初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第8講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學

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1、第八講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學 數(shù)學漫長的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個時期：以自然數(shù)、分數(shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號體系形成的常量數(shù)學時期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學時期；以集合論為標志的現(xiàn)代數(shù)學時期． 函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學的標志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運動變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動態(tài)和它們的相互制約性． 函數(shù)的基本知識有：與平面直角坐標系相關的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法． 在坐標平面內(nèi)，由點的坐標找點和由點求坐標是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點的坐標是解決函數(shù)問題的基礎，函數(shù)解

2、析式是解決函數(shù)問題的關鍵，所以，求點的坐標、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題． 【例題求解】 【例1】 在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A(2，2)，B(2，-3)，點P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點P的個數(shù)為 ． 思路點撥 先在直角坐標平面內(nèi)描出A、B兩點，連結(jié)AB，因題設中未指明△APB的哪個角是直角，故應分別就∠A、∠B、∠C為直角來討論，設點P(0，x)，運用幾何知識建立x的方程． 注： 點的坐標是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點的坐標的基本方法有： (1)利用幾何計算求； (2)通過解析式求

3、； (3)解由解析式聯(lián)立的方程組求． 【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數(shù)關系，大致是下列圖象中的( ) 思路點撥 向燒杯注水需要時間，并且水槽中水面上升高． 注： 實際生活中量與量之間的關系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來，如心電圖、，股市行情走勢圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢

4、等有關信息中獲得啟示． 【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車三種運輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示： 運輸工具 途中速度(千米／時) 途中費用(元／千米) 裝卸費用(元) 裝卸時間(小時) 飛機 200 16 1000 2 火車 100 4 2000 4 汽車 50 8 1000 2 若這批水果在運輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時，記A、B兩市間的距離為x千米． (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用(包括損耗)

5、，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關系式． (2)應采用哪種運輸方式，才使運輸時的總支出費用最小? 思路點撥 每種運輸工具總支出費用＝途中所需費用(含裝卸費用)+損耗費用；總支出費用隨距離變化而變化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過討論選擇最佳運輸方式． 【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐標系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標為(2，8)． (1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標系；

6、(2)寫出A、B兩點的坐標； (3)設菱形ABCD的對角線交點為P．問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標；如果不存在，請說明理由． 思路點撥 (1)關鍵是探求點A是在y軸正半軸上、負半軸上還是坐標原點，只須判斷∠COy與∠CAD的大??；(2)利用解直角三角形求A，B兩點坐標；(3)設軸上存在點F(0，y)，則P與F只可能關于直線DC對稱． 注：建立函數(shù)關系式，實際上都是根據(jù)具體的實際問題和一些特殊的關系、數(shù)據(jù)

7、而抽象、歸納建立函數(shù)的模型． 【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點，若P為AB邊上的一個動點，PQ∥BC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y． (1)當AP＝3cm時，求的值； (2)設AP=cm時，求y與x的函數(shù)關系式； (3)當y=2cm2，試確定點P的位置．(2001年天津市中考題) 思路點撥 對于(2)，由于點P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關系，故需分類討論；對于(3)，由相應函數(shù)解析

8、式求x值． 注：確定幾何元素間的函數(shù)關系式，首先是借助幾何知識與方法把相應線段用自變量表示，再代入相應的等量關系式，需要注意的是： (1)當圖形運動導致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論； (2)確定自變量的幾何意義，常用到運動變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法． 學力訓練 1． 如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請寫出這些直角三角形未知頂點的坐標 ． 2．在直角坐標系中有兩點A(4，0)，B(0，2)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當

9、點C的坐標為 時，使得由點B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標)． 3．根據(jù)指令[S，A](S≥0，0°

10、 4．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸的夾角為60°，且點A的坐標為(一2，0)，點B在x軸上方，設AB＝，那么點B的橫坐標為( ) A． B． C． D． 5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發(fā)．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時間(分鐘的關系)(從爸爸開始登山時計時)，根據(jù)圖象，

11、下列說法錯誤的是( ) A．爸爸登山時，小軍已走了50米 B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面 C．小軍比爸爸晚到山頂 D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快 6．若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實數(shù)，則的取值范圍是( ) A．ml D．m≤1 7．如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、點B(0，3)，若有一個直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請寫出這個直角三角形未知頂點的坐標(不必寫出計算過程)． 8．如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩

12、形地面，請觀察下列圖形并解答有關問題： （1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數(shù)為，請寫出與(表示第個圖形)的函數(shù)關系式； (2)按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時的值； (3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(2)中，共需花多少元錢購買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請通過計算說明為什么? 9．如圖，在平面直角坐標系中有一個正方形ABCD，它的4個頂點為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個整點(即縱橫坐標都是整數(shù)的點)．

13、 10．如圖，已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標系中，A、B兩點在第一象限內(nèi)，OA與軸的夾角為30°，那么點B的坐標是 ． 11．如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一分鐘內(nèi)它從原點運動到(1，0)，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動1個單位長度，那么在1989分鐘后這個粒子所處位置為 ． 12．在直角坐標系中，已知A(1，1)，在軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( ) A．1個 B．2個 C． 3個 D．4個 13．已知點P的坐標

14、是(l，)，這里、是有理數(shù)，PA、PB分別是點P到軸和軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為，則P點可能出現(xiàn)的象限有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 14．甲、乙二人同時從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi

15、 C．圖(3) D．圖(4) 15．依法納稅是每個公民應盡的義務．《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應納稅所得額，都應交稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅，詳細的稅率如下表： 級別 全月應納稅所得額 稅率(％) 1 不超過500元部分 5 2 超過500元至2000元部分 10 3 超過2000元至5000元部分 15 … … (1)某公民2002年10月的總收人為1350元

16、，問他應交稅款多少元? (2)設表示每月收入(單位：元)，表示應交稅款(單位：元)，當1300

17、乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費用6000元，使用月型車廂每節(jié)費用為8000元． (1)設運送這批貨物的總費用為萬元，這列貨車掛A型車廂節(jié)，試寫出與之間的函數(shù)關系式； (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車廂的方案? (3)在上述方案中，哪個方案運費最高?最少運費為多少元? 18．如圖，梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為(14，0)，

18、(14，3)，(4，3)．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動． (1)設從出發(fā)起運動了秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標(用含的代數(shù)式表示)； (2)設從出發(fā)起運動了秒，如果點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，①試用含的代數(shù)式表示這時點Q所經(jīng)過的路程和它的速度；②試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能，求出相應的的值和P、Q的坐標；如不可能，請說明理由． 參考答案 9