù)方程（β為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標方程． （2）依題意得點、的極坐標分別為，，從而表示出，利用正弦函數(shù)的有界性問題迎刃而解. 試題解析： （Ⅰ）圓和的普通方程分別是和. ∴圓和的極坐標方程分別為，. （Ⅱ）依題意得點、的極坐標分別為，。 ∴，，從而， 當且僅當，即時，上式取“”，取最大值4. 23. 已知函數(shù)，． （Ⅰ）當時，解不等式； （Ⅱ）若任意，使得成立，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】試題分析： (1)將a=0代入題中的不等式，平方之后求解不等式即可； (2)將問題轉(zhuǎn)化為，令，求解 的最小值即可求得實數(shù) 的取值范圍. 試題解析： （Ⅰ）當時，由，得， 兩邊平方整理得，解得或， ∴原不等式的解集為．　 （Ⅱ）由，得， 令，即 故， 故可得到所求實數(shù)的取值范圍為.